一道高考题的研究与拓展

<正>原题(2012年高考数学江苏卷14题)已知正数a,b,c满足:5c-3a≤b≤4c-a,cln b≥a+cln c,则b a的取值范围是.解题思路与方法的探讨:该题所给条件让人产生一种似曾相识的感觉,即与线性规划形式上比较相近,但不同之处有两点.一是条件中的不等关系存在多于两个变量,二是存在着非线性关系,而如果能通过合理使用等价转化,数形结合等思     

高考不等式问题解法探索

高考中,不等式问题或显或隐,或常规或玄妙,容易彰显考生能力的高低.2012年高考中不等式新颖试题不少,推陈出新,耐人寻味.一、数形结合、换元转化例1(2012年高考江苏卷理14)已知正数a,b,c满足:5c-3a≤b≤4c-a,clnb≥a+clnc,则b a的取值范围是.分析:粗看试题,是一个代数问题,切入难.审视题目结构,联想到线性规划类型.但有a,b,c3个变数,需减元,可是     

由一道高考题引起的研究性学习

1问题来源笔者在高二的选修课上,特意选取2012年江苏高考数学第14题作为研究性学习的问题.已知正数a,b,c满足:5c-3a≤b≤4c-a,cln b≥a     

多变量题的常见解法

换元法多变量题如果能利用题设的相关条件,应用整体思想换元,将多元问题转化成一元、二元问题,那么解题便可一气呵成.例1已知正数a,b,c满足:5c-3a≤b≤4c-a,clnb≥a+clnc,则b/a的取值范围是__.     

一类特殊的线性规划问题

<正>只含有两个变量的简单线性规划问题一般可用图解法来解决.但通过对近几年高考试题和各地模拟题的线性规划类型题目的分析,发现有的约束条件中含有三个变量,不能直接用线性规划知识解决,需要学生对题目进行综合分析,通过换元转化成两个变量,再运用线性规划进行求解.例1设正数a,b,c满足3a+c≤2b≤4(1/2)ac,求a+b+c/a-b的取值范围.分析本题的条件是含有三个变量的不     

离心率取值范围求解策略

范围问题是数学中的一大类问题,在高考试题中占有很大的比重.圆锥曲线离心率取值范围问题虽然在最近几年高考中有些弱化,但一旦在高考中出现,将是一道难题,所以我们有必要寻求离心率取值范围的求解策略.求离心率取值范围的关键是根据圆锥曲线本身a,b,c的等量关系和题目给出的条件,建立a,c的不等关系,从而求出离心率     

巧妙利用三角形三边关系解题

<正>近几年来,在江苏各地高三模拟试题中,发现一类关于隐含三角形三边关系的题型常常出现,学生很难找到突破口.本文通过几个例题,让大家感受如何挖掘题目中隐含的三角形三边关系.例1已知ΔABC的三边长a、b、c满足b+2c≤3a,c+2a≤3b,则b/a的取值范围为____.思路从题设条件出发,利用三角形的     

一道高考试题的解法集锦

题目:已知实数a,b,c满足a+b+c=0,a2+b2+c2=1,试求a的最大值.本题是2014年浙江省高考数学文科第16题,它虽然是一个填空题,但题目形式结构简洁、内涵丰富,入口较宽、解法多样,是近几年较为流行的多变量函数范围问题的典型代表,值得加以研究.本文将从不同的视角入手给出这一经典试题的十种解法,供读者参考.视角一方程思想     

不同的变形方向 不同的函数模型

<正>题目(2012年江苏高考题)已知正数a,b,c满足cln b≥a+cln c,则b a的最小值是__.这是一道绝妙题.命题人以"三元链式不等式"与"一个含有三元的对数不等式"为题设条件,精心打磨、包装,将几种平时学生都很熟悉的数学思想方法创造性地融合于一题之中,看起来却浑然天成,不显人工雕琢的痕迹,饱含着命题者的心血.初次审题,可能毫无头绪,但细细分析,所求b     

由两道题想到的……(高二、高三)

题1 已知实数a,b,c满足a b c=5,a2 b2 c2=9.求证:1≤a,b,c≤7/3.分析1 注意到a,b,c的对称性,只需求出其中一个的取值范围即可,可视其中一个为主元(如a),将已知式变形,再寻求两式之间的联系,建立不等关系,求出主元的取值范围.     

减元思想在多变量问题中的运用

<正>减元思想是指减少问题中变量的个数,将多元变量问题转化为一元变量问题,其实质是转化与回归思想.数学方法附属于数学思想,而数学思想又要通过数学方法来体现.本文通过具体的方法,结合实际教学中的典型例题,展现减元思想在多元变量问题中的运用.一、换元减元例1已知a,b是单位向量,a·b=0,若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的取值范围是.     

