承载函数压轴小题的两个新热点——x/e~x与lnx/x

<正>近年来,以"x/ex"或"lnx/x"为载体的函数压轴小题频繁地出现在全国各地的高考或模拟试卷中,此类题目常以y=x/ex+k或y=lnx/x+k(k为常数)为背景函数,考查了一元二次方程根与系数的关系、导数、函数的单调性等知识和换元、对应、图形、配凑等意识.本文将对具体实例进行剖析,力求揭示此类试题的考查形式,探索它们的题型规律,透视其求解策略,供大家复习教学     

高考命题中的两颗璀璨明珠y=e~x和y=ln x——从一道榆林市高三第一次模考题谈起

<正>众所周知,y=e^x和y=ln x互为反函数,它们相互依存、珠联璧合、外表简约、内涵丰富,像两颗璀璨的明珠镶嵌在高考试题及各地模拟试题之中,时时闪烁着耀眼的光芒。由于此类问题起点低,落点高,有利于考查学生的综合能力,一般设在压轴题的位置,可惜多数学生不能"拾级而上",常常半途而废。鉴此,笔者以2016年榆林市高三第一次模拟考试理科第21题及近几年的高考题为例,分     

这样的参考答案要讲授给学生听吗——一道高三联考题的考题分析和教学反思

<正>1引题(2017年浙江五校联考17)设实数x、y>0且满足x+y=k,则使不等式(x+1/x)(y+1/y)≥(k/2+2/k)²恒成立的k的最大值为.2考情我校把此套试卷作为一次仿真模拟让学生演练,根据考后结果数据分析17题的得分率极低,作为考试的压轴填空题确实起到了压轴的效果.但是引起笔者兴趣的并非是极低的学生得分率,而是出     

一类导数压轴题的解法

一类同时含有xe^x和lnx的求参数取值范围的函数题可以有多种解法,但是最简洁的解法是借助对数恒等式xe^x=e^x+lnx和不等式e^x≥x+1,采取切线放缩求解.题目往往形式隐蔽,对数变形和运算较抽象,不经深入研究,不强化训练,难以应对异形同质的题目.     

“隐零点”问题三探

形如y=e^x-1/x的零点问题,称之为“隐零点”问题,而“隐零点”问题在近些年各地的高考试卷上频频出现.为此,本文针对此类问题的解决作些探求与疏理.     

2013年高考数学湖北理科卷第13题的多种解法

题目（2013年高考湖北卷·理13）设x,Y,z∈R,且满足:x²+y²+z²=1,x+2y+3z=√14,则x+y+z=——.解法1（柯西不等式）因为x²+y²+z²=1,x+2y+3z=14^1/2,所以利用柯西不等式得（1²+2²十3²）·（X²+y²+z²）≥（x+2y+3z）²,即14≥14,说明不等式等号条件成立,故1/x=2/y=3/z.令1/x:2/y:3/z:1/k,则x=k,Y=2k,z=3k,将其代入x+2y+3z=14^1/2,得k=14^{1/2),即x+y+z=6k=14^1/3.     

构造双函数巧解一类不等式问题

<正>不等式是历年高考考查的热点,尤其是与不等式恒成立有关的问题,由于解法多样,方法灵活,可有效地考查学生的逻辑思维与创造性思维,因而,在多年的高考与竞赛中倍受青睐.近两三年的各地高考中,出现的一类不等式问题,常含有xln x,x/(ln x),(ln x)/x,xe^x,x/ex,x/e^x,ex,e^x/x型中的一x种或两种形式,思维要求更高,用通常方法处理往往无从着手.为此,本文通过构造双函数,别     

对2017年新课标Ⅱ文科第21题的解法探究

<正>2017年高考新课标Ⅱ文科第21题,题目虽不新颖,但是内涵丰富,引起了笔者的深入探索和思考.题目如下:设函数f(x)=(1-x²)e2)e^x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当x≥0时,f(x)≤ax+1,求a的取值范围.1试题分析本题属于传统题,考查了函数的单调性和恒成立问题.以含参数不等式问题为载体,既考查学生的分类讨论思想、等价转化思想、数形结合思想和函数     

妙用不等式“A/x+B/y≥(A~(1/2)+B~(1/2))~2/(x+y)”智取一类最值

各类资料都有如下一类二元极值:题目1已知x,y∈R~+,且1/x+4/y=1,求4x+9y的最小值;题目2已知x,y∈R~+,且2x+9y=5,求2/x+1/y的最小值.此类最值,我们老师采用如下方法,以题目     

说点又非点——由一道高考题说起

题目（2012年江苏高考18题）若函数y=f（x）在x=x₀处取得极大值或极小值,则称x₀为函数y=f（x）的极值点.已知a,b是实数,1和-1是函数f（x）=x³+ax²+bx的两个极值点.（1）求a和     

2012年山东高考数学试题(理科)第22题解析

题目已知函数f(x)=lnx+kex(k为常数,e=2.71828…是自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行.(Ⅰ)求k的值;(Ⅱ)求f(x)的单调区间;(Ⅲ)设g(x)=(x2+x)f′(x),其中f′(x)为f(x)的导函数.证明:对任意x>0,g(x)<1+e-2.本题是2012年山东高考数学理科试题函数问题压轴题,在知识上主要考查函数的定义域、单调性,导数、导数的几何意义,不等式的证明;     

从高考卷看函数y=x+α/x(α≠0)性质应用的演变

对于函数y=x+a/x(α≠0)的图像和性质的考查一直是高考题中常考常新的考题,主要考查函数y=x+a/x(α≠0)的单调性、最值的研究和应用.     

