巧借a+b≥2((ab)～(1/2))求最值

先证明对于任意正实数a,b都有a+b≥2（ab）^1/2.证明:a,b都大于0,所以(a^1/2-b^1/2)²≥0,所以a-2（ab）^1/2+b≥0,所以a+b≥2（ab）^1/2.当a=b时,a+b=2（ab）^1/2.     

莫要忽视公式成立的条件

<正>商的算术平方根化成算式平方根的商是有条件限制的,即公式(a/b)^(1/2)=a(1/2)=a^(1/2)/b(1/2)/b^(1/2)仅当a≥0,b>0时才能成立.往往有同学忽视公式成立的条件,请看下面两道题:例1已知x+y=3,xy=2.求(x/y)(1/2)仅当a≥0,b>0时才能成立.往往有同学忽视公式成立的条件,请看下面两道题:例1已知x+y=3,xy=2.求(x/y)^(1/2)+(y/x)(1/2)+(y/x)^(1/2)的值.例2已知x+y=-3,xy=2.求(x/y)(1/2)的值.例2已知x+y=-3,xy=2.求(x/y)^(1/2)+(y/x)(1/2)+(y/x)^(1/2)的值.这两题的结构相同,区別仅在于已知条件中两数和的符号相反,但是在解法上却是不一样的.     

一个简单不等式的妙用

<正>本文先给出基本不等式的一个等价变形,再举例说明它的广泛应用.结论已知a、b、λ∈R,且b(a+b)> 0,则有ab≥-λ²+(λ+1)2+(λ+1)²a/(a+b),(*)当且仅当a=λb时取等号.证明由不等式a2a/(a+b),(*)当且仅当a=λb时取等号.证明由不等式a²+λ2+λ²b2b²≥2λab,得a2≥2λab,得a²≥2λab-λ2≥2λab-λ²b2b².两边同时加上ab并整理,得a(a+b)≥b[(2λ+1) a-λ2.两边同时加上ab并整理,得a(a+b)≥b[(2λ+1) a-λ²b].再两边同时     

用放缩法简证一道竞赛题

题目已知a,b,c≥0,且a+b+c=1,求证（a+1/4（b-c）²）^1/2+b^1/2+c^1/2≤3^1/2.（07年女子数学奥林匹克）分析所证不等式中（a+1/4（b-c）²）^1/2的出现,给解题增加了难度.如果由此入手,寻找问题突破口,就会发现"（a+1/4（b-c）²）^1/2"可以放大为"(a+1/2(b^1/2-c^1/2)²)^1/2",从而用放缩法求     

一个五元不等式的推广

题目设a,b,c,d,e>0,证明:(bcde+acde+abde+abce+abcd)⁴≥125(a+b+c+d+e)(abcde)³.此题由湖南师范大学叶军老师提供.这个不等式证明很难,技巧性很强,不过有意思的是其一般形式的证明反而简单一些.本文将用数学归纳法将这个不等式推广到一般.     

构造方程求两个三次根式的代数和

<正>在求形如(A+B^(1/2))(1/2))^(1/3)+(A-B(1/3)+(A-B^(1/2))(1/2))^(1/3)(B≥0)的两个三次根式的代数和时,我们可把整个三次根式设为一个新变元,令x=(A+B(1/3)(B≥0)的两个三次根式的代数和时,我们可把整个三次根式设为一个新变元,令x=(A+B^(1/2))(1/2))^(1/3)+(A-B(1/3)+(A-B^(1/2))(1/2))^(1/3),然后利用两数和的立方公式:(a+b)(1/3),然后利用两数和的立方公式:(a+b)³=a3=a³+b3+b³+3ab(a+b)【此公式可通过(a+b)3+3ab(a+b)【此公式可通过(a+b)³=(a+b)3=(a+b)²(a+b)=(a2(a+b)=(a²+2ab+b2+2ab+b²)(a+b)求得.】将变换后的式子两边三次方,得到关于x的     

2013年全国高中数学联赛B卷第10题的推广与证明

问题（2013年全国高中数学联赛B卷第10题）假设a,b,c>0,且abc=1,证明:a+b+c≤a2+b2+c2.这是一道优秀试题,现给出异于参考解答的几个证明.证法1由均值不等式得a2+1≥2a,b2+1≥2b,c2+1≥2c,a+b+c≥33（abc）^1/2=3,相加得a2+b2+c2+3≥2（a+b+c）=a+b+c+（a+b+c）≥a+b+c+33（abc）^1/2=a+b+c+3.     

