两个几何不等式的加强

1 .1 96 5年 ,H .Demir-D .C .B .Marsh建立了三角形高线ha、hb、hc 和旁切圆半径为ra、rb、rc 的不等式[1] :raha+ rbhb+ rchc≥ 3.①文 [2 ]把上述结果加强为 :设三角形的内角平分线和旁切圆半径分别为ωa、ωb、ωc,ra、rb、rc,则raωa+ rbωb+ rcωc≥ 3.②本文将②再加强为 :rarb+rc+ rbrc+ra+ rcra+rb≥32 .③由三元均值不等式易证式③成立 .欲证③是②的加强 ,只须证下列三式rb+rc≥ 2ωa,④rc+ra≥ 2ωb,⑤ra+rb≥ 2ωc.⑥据旁切圆半径及角平分线公式 ,rb+rc≥ 2ωa 等价于p(p-a) (p -c)p -b + p(p-a) (p -b)p -c≥ 4 bcp(p -a)b…     

一个有趣的几何不等式

本将给出三角形及其垂足三角形外接圆半径与原三角形面积之间的一个有趣的几何不等式．     

涉及三角形中线的一个不等式

[1]中证明了：设△ABC的内角平分线是ωa、ωb、ωc,外接圆、内切圆半径分别是R、r，则有。     

一个几何不等式的最佳形式

设ta、tb、tc分别是ABC的三条角平分线长,a、b、c为三边长,R、r、p分别是三角形的外接圆半径、内切圆半径、半周长,∑表示循环和.文[1]证明了不等式bct2a cat2b abt2c≥4.文[2]将此不等式加强为∑bct2a≥34Rp23.本文给出它的最佳形式∑bct2a=Rr 2.证明:由三角形角平分线长的公式知ta=2bccosA2b c.　　则t2a=4b2c2cos2A2(b c)2=2b2c2(1 cosA)(b c)2=2b2c2(b c)21 b2 c2-a22bc=bc(b c a)(b c-a)(b c)2=4bcp(p-a)(2p-a)2.故bct2a=(2p-a)24p(p-a)=14·pp-a 12 p-a4p.同理,cat2b=14·pp-b 12 p-b4p,abt2c=14·pp-c 12 p-c4p.　　于是,有∑b…     

两个几何不等式

命题在△ABC中,ra、rb、rc、R、r、s分别为旁切圆半径、外接圆半径、内切圆半径及半周长,则有。     

关于三角形垂心的几个不等式

《数学通报》2001年第1期给出的问题1293是“若三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，面积为S，求证：Rr≥2√3/9S″.     

关于内角平分线与边长的几个不等式

建立三角形内角平分线与边长的几个不等式,并推证[1]中的几个猜想不等式。     

角平分线的两个不等式与若干猜想

建立了涉及三角形内角平分线的两个几何不等式,提出了有关内角平分线的几个猜想不等式。     

关于一个几何不等式的加强

1引言 在文献[1]中,作者证明了下述不等式：设△ABC三边BC,CA,AB上的内角平分线分别为wa,wb,wc,则对平面上任一点P有PA/wb＋wc＋PB/wc＋wa＋PC/wa＋wb≥1（1）.     

一个几何不等式的加强

文[1 ]证明了不等式bct2a cat2b abt2c≥4 .①其中ta、tb、tc 分别是△ABC的三条角平分线长,a、b、c为三边长.本文将其加强为:命题　设ta、tb、tc 分别是△ABC的三条角平分线长,R、p分别是三角形的外接圆半径和半周长.∑表示循环和.则有∑bct2a≥34Rp23.②证明:记△ABC的内切圆半径及三个旁切圆半径分别为r、ra、rb、rc.则有∑bct2a≥33abctatbtc2 (均值不等式) .由文[2 ]知,rarbrc≥tatbtc,从而,∑bct2a≥33abcrarbrc2 =334Rrpp2 r2 =3 4Rp23.易知②强于①.一个几何不等式的加强@张宁$宁夏回族自治区中卫县宣和镇张洪学校!751706[1…     

几个新的几何不等式

1943年,Pedoe发表了被他称为“第一个涉及两个三角形”的不等式,自此以后,几何不等式的研究更加活跃.近年,国内发表了若干很有意义的几何不等式,如高灵不等式、安振平不等式等.受这些结果的启发,本文给出4个涉及三角形边长及其外接圆半径的不等式,并说明它们的三角本质.     

一个几何恒等式及其对几个不等式的改进

1一个几何恒等式 定理 设s,R,r分别表示△ABC的半周长、外接圆半径、内切圆半径,则有     

关子三角形外接圆半径的几个不等式

本文给出几个关于三角形外接圆半径的不等式，这些不等式包含了《数学通报》数学问题解答的1429题（2003年第5期）与1531题（2005年第2期）．     

一个有趣的几何不等式链

符号约定：在△ABC中,a、b、c表示三边长,A、B、C表示三内角,R、r、s表示外接圆半径、内切圆半径以及半周长,ha、hb、hc表示高线,∑、Ⅱ表示循环和与循环积。     

一个几何不等式的加强及其它

符号约定:在△ABC中,a、b、c表示三边长,ma、mb、mc表示三条中线长,R、r、s表示外接圆半径、内切圆半径以及半周长,∑、∏表示循环和与循环积.文[1]中建立了如下一个有关三角形中线与边长之间的一个几何不等式:∑bmc2a≥2 2rR(1)本文建立了有关中线的一个新的更优的几何不等式.     

关于角平分线的一个不等式链

建立了有关三角形平分线的一个不等式链 ,提出了有关的一个不等式猜想     

涉及三角形的不等式

讨论了关于三角形,三角形旁切圆半径以及三角形５半径的不等式,给出命题并证明。     

涉及三角形高线的一个不等式

受文 [1]、[2 ]启发 ,笔者得到一个涉及三角形高线的不等式 .命题　设△ＡＢＣ对应边ａ、ｂ、ｃ上的三条高线是ｈａ、ｈｂ、ｈｃ,外接圆、内切圆半径分别是Ｒ、ｒ ,则有ｒ( 5Ｒ -ｒ)Ｒ2 ≤ ｈ2 ａｂｃ ｈ2 ｂｃａ ｈ2 ｃａｂ≤(Ｒ ｒ) 2Ｒ2 ,当且仅当ａ =ｂ =ｃ时等号成立 .为了证明命题 ,先给出如下的引理 .引理　设ａ、ｂ、ｃ为△ＡＢＣ的边长 ,Ｒ、ｒ、Ｓ分别为△ＡＢＣ的外接圆半径、内切圆半径、面积 ,则ｒ( 5Ｒ -ｒ)ＲＳ ≤ 1ａ 1ｂ 1ｃ ≤(Ｒ ｒ) 2ＲＳ ,当且仅当ａ =ｂ =ｃ时等号成立 .证明　由熟知的恒等式　ａｂｃ=4ＲＳ ,…     

周界中点三角形两个面积不等式的最佳形式——等式

设D,E,F为ΔABC的边BC，CA，AB的周界中点，ΔABC，ΔAEF，ΔBFD，ΔCDE，ΔDEF的面积分别为Δ，ΔA，ΔB，Δc,Δ0,R和r分别为ΔABC的外接圆，内切圆半径，有献证明了：