选择题的解法

随着微机阅卷的普及,选择题在试卷中占的比例越来越大。下面介绍几种数学选择题的解法。 一、顺推法 从题目所给的条件出发,通过推理或计算得出正确结论,这种方法比较常用。 例:设函数y=(lnx)~x则导数y’等于A:xlmx~(x-1)B:(Lnx)~X·ln(lnx) C:ln(lnx) 1/lnx D:(lnx)~x·[ln(lnx) 1/lnx]分析:y=(lnx)~x是幂指函数,求其导数顺先对函数两边取对数。所以lny=x·ln(lnx)所以:y’/y=ln(lnx) 1/lnx 所以y’=(lnx)~x·[ln(lnx) 1/lnx]因而D正确     

一道高三调研试题的探究

集函数、数列、不等式等为一体的一类题目,因考查的知识点多、综合度高、灵活性大等特点,备受命题者的青睐,频频现身于高考或各地模拟试卷中．本文将通过一道高三调研试题的解决,介绍一个重要的函数不等式：若x〉0。则lnx≤x-1,并对此函数不等式进行一系列的探究与用法归纳．     

一道数学问题的解答错误引起的教学思考

<正>在高三的复习迎考教学中,我们遇到了一个解法正确,结果错误的不等式恒成立问题,即后面的题目,找出错因后引出了一些思考.题目已知函数f(x)=lnx,g(x)=e^x,其中e=2.71828…是自然对数的底数.(1)若函数Φ(x)=f(x)-(x+1)/(x-1),求Φ(x)的单调区间;(2)若x≥0,g(x)≥kf(x+1)+1恒成立,求实     

为何错解如此流行——老调重弹函数的单调性

<正>不等式恒成立问题一直是高考、各类省市质检的热点．解决此类问题,最终均转化函数的最值问题,而函数导数是求解函数最值的重要方法．为了增加试题灵活性和简洁性,e^x与lnx备受命题者的青睐．近几年,e^x与lnx同时出现的题也如雨后春笋,直接构造函数求解往往比较复杂甚至不可解,利用同构策略结合函数的单调性大大减少了运算量,这也让广大师生把同构研究得更透彻．     

函数f(x)=x+k/x(k>0)的性质及其变形和应用

本文就函数f(x)=x+k/x(k>0)的图像,性质及其变形和应用进行归纳总结并展开讨论.结论1函数f(x)=x+k/x(k>0)的图象及性质:(1)图象如右图所示:(2)性质:①是奇函数;②在区间(k,+∞)和(?∞,?k)上单调递增,在区间(?k,0),和(0,k)上单调递减;③在x>0时,有最小值2k,在x<0时,有最大值?2k;④存在两条渐近线为直线y=x和x=0.应用1试讨论y=b/a+a/b(ab≠0)的取值情况.解当ab>0时,y≥2;当ab<0时,y≤?2,评述构造函数y=x+1/x,充分利用性质③进行解题.应用2求函数y=x+4/(x?3)(x>3)的最小值.解y=x?3+4/(x?3)+3≥7,当且仅当x=5时等号成立.所以y的最小值为7.评述令…     

多视角觅答案 巧反思探背景——2020年高考全国Ⅰ卷理科第21题的探究

<正>一、题目呈现与分析题目(2020年高考全国Ⅰ卷第21题)已知函数f(x)=e^x+ax²-x.(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;(2)当x≥0时, f(x)≥(1/2)x³+1,求a的取值范围.题目结构清晰,知识方面主要考查函数的单调性,函数不等式恒成立,导数在函数中的应用等;思想方面主要考查函数与方程,分类讨论,转化与化归,数形结合等思想.试题分步设问,逐步推进,由浅入深,重点突出,综合考查考生逻辑思维、推理论证及运算求解等方面的能力.试题的思维过程和运算过程体现了能力立意的思想,较好地体现了函数与导数中核心内容和基本思想方法的考查,对于考生运用所学知识,寻找合理的解题策略有较高的要求.     

|f(x)-ax-b|问题探析

<正>绝对值问题由于是考查转化化归、数形结合与分类讨论思想的好载体,能体现学生处理函数的综合能力,因此一直是竞赛、高考和模拟题中的"压轴明星".同时由于缺乏固定的套路是不少学生头疼的"硬骨头",笔者通过对一些题目的分析,发现用最基本的绝对值不等式转化为直线"两边夹"函数(|f(x)-ax-b|≤c,则ax+b-c≤f(x)≤ax+b+c)     

例说函数y=Asin(ωx+φ)+κ的应用

一、考查函数的奇偶性对于函数f(x)=Asin(ωx+φ)(φ≠0),当φ=kπ(k∈z)时,函数f(x)为奇函数;当φ=kπ+π/2(k∈z)时,函数f(x)为偶函数;否则函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.例1函数y=sin(x+φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数,则φ=