从一道美国数学月刊问题谈起

<正>设a、b、c、S表示△ABC的三边长和面积.则有[1]a²+b2+b²+c2+c²≥432≥43^(1/2) S.(1)这是著名的外森比克(Weisenb?ck)不等式.(1)已有很多种形式的加强,其中最著名的是费-哈不等式a(1/2) S.(1)这是著名的外森比克(Weisenb?ck)不等式.(1)已有很多种形式的加强,其中最著名的是费-哈不等式a²+b2+b²+c2+c²≥432≥43^(1/2) S+(a-b)(1/2) S+(a-b)²+(a-b)2+(a-b)²+(a-b)2+(a-b)²(2)     

对一道考题解法的多角度探讨

<正>一、题目与参考答案题目(武汉市2015届高中月考题)设函数f(x)=xln x.(1)求函数f(x)的单调区间和最小值;(2)当b>0时,求证:b^b≥1(1/e)b≥1(1/e)^(1/e);(3)若a>0,b>0,证明:f(a)+(a+b)ln 2≥f(a+b)-f(b).本题第(1)问较为简单,第(2)问可借用第(1)问结论证明,第(3)问是二元不等式的证明,证法较多.下面对第(3)问的解法作一     

数形结合 独辟蹊径——例谈不等式的一种证明方法

<正>证明不等式的方法有很多,有基本不等式法、函数法等.本文从一个独特的视角,采用全新的方法来证明不等式,即数形结合法,透过不等式的表面发现其几何意义,构造相应的几何图形来阐述不等式,将抽象问题具体化,直观化.题目设a>0,b>0,证明不等式2ab/(a+b)≤(ab)^(1/2)≤(a+b)/2≤((a(1/2)≤(a+b)/2≤((a²+b2+b²)/2)2)/2)^(1/2),当且仅当a=b时等号成立.思路这是2017年苏州市的一道高考模     

三个二元无理不等式的推广与统一简证

<正>安振平先生在《数学通报》2003年第5期上提出第1435号征解题,即^[1]:设a、b>0,求证:(a/a+3b)[1]:设a、b>0,求证:(a/a+3b)^(1/2)+(b/3a+b)(1/2)+(b/3a+b)^(1/2)≥1.并在2003年第6期运用分拆法提供了一种巧妙的解法.安振平先生在《不等式探究》一书中又提出     

例析一道与量有关的高考选择题

<正>题目已知还原性:SO_3^(2-)>I(2-)>I^-。向含a mol KI和a mol K_2SO_3的混合液中通入b mol Cl_2,充分反应(不考虑Cl2与I2之间的反应)。下列说法不正确的是()。A.当a≥b时,发生的离子反应为:SO_3-。向含a mol KI和a mol K_2SO_3的混合液中通入b mol Cl_2,充分反应(不考虑Cl2与I2之间的反应)。下列说法不正确的是()。A.当a≥b时,发生的离子反应为:SO_3^(2-)+Cl_2+H_2O==SO_4(2-)+Cl_2+H_2O==SO_4^(2-)+2H(2-)+2H⁺+2Cl++2Cl^-B.当5a=4b时,发生的离子反应为:4SO_3-B.当5a=4b时,发生的离子反应为:4SO_3^(2-)+2I(2-)+2I^-+5Cl_2+4H_2O==4SO_4-+5Cl_2+4H_2O==4SO_4^(2-)+     

利用隐含条件解题

在许多数学题目中,都有一些条件隐含在题意中没有明确给出,这些条件就是所谓的隐含条件.而利用这些隐含条件,可以简捷地解题.下面通过几个例子加以说明.例1下列四式中与（a-3）（1/（3-a））^1/2相等的是A.（a-3）^1/2 B.-（a-3）^1/2C.（3-a）⁽1/2 D.-（3-a）^1/2分析此题的隐含条件是3-a>0,故（a-3）（1/（3-a））^1/2=（a-3）（（3-a）/（3-a）²）^1/2=（a-3）/（3-a）（3-a）^1/2=-（3-a）^1/2.故选D.例2已知实数a满足|2009-a|+（a-2010）^1/2=a,那么a-2009²的值是_<sub><sub><sub><sub>.分析此题的隐含条件是a-2010≥0,即a≥2010.故|2009-a|+（a-2010）^1/2=a可化     

运用基本不等式，要做到“三会”

1.会整体考虑例1已知a,b∈R⁺,且a+b=1,求（2a+1）^1/2+（2b+1）^1/2的最大值.分析整体考（2a+1）^1/2和（2b+1）^1/2,配成与条件相符合的式子.     

