几道常见题的暗疾及其诊断

下面这几道题在一些数学资料上经常遇见,所提供的答案似乎都“有理有据”,但细细品味,这几道题目皆为存有暗疾的病题.现将它们的病因诊断出来.供大家参考.例1 已知0相似文献   

一个关于方程α~x=|log_αx|解的个数的猜想的证明

对方程 a~x=|log_ax|解的个数,文[1]给出了一个猜想:猜想:对方程 a~x=|log_ax|,当 a∈(0,e~(-e))时,方程有4个根;当 a∈[e~(-e),1)时,方程有2个根.上述猜想是成立的,本文给出一种证明.为证明猜想,先给出一个引理.引理对方程 a~x=log_ax,有(i)对于0相似文献   

不带着“log_ax”旅行

题1 解关于x的不等式 |log_aax~2|<|log_ax|< 2(《中学数学》(苏州)96年第3期第26页例4). 解 原不等式化为: |2log_ax 1|<|log_ax| 2 令log_ax=y,则|2y 1|<|y| 2.     

函数、导数与不等式综合练习

一、选择题1.已知{x|x2-1=0}A{-1,0,1},则集合A的子集个数是().A.3B.4C.6D.82.已知全集I=R,集合M={x|x2-3x-4<0},N={x||x-1|>2},则M∩IN=().A.{x|31是|a+b|>1的充分而不必要条件,命题q:函数y=|x-1|-2的定义域是(-∞,-1]∪[3,+∞)则().A.“p或q”为假B.“p且q”为真C.p真q假D.p假q真4.将奇函数y=f(x)的图像沿x轴的正方向平移2个单位,所得的图像为C,又设图像C′与C关于原点对称,则C′对应的函数为().A.y=f(x+2)B.y=f(x-2)C.y=-f(x+2)D.y=-f(x-2)5.设a>0,…     

局部含绝对值问题的教学策略

<正>函数y=|f(x)|和函数y=f(|x|)的问题,可转化为函数y=f(x)的相应问题解决,这一转换已为学生熟知.含有绝对值但不属于上述两种类型的函数问题,我们不妨称它为"局部含绝对值"的问题.例如下面的问题.问题1(2009年江苏高考题)设a是实数,函数f(x)=2x²+(x-a)|x-a|.(1)若     

具有某些梯度条件的非线性椭圆方程组的爆破解

探讨了定义于R^d,d≥1上的具有梯度项的非线性椭圆方程组{Δu_1-u_1|▽u_1|d,d≥1上的具有梯度项的非线性椭圆方程组{Δu_1-u_1|▽u_1|²=a_1(|x|)g_1(u_1,…,u_d)…Δu_d-u_d|▽u_d|2=a_1(|x|)g_1(u_1,…,u_d)…Δu_d-u_d|▽u_d|²=a_d(|x|)g_d(u_1,…,u_d)在一定条件下,无穷多个正的整体径向爆破解的存在性.     

解题中的添绝对值变形

解答含有绝对值的问题时 ,我们习惯上考虑化去绝对值的方法。这样常常要分类讨论 ,过程较为繁琐。事实上 ,对于某些问题 ,利用添绝对值的变形 ,可避免分类讨论情况的发生。例 1　已知 ab<0 ,求 a2 |b|- b2 |a|+ab(|a|- |b|)的值。解 :由 ab<0 ,a2 >0 ,b2 >0 ,得 a2 =|a2 |,b2 =|b2 |,ab=- |ab|。原式 =|a2 |· |b|- |b2 |· |a|+(- |ab|) (|a|- |b|) =|a2 b|- |ab2 |- |a2 b|+|ab2 |=0。例 2　若 a>0 ,b<0 ,则方程 |x- a|+|x- b|=a- b的解集是。解 :注意到 a- b=a+(- b) >0 ,∴ |x- a|+|x- b|=|a- b|,∴ |a-x |+|x- b|=|(a- x) +(x- b) |,∴…     

绝对值函数的常见类型及求解策略

<正>一、常见的含绝对值的函数类型及其图象常见的含绝对值的函数主要包括y=|f(x)|和y=f(|x|)两种类型.由于自变量x的取值被分成若干不同的区间,因此,这些函数在不同的区间有不同的表达式:f(x),f(x)0,y=|f(x)≥|={-f(x),f(x)<0,{f(x),x 0,y=f(|x|)≥=f(-x),x<0.     

促进数学思维训练的好题

1.设P、Q为两个非空实数合,定义集合M N={a b|a∈P,b∈Q},若P={0,1,2},Q={3,4},则P Q中的元素个为().A.9B.7C.5D.32.已知函数y=|ax2-2x 1有四个单调区间,则a的取值范是().A.(-∞,0)∪(0,1)B.(-∞,1)C.(1, ∞)D.(0, ∞)3.设集合A=xx-1x 1<0B={x||x-1|相似文献   

高中数学解题的几点策略

一、构造法的应用例1关于x的方程xlg（x＋2）=1的实根个数是____.解析本题直接求解方程的根,显得困难．但将原方程进行适当的变形构造新的方程得1g（x＋2）=1/x,则方程解的个数即为函数y=1g（x＋2）与函数y=1/x的图像的交点个数。在同一坐标系中画出它们的略图,可见图象有两个交点,所以原方程有两个实根．     

