一类无穷数列的通项公式

现行中学数学教材中涉及到这样一类无穷数列: 若α为无理数,将α依次精确到个位,十分位,百分位,千分位,……的不足(或过剩)近似值所构成的数列. 例如,按以上精确度依次取π的不足近似值所得的无穷数列为 3,3.1,3.14,3.141,3.1415,…… 在教学中,我们常听有些教师称这样的数列不存在通项公式.有的数学书刊也以上述数列作为找不出通项公式的数列的示例. 这里,我们仅用大家熟知的函数{X}(表示     

数列

第一课时　数列的的基本概念 基础篇 诊断练习一、填空题先看下面材料 :( 1)堆放的钢管中各层的钢管数 4 ,5,6 ,7,8,9,10( 2 )正整数的倒数 1,12 ,13,14 ,15,…( 3) 2精确到 1,0 .1,0 .0 1…的不足近似值 1,1.4 ,1.4 1,1.4 14 ,…( 4) - 1的正整数次幂 :- 1,1,- 1,1,…( 5)无穷多个数 1排成一列数 :1,1,1,1,…( 6 ) an =3n + 2 ( n∈ R) .上面 6组数中 ,不能构成数列的是 ,构成的是有穷数列的是 ,构成的是递增数列的是,构成的是常数列的是 .第 ( 2 )组数构成的数列的通项公式是 ,第 ( 4)组数构成的数列的第七项是 .二、选择题已知数列 {an…     

{n^a}类数列求和方法初探

在高中《代数》下册封面上 ,有一个数列 {ｎ2 }的求和公式及它的几何模型图 ,该封面设计虽经多次改版却一直保留下来 .本人对此公式颇感兴趣 ,经整理、归纳、总结 ,初步得到了 {ｎα} (ｎ ∈Ｎ ,α为常数 )类数列求和的几种常用方法 .下面记Ｓ(α)ｎ 表示数列{ｎα}的前ｎ项和 ,即Ｓ(α)ｎ =1α+ 2 α+ 3α+… +ｎα.以求数列 {ｎ3}的前ｎ项和为例给以介绍 .1　待定系数法我们知道 ,数列 {ｎ0 }的前ｎ项和Ｓ( 0 )ｎ =ｎ是关于ｎ的一次式 ,数列 {ｎ}的前ｎ项和Ｓ( 1)ｎ =12 ｎ(ｎ +1)是关于ｎ的二次式 ,数列 {ｎ2 }的前ｎ项和Ｓ( 2 )ｎ =16 …     

一道习题的引申及应用

在新教材第一册 (上 )第 1 1 4页 ,有这样一道习题 .写出下面数列 {an}的前 5项 :a1=12an =4an-1+1 (n≥ 2 )下面就此题作探讨 .一、引申递推公式的概念既然在新教材中出现 ,那么已知递推公式求通项公式 ,学生将乐于接受 .因此对上述习题作下面引申 :【例 1】　已知数列 {an}的项满足a1=12an =4an-1+1 (n≥ 2 ),求通项an.【例 2】　 (旧教材P12 63 4题变式 )已知数列{an}的项满足 a1=ban + 1=can +d　其中c≠ 0 ,c≠ 1 ,求这个数列的通项an.其实 ,在an+ 1=can+d(c≠ 0 )中 ,若c =1 ,则该数列是公差为d的等差数列 ;若d=0 ,因为c≠ 0 ,则该数…     

创设数学“结构美”巧解题

数学多给人以枯燥、繁琐的印象 ,但在很多情况下数学又给我们许多美的感受 ,特别在数学解题中存在很多“结构美”,主要表现为式子结构的对称有序、数学元素 (数字、符号、式子 )的完备整齐等 .善于发现、挖掘、创设这些“结构美”会给我们解题带来意想不到的良好效果 .1　添加、删减数学元素例 1　已知数列 {bn}是等差数列 ,b1 =1 ,b1 + b2 +… + b1 0 =1 4 5.( )求数列 {bn}的通项公式 ;( )设数列 {an}的通项公式 an=loga( 1+ 1bn) (其中 a>0且 a≠ 1 ) ,记 Sn 是数列 {an}的前 n项和 ,试比较 Sn 与 13logabn+1 的大小 ,并证明你的结论 …     