沙特阿拉伯JBMO不等式的两个漂亮证法

<正>题目设a,b,c> 0,且abc=1,求证:(2(1+a²)(1+b2)(1+b²)(1+c2)(1+c²))(1/2)≥1+a+b+c.这是2017年沙特阿拉伯JBMO的一道不等式,左边有根号而右边没有,因此将左边根号去掉是解题的关键.下面介绍两个漂亮证法与读者分享.证法1设复数z_1=1+ai,z_2=1+bi,z_3=1+ci,则1+a2))(1/2)≥1+a+b+c.这是2017年沙特阿拉伯JBMO的一道不等式,左边有根号而右边没有,因此将左边根号去掉是解题的关键.下面介绍两个漂亮证法与读者分享.证法1设复数z_1=1+ai,z_2=1+bi,z_3=1+ci,则1+a²=z_12=z_1²,1+b2,1+b²=z_22=z_2²,1+c2,1+c²=z_32=z_3²,     

“解答题”检测题

1.设函数f（x）=cos x/4（sin x/4+cos x/4）-1/2。（1）求函数y=f（x）取最值时x的取值集合;（2）在△ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,且满足（2a-c）cosB=bcosC,求函数f（A）的取值范围。2.已知函数f（x）=ax+b（1+x²）^1/2（x≥0）的图像经过（0,1）,且f(3^1/2)=2-3^1/2。（1）求f（x）的值域;     

费恩斯列尔——哈德维格尔不等式的推进

<正>众所周知,在三角形中有著名的外森比克(Weitzenbock’ sinequatily)不等式(以下简称"W不等式"):在△ABC中,a,b,c为其三边长,Δ为其面积(本文下同),则a²+b2+b²+c2+c²2^≥4+3≥4+3^(1/2)Δ(1)     

2011爱沙尼亚国家队选拔题简证及推广

2011年爱沙尼亚国家队选拔考试第4题设a,b,c为正实数,满足2a²+b²=9c²,证明:（2c）/a+c/b≥3^1/2.侯典峰、郝明泉两位老师在文[1]中主要依据均值不等式,对该题给出了"三个简证".经过探求,笔者发现,借助权方和不等式证明该题,更显简洁.证明:由题设知a,b,c为正实数,满足2a²+b²     

斐波那契数列的推广及性质

本文主要将斐波那契数列推广到更一般的二维线性递归数列{Tn}.{Tn}满足Tn=(I,n=1,a,n=2,aT_n-1+bT_n-2,n≥3,其中a,b∈R且a2+4b>0,给出并证明了其通项公式Tn=1/（a2+4b）¹/2[（（a+（a2+4b）¹/2）/2）ⁿ-（a-（a2+4b）¹/2）ⁿ;其次证明了其性质T_nT_n+d-T_n+1T_n+d-1=-（-b）ⁿ⁺¹T_d-1,其中d≥2;最后例说了通项的应用.     

坐标式三角形面积公式及其应用

<正>高考题1(2010年高考辽宁卷理科第8题)平面上O,A,B三点不共线,设OA→=a,OB→=b,则△OAB的面积等于()A.(a²*b2*b²-(a·b)2-(a·b)²)2)^(1/2)B.(a(1/2)B.(a²b2b²+(a·b)2+(a·b)²)2)^(1/2)C.1/2(a(1/2)C.1/2(a²b2b²-(a·b)2-(a·b)²)1/2D.1/2((a2)1/2D.1/2((a²*b2*b²+(a·b)2+(a·b)²)1/2答案:C.这道高考题的结论就是向量形式的三角形面积公式:定理1若三点O,A,B不共线,则S_(△OAB)=1/2