一类竞赛题的设计方法初探

在初中数学竞赛中，常见到如下类型的题目：①方程|x-2|＋|x-3|＝1的实根个数有()个.（第四届初中《祖冲之杯》数学邀请赛试题）则x的范围是（广州、武汉、福州联合数学竞赛试题）③方程有解，求④求函数（选自《中学数学竞赛题精选》）若能了解这类问题的设计原理，则对编拟、解答此类问题是有益的，为此本文作如下探讨.a2，b1，b2为实数，b1，b2均不为0，且al＜a2），则有：∵b1与b2均不为零，则bl≠b2，∴M≠m.y＝f（x）的图象如（A）（B）定性所示，∴对于直线y＝A来说当A＜m或A＞M时，无交点．当A＝m或A＝M时，有无穷多个交点.当m…     

一个解法有错的题

上海辞书出版社出版的《数学题解辞典》平面解析几何281页455题的解法有些不妥。 281页455题。作出点集D:{(x,y)||x|≤y≤|x| 3~(1/2)-1,x~2 y~2≤4},并求其面积。原书解法如下: [解] 设直线y=|x|,y=|x| 3~(1/2)与圆x~2 y~2=4分别交于A、B、C、D;圆心为O。y=|x| 3~(1/2)-1与y轴的交点为E(0,3~(1/2)-1),点集D为图中扇形OAB中除去扇形ECD所构成的区域(图中阴影部分,包括边界)。     

集合与函数的概念自测题

一、选择题(每小题5分,共10小题)1.在“①高一数学课本中的例题;②所有的高个子;③方程x2=-3的实数解”中,能够表示成集合的是().A①;B③;C①③;D①②③2.已知函数y=f(x),则该函数与直线x=a的交点个数有().A1;B2;C无数个;D至多一个3.下列哪组中的2个函数是同一函数的是().Ay=(x)2与y=x;By=(3x)3与y=x;Cy=x2与y=(x)2;Dy=3x3与y=xx24.函数f(x)=x2-2ax-3在区间(-∞,2)上为减函数,则有().Aa∈(-∞,1];Ba∈[2, ∞);Ca∈[1,2];Da∈(-∞,1]∪[2, ∞)5.已知集合A={y|y=x2-1-2},B={x|x=t2,t∈A},则集合().AA B;BB A;CA B;DB A6.若奇函数…     

一道函数图象题目的辨析

本刊1985年第4期《试谈中学数学教学中思维能力的培养》一文中的例2,原题是:讨论函数y=|x|x+ax与y=b的交点的个数.该文认为:当x≥0时,由题意,有x~2+ax-b=0,于是得到a~2+4b>0有两个交点.我们只需看下面的反例,就可以判断上述结论是错误的.令a=3,b=4,此时显然有a~2+4b>0,从而由x~2+3x-4=0得到x_1=1,x_2=-4.而x_2=-4不满足x≥0.此时,函数y=|x|x+ax与y=b的图象只有一个公共点.     

双曲线中三线共点问题探究

<正>"三线共点"问题是双曲线中较为常见的问题.通常可以先联立两条直线方程,求出交点,再将交点坐标代入第三条直线方程中来验证.这类问题的解决往往要结合双曲线的定义、几何性质,变化较多,难度较大.下面以一道联考题引入并作一些探究.例1已知双曲线(x²)/(a2)/(a²)-(y2)-(y²)/(b2)/(b²)=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F_1,F_2,过点F1作圆x2)=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F_1,F_2,过点F1作圆x²+y2+y²=a2=a²的一条切线分别交双曲线的左,右     

如何用数形结合法解题

数形结合法,是启发学生思维的一种很好的方法。它是通过数与形之间的对应和转化来解决问题。数量关系借助于图形性质,有利于解题途径的探求,保证在大多数情况下能使问题得到解决而不需要花大量的运算时间。尤其是在许多复杂的情况下,能起到很好的启发作用,从而使复杂问题简单化,抽象问题具体化,给解题带来意想不到的效果。一、对于含有参数的方程,利用数形结合,显得更为直观例1,已知|x|=ax+1有且只有一个根,则有A.a2=1B.a2≤1C.a2≥1D.以上答案都不对分析:作函数y=|x|与y=ax+1的图像,直线y=ax+1过定点A(0,1),当a≥1时,l与y=|x|交于一点在…     

一个公式的证明及其应用

设二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴的两个交点为A和B,其横坐标分别是方程ax²+bx+c=0的两个根x₁,x₂,则A、B两点间的距离为:|AB|=（?）/|a|下面用两种方法证明公式     

焦半径公式应用类型探究

<正>焦半径公式:已知F1,F2是椭圆x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)的左、右焦点,P(x_0,y_0)是椭圆上一点,则|PF_1|=a+ex_0,|PF_2|=a-ex_0。证明:椭圆的左准线方程为x=-a2=1(a>b>0)的左、右焦点,P(x_0,y_0)是椭圆上一点,则|PF_1|=a+ex_0,|PF_2|=a-ex_0。证明:椭圆的左准线方程为x=-a²/c。由椭圆的第二定义,得|PF_1|/(x_0+a2/c。由椭圆的第二定义,得|PF_1|/(x_0+a²/c)=c/a,即     

一道高考题求解视角探索

<正>一、试题呈现(2015年浙江高考题)若实数x,y满足x~2+y~2≤1,则|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值为_.二、试题解析这是2015年浙江省高考数学理科卷的第14题,问题要求的是在约束条件(实数x,y满足x~2+y~2≤1)下,以x,y为变量的二元函数(|2x+y-2|+|6-x-3y|)的最小值.问题     

一类指数型函数的性质及其应用

<正>最近,在教学中发现,形如y=a^(|x-m|)+b(a>0,a≠1)的指数型函数,在近几年的各地高考题、模拟题中屡见不鲜.考查形式有判断函数图象、求最值、求参数范围、比较大小、解不等式等等.解决这类指数型函数问题的关键是利用函数图象的性质.