常见数列通项公式求法综述

设Sn是数列{an}的前n项和,n∈N.题型1:由an=S1 (n=1),求数列{an}的通项公式. Sn-Sn-1 (n≥2),题型1:由an=S1 (n=1),求数列{an}的通项公式. Sn-Sn-1 (n≥2)例1 在数列{an)中,a1 a2 … an=3n,求数列{an)的通项公式.     

一个可以写出不足近似值数列通项公式的无理数

给定一个数列,问能否写出它的通项公式?答案是:如果数列是有限数列,则一定可以写出它的通项公式;如果数列是无限数列,则不一定能够写出它的通项公式.例如由π的不足近似值数列构成的数列,直到现在尚未见到有人写出它的通项公式.于是问:是否存在可以写出不足近似值数列通项公式的无理数?答案是肯定的.下面就构造一个可以写出不足近似值数列通项公式的无理数.……     

浅谈等差数列中倍数项问题的求解

一些不同等差数列的某些项之间具有倍数关系,我们把这些项叫做倍数项,不同等差数列的倍数项也构成一个数列.本文就有关倍数项问题的求解方法举例说明,以供大家参考.例1 设等差数列{a_n}为4,7,10,13,16,19,…,等差数列{b_n}为5,10,15,20,…,求数列{a_n}中的项是数列{b_n}中的项的3倍的所有项构成的数列{c_n}的通项公式.     

一个非线性递推数列的通项公式

我们研究这样一个数列:已知数列{a_n}的首项a_1>0,并且有递推公式a_(n+1)=1/2(a_n+k/a_n)(k>0).这是一个非线性的递推数列.这个递推数列的通项公式如何求法,便是本文所要研究的问题.欲求这个递推数列的通项公式,我们采用待定系数法.我们在上面递推公式的两边同加上一个待定常数α:     

用待定系数法求一类数列的通项公式——一道高中数列习题的推广

高中代数(甲种本)第二册77页上有这样一道习题: 已知数列{a_n}的项满足 a_1=b a_(n+1)=ca_n+d(c≠1),证明这个数列的通项公式是 a_n=(bc~n+(d-b)c~(n-1)-d)/(c-1) 我们把这题推广成: 已知数列{a_n}的项满足 a_1=a a_(n+1)-ba_n=c_0+c_1n+c_2n~2+…+c_mn~m,其中b≠0,求这个数列的通项公式. 这类问题,可以用待定系数法解决.以     

合成数列的又一通项公式

文[1]给出了合成数列{x_n}a_1,b_1,a_2,b_2,a_3,b_3,…的通项公式x_n=1/2[f(n 1/2) g(n/2)] (-1)~(n 1) 1/2[f(n 1/2)-g(n/2)]. 本文用三角函数给出合成数列{x_n}的又一通项公式,并举例说明这个公式的应用。定理如果数列{a_n}和{b_n}的通项分别为a_n=f(n),b_n=g(n),那么,数列{a_n}与{b_n}的合成数列{x_n}的通项公式为     

例谈等差数列中倍数项的求解

例1 设等差数列{an}为4,7,10,13,16,19,……,等差数列{bn}为5,10,15,20,……,求数列{bn}中的项是数列{an}中的项的3倍的所有项构成的数列{Cn}的通项公式.     

