一个几何命题及其应用

命题 已知△ABC及空间任意一点P,则有其中a、b、c是△ABC的三边长,G是它的重心。 本文用平面几何方法给出证明,并列举几例说明它的应用.证明中用到了如下斯台沃特(Stewart)定理:在△ABC中,D是BC上任意一点(如图1).若AB=c,AC=b,     

从一道命题谈平面几何的证题方法

直接证法(分析法和综合法)、间接证法(反证法和同一法)是平面几何中常用的基本证题方法。因此,在学习几何过程中要熟练掌握这些证法,弄清它们的证法特点,证题思路,证题步骤和书写格式。我在复习平面几何时,从几道题的多种证法入手,举一反三,觅其规律,把这几种常用的证法几乎都串起来了。现举一例,略加阐述.命题:已知△ABC,M、N分别为AB、AC中点,求证MN∥BC.一、直接证法1.综合法证明:如图1,延长MN至F,使NF=MN,连结CF.     

一个与内心有关的相似图形

<正>笔者在解答几道2021年的平面几何竞赛题时,碰到一个与内心有关的图形.如图1,锐角△ABC的内心为I,⊙I分别切边BC、CA、AB于点D、E、F.过点D作DP⊥EF于点P.在这个几何结构中,有熟知的结论:(FP/PE)=(BD/DC).设AI与△ABC外接圆的第二个交点为M,过点M作△ABC外接圆的直径MN,联结MB、MC.     

平面n点集的平衡点

胡炳生教授在其专著中运用纯平面几何方法建立了:命题1 过△ABC重心任作直线XY,若把XY不同侧的顶点到XY距离的值取相反符号,则△ABC各顶点至XY距离的代数和为0.命题2 任意四边形ABCD内部存在一点(两组对边中点连线的交点),过它任作直线XY,如果不同侧顶点到XY的距离取相反符号,那么所有顶点到XY距离的代数和为0.本文运用解析几何方法将上述结论推广到平面任意n点集,为此先介绍:     

从“重心”到“五心”

第22届“希望杯”高二第1试 试题：如图1,直线MN过△ABC的重心G,     

一道平几例题的探讨和应用

统编初中平面几何第二册第85页的例1是一道典型的基本例题。其思考方法十分典型。我们把它称为命题1: 已知AD是△ABC的高,AE是△ABC的外接圆的直径。求证:AB·AC=AD·AE。教材上给出了△ABC为锐角三角形的图形,并用三角形相似的办法给出了证明。事实上,△ABC是直角三角形或钝角三角形的情形时,结论仍然成立。另外,用三角形的面积公式和正弦定理也可以证明: ∵BC=2R·sinA=AE·sinA。     

一道国际数学竞赛题的再推广

第28届国际数学奥林匹克的第二题,给出了一个很优秀的几何命题。文[1]和文[2]曾对该命题作出了初步推广,本文试对该命题作进一步的推广。我们有定理1 设△ABC为锐角三角形,P为BC边上的任意一点,以AP为弦任作一圆与AB、AC分别相交于M、N 自A引一条射线与△ABC的外接圆相交于D,使∠DAC=∠BAP,如图,则四边形AMDN的面积等于△ABC的面积。证明:连结CD、PN、MN,设MN与AD相交于E,依题设有∠BAP=∠DC,又     

利用面积证题一例

84年在贵州参加全国数学竞赛的命题工作,会议期间曾讨论过一道问题: 设在△ABC中,D为BC的中点,G为重心,过G任作直线分别交AB、AC于E、F。设AE/AB=h,AF/AC=k,求证我们不想局限于就解决这一个问题,所以,先作一些推广,考虑一下,D为BC上任意一点,G为AD上任意一点,这时的结论是什么? 设BD/DC=λ_1/λ_2,λ_1+λ_2=1,AG/AD=t,我们断言有为了证明(2),我们借助于三角形的面积。设△AEG,△AGF,△ABC的面积分别为S_1,S_2,S。则由于△ABD的高与△ABC的高相同,而     

数学问题与解答

271.△ABC的内切圆⊙O切BC、CA、AB于A′、B′、C′,过O点分别作△A′B′C′各边的平行线,它们在BC、CA、AB上截得的线段分别为EF、MN、PQ,试证: EF/BC+MN/CA+PQ/AB=1。证:如图1,连OC、QE、MF。由EN∥A′B′和OC⊥A′B′得OC⊥EN。但OC平分∠ECN,故ON=OE。同理,OM=OQ,所以,△OMN≌OQE,EQ(?)MN。同理得到FM(?)PQ。于是有△QBE∽△ABC∽△MFC。于是 MN/CA=QE/CA=BE/BC,     

对一道高考创新题的探究

2005年湖南省高考(理科)第10题:设P是△ABC内任意一点,S△ABC表示△ABC的面积,定义f(P)=(λ1,λ2,λ3),若G是△ABC的重心, f(Q)=(1/2,1/3,1/6),则 (A)点Q在△GAB内; (B)点Q在△GBC内; (C)点Q在△GCA内; (D)点Q与G重合． 1.命题思路探究     

图形变式--命题的一种重要思路(上)