错在哪里

题目已知实数a,b,c满足a+b+c=1,a 2+b 2+c 2=3,则c的取值范围是.解答∵a+b+c=1,∴a+b=1-c,又∵a 2+b 2+c 2=3,∴a 2+b 2=3-c 2.根据均值不等式a+b 2≤a 2+b 22得1-c 2≤3-c 22,且该均值不等式成立的条件:a、b∈R,等号成立条件:a=0,b≥0或a≥0,b=0或a=b>0.解不等式1-c 2≤3-c 22得:1-c≤0,3-c 2≥0,或1-c>0,3-c 2≥0,()2≤3-c 22,∴1≤c≤3或-1≤c<1,综上可得:-1≤c≤3.     

一道不等式试题的几何视角

正试题呈现设anc且a+b+c=1,a~2+b~2+c~2=1,求a+b的取值范围.文[1]中采用构造方程的方法,将问题转化为根的分布问题,去除技巧,解法自然,不失为好方法.但观察式子中的变量a,b,c,如果将其中的a,b看作变量,c看作常量的话,将式子变形为a+b=1-c,a~2+b~2=1-c~2,考虑到方程有解,直接将问题转化为给定范围内解决直线与圆相交问题.另解:由abc,得1=a+b+c3c,故c1/3①;若存在a,b满足a+b+c=1,a~2+b~2+c~2=1,则圆心(O,O)到直线的距离d=|c-1|/2~(1/2)     

利用图像(形)求解数学问题方略探究

正一、利用函数图象解题例1(2013年山东济宁中考)已知ab=4,若-2≤b≤-1,则a的取值范围是()A.a≥-4 B.a≥-2C.-4≤a≤-1 D.-4≤a≤-2解析:由ab=4可得a=4,即a与b成反比例b函数关系,画出反比例函数图象,由自变量b的取值范围,探求函数a的取值范围.评析:上述方法虽然叙述复杂了点,但一眼就能看出结果,从"形"的角度直观地发现了范围,降低了运算量,这种数形结合的分析策略显然对于选择题的求解速度大有好处,值得同学们积累.     

一道伊朗国家选拔不等式试题的再探究

正问题设a,b,c,0,a+b+c=3,求证:1/(2+2a+b2)+1/(2+b2+c2)+1/(2+2c+2a)+≤3/3.①这是2009年数学奥林匹克竞赛伊朗国家选拔考试中的一道试题.文[1]采用固定变量的方法给出了式①的一个证明,利用同样的方法,文[2]给出了该试题的如下推广:     

初中生会做的高考代数题

<正>虽然高考题向来被学生们所畏惧,但只要多思考、多分析,初中生也能解一些高考试题。现举数例说明如下,供大家参考。一、解概率问题例1 (2010年江苏高考试题)盒子里共有大小相同的3只白球,1只黑球,若从中随机摸出2只球,则它们颜色不同的概率是___。解:设3只白球,1只黑球分别为a、b、c,d,则从中随机摸出2只球共有(a,b)(a,c)(a,d),(b,     

解析几何中求解变量范围的几种方法例谈

解析几何中求变量取值范围问题是综合性较强的一类问题,这类问题既是数学教学中的难点,也是高考关注的热点.解决这类问题的基本思路是寻找所求变量与其他变量的关系,从中建立相应的函数、方程或不等式等,将问题转化为求相应函数方程或不等式中有关变量的取值范围.     

离散最值问题及其解法

离散最值问题指自变量为非连续性（如自变量在整数或自然数范围内取值）的条件最值问题。这类问题形式活泼、题型新颖、运用基础知识较少、蕴含着丰富的思想方法。本文拟结合有关数学竞赛试题,探讨解决这类问题的基本方法。 1.主元法 离散最值问题往往涉及几个变量,其中有一个变量条件最强,思考时紧紧抓住这个变量,将其它变量用它代换,这样,问题就转化为只含有一个元的表达式,从而易于求解,我们称这种方法为“主元法”。 例1 若a、b、c、d是整数,b是正整数且满足a b=c,b c=d,c d=a,那么a b c d的最大值是（ ） (A)-1;(B)-5;(C)0;(D)1。 （1991年全国初中数学联赛试题） 分析:a、b、c、d是整数,b是正整数,b的条件最强,以b为主元,将a、c、d分别用b表示,则有     

2010年《数学周报》杯全国初中数学竞赛

一、选择题(每小题7分,共35分) 1.若a/b=20,b/c=10,则a+b=b+c的值为( )． (A)11/21 (B)21/11 (C)110/21 (D)210/11 2.若实数a、b满足1/2a-ab+b2+2=0,则a的取值范围是( ). (A)a≤-2 (B)a≤-2或a≤4 (C)a≥4 (D)-2≤a≤4     

巧算两次解决多元变量最值问题

函数最值是高中数学的基本概念,也是高考考查的重点。 在每年的高考试题中,求最值、取值范围从不缺席,其中的多元 变量最值问题由于存在两个以上变量,通常我们可以利用等式 消元或整体看待转化为一个变量,也就是单变量问题解决,但 如果所给条件不适合或者不能等式消元,就需要寻找另外一种 转化方式来解决此类问题。可以利用不等式的连续变换,通过 算两次(或多次)逐个消去变量达到求最值的目的。