数列通项公式求法举例

好多中学生对求数列的通项公式感到困难,现将我们平时常用的几种方法归纳如下,希望对中学生有所启发。一、利用直接观察的方法求例1.求数列{a_n}:1,0,1,0,1,0…的通项公式。解:{a_n}中1与0交错出现。因(-1)~(n 1)交错取值1与-1,所以1 (-1)~(n 1)交错取值2与0,所以可得 a_n=(1 (-1)~(n 1))/2 例2.求数列{a_n}:1,1,2,2,3,3,…的通项公式。解:易看出{a_n}奇数项为(n 1)/2,偶数项为n/2,所以可设想: a_n=(n 1)/2·f(n) n/2·g(n)     

差分等比数列的一个定理及其应用

本文给出一个差分等比数列有关的一个定理,并用来解决几类常见的由递推公式求通项公式的问题.最后对本刊1989年第11期《再述递推数列求通项》一文作点补充(以上简称为文_1). 定理如果由数列{a_n}的项构成的新数列{a_(n 1)-Ka_n}是公比为l的等比数列,则相应的数列{a_(n 1)-la_n}是公比为k的等比数列. 证明:数列{a_(n 1)-K     

合成数列的通项及其应用

设有两个数列{‘}及{右,}: al一a,一a3,.‘”口”, b:,西,,b3,…,b。,依次交错排列a:,西:(k=1,2,…)构成一个新的数列{x。}: a,,b:,a,,b:,…,a。,乙二,我们称上述数列{x。}为数列{么。}和{乙。}的合成数列。 本文讨论两个数列的合成数列的通项公式及其应用。 定理设数列{a’‘},{乙。}的通项分别为 a。=f(n),b矛==g(n),那么,数列{。、}与数列{阮、}的合成数列{x二}的通项为 解:将。,二f(。)=a,b。=g(:)二吞代入(1)得所求数列的通项为X”二例2合、一“,+合‘一‘,”+“口一的·求数歹l】{x。1:1,1,2,2,3,3,n,”,’..的通项.解:将a,=f(:)=n二…     

题库(十一)

1.已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d>0,且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;(2)求数列{cn}对任意正整数n均有c1/b1+c2/mb2+c3/m2b3+…+cn/mn-1bn=(n+1)·an+1成立,其中m为不等于零的常数,求数列｛cn｝的前n项和Sn.2.已知常数a>0,向量m=(0,a),n=(1,0),经过定点A(0,-a)以m+λn为方向向量的直线与经过定点B(0,a)以n+2λm为方向向量的直线相交于点P,其中λ∈R.     

浅谈激发技校生语文学习兴趣的方法

题目：（满分14分）已知曲线Cn：x^2-2nx＋y^2=0（n=1,2,…）.从点P（-1,0）向曲线Cn引斜率为kn（kn〉0）的切线lm切点为Pn（xn,yn）. （1）求数列{xn}与{yn}的通项公式;（2）证明：x1·x3·x5…x2n-1〈√1-xn/1＋xn〈√2 sinxn/yn.     

递推数列通项问题解法初探

<正>数列{an}中,如果其中几项满足公式an+k=f(an+k-1,an+k-2,…,an),则称此公式为数列{an}的递推公式.通过递推公式给出的数列,一般称之为递推数列.本文介绍求解递推数列通项问题的几种常用方法.     

推广的Fibonaci数列的通项研究

线性逆推数列an=pan-1 qan-2在数列部分占有重要的地位，而它的通项公式尚未求出。利用无穷级数，通过构造母函数，推出了数列{an}的通项公式，为数列通项公式的求法提供了新思路。     

用累乘法求递推数列的通项公式

给出数列{an}的递推公式和首项a1,求数列{an}的通项公式,往往我们可以将所给出的递推公式进行变形,使问题转化为所熟知的bn+1=f(n)bn形式,当bn≠0时,变形得到(b(n+1))/bn=f(n),则由累乘法可得bn=bn/(b(n-1))·(b(n-1))/(b(n-2))…b3/b2·b2/b1·b1= f(n-1)f(n-2)…f(3)f(2)f(1)b1,若f(n-1)、f(n-2)、…、f(3)、f(2)、f(1)的积容易求出,则数列{bn}的通项公式可求出,从而得到数列{an}的通项公式.