平面几何题的特点是先构图后命题.如何构造几何图形呢?本文结合一道国家集训队选拔考试题谈谈平面几何的命题.图1题目如图1,给定正△ABC,D是边BC上任意一点,△ABD的外心、内心分别为O1、I1,△ADC的外心、内心分别为O2、I2,直线O1I1与O2I2相交于点P.试求:当点D在边BC上运动时,点     

对一个猜想及其加强的简证

<正>文[1]中,梁昌金老师证明了三角形中关于外心、重心、垂心、内心的四个优美不等式,统一叙述如下:命题A设P为△ABC的外心(重心、垂心、内心),射线AP、BP、CP分别交三边BC、CA、AB于点D、E、F,交△ABC的外接圆于点A1、B1、C1,则AD/DA_1+BE/EB_1+CF/FC_1≥9.在此基础上,在文末提出了一个猜想:猜想设P为△ABC内部任意一点,射线     

一道平面几何竞赛题的向量证法及其空间推广

1 问题 △ABC中,A1、B1、C1分别在边BC、CA、AB上,且AA1、BB1、CC1相交于点P.证明:P是△ABC的重心当且仅当P是△A1B1C1的重心.     

关于圆外切闭折线的一个性质

对于三角形,下面的结论是熟知的[1]: 命题1 平分三角形的周长和面积的直线必经过三角形的内心. 这一性质可以推广到任意的圆外切多边形中[1]: 命题2 平分圆外切多边形的周长和面积的直线必经过三角形的内心. 本文拟将这一性质作进一步推广,证明关于圆外切闭折线的一个性质. 约定 符号121nAAAADL表示闭折线12AA 1nAAL的有向面积[2],ABCD表示△ABC的有向面积. 定理 设闭折线121nAAAAL有内切圆⊙(,),,IrMN分别是边12AA、1kkAA (1,kn相似文献   

利用“共底”三角形巧解中考面积最大问题

<正>"共底"三角形的构造如图1,在△ABC中,直线MN经过点A,交BC于点D,过点B、C分别作MN的垂线,垂足分别是E、F.则△ABD和△ACD构成"共底"三角形."共底"三角形的面积△ABC的面积就是"共底"△ABD和△ACD之和.过C作JQ∥MN,延长BE,交     

巧用面积法解平面几何题

运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法,称之为面积法.它是平面几何中的一种常用方法,灵活运用,可收到事倍功半的效果.一、用面积法求图形面积例1 在△ABC中.DE∥FG∥BC,GI∥EH∥AB.若三角形△ADE、△EFG、△GIC 的面积分别为     

两个命题的直接证法

在各种平面几何资料中,都可看到这样两道习题: 命题1 已知P为正方形ABCD内一点,若∠PAB=∠PBA=15°,则△PCD是等边三角形。命题2 已知BD和CE是△ABC的内角平分线,若BD=CE,则△ABC是等腰三角形。     

一道平面几何奥赛题的空间推广

本文主要对第58届白俄罗斯数学奥林匹克决赛的一道平面几何试题进行了空间上的推广,得到了如下结论:设P为四面体ABCD内的任意一点,过P分别作面ABC、面BCD、面CDA、面DAB的平行平面截四面体所得截面分别为△A1B1C1,△B2C2D2,△C3D3A3,△D4A4B4,则有(S△A1B1C1/S△ABC)1/2+(S△B2C2D2S/△BCD)1/2+(S△C3D3A3/S△CDA)1/2+(S△D4A4B4/S△DAB)1/2=3.     

一道几何题的多种证法

在△ ABC中 ,∠ C=90°,CD⊥ AB于 D,AM是∠ BAC的平分线 ,交 CD于 E,交 BC于 M,过E作 EF∥ AB交 BC于 F。求证 :CM=BF。证法一 :(运用三角形知识 )证明 :过 M作 MN⊥ AB于点 N。∵∠ 1=∠ 2 ,易证△ ACM≌△ ANM,∴CM=MN。　 ( 1)又 CD⊥ ABMN⊥ AB CD∥ MN, ∠ 3=∠ 5∠ 4 =∠ 5 ∠ 3=∠ 4 CE=CM。　 ( 2 )由 ( 1)、( 2 )得 CE=MN。在 Rt△ EFC和 Rt△ NBM中 ,EF∥ AB ∠ B=∠ CFE,∠ CEF=∠ MNB,CE=MN Rt△ EFC≌ Rt△ NBM,∴ CF=BM,∴ CM=BF。　　证法二 :(运用四边形知识 )证明 :过 M…     

立体几何中的“五心”

一、重心有关的定义、定理:(Ⅰ)在三棱锥中,若各个侧面在底面上的射影面积相等,则顶点在底面上的射影为底面三角形的重心.(Ⅱ)设G是△ABC的重心,AG的延长线交BC于D,则有(1)BD=DC;(2)AG∶AD=2∶3;(3)S△GAB=S△GBC=S△GAC=13S△ABC;(4)AD2=14(2AB2+2AC2-BC2).例1三棱锥V-ABC三侧面与底面所成的二面角分别为30°,45°,60°,底面积为3,顶点在底面上的射影是底面的重心,求三棱锥的侧面积.解设顶点在底面的射影为G,依题意知,G是△ABC的重心.由平面几何知识得S△GAB=S△GBC=S△GAC=13S△ABC=1.由面积射影定理知S△VAC…