函数y=f(x+1)的反函数是y=f~(-1)(x+1)吗

如果函数y=f(x)有反函数y=f~(-1)(x),那么函数y=f(x+1)的反函数就是y=f~(-1)(x+1)吗? 例已知f(x)=2~x,函数y=g(x)的图象与函数y=f~(-1)(x+1)的图象关于直线y=x对称,求g(2)。     

一类反函数习题的错解辨析

题型:若函数 y=f(x)存在反函数 y=f~(-1)(x),求 y=f(x-1)的反函数.解:因为 y=f(x)的反函数是 y=f~(-1)(x),在解析式中,用 x-1代换 x 得 y=f(x-1)的反函数是 y=f~(-1)(x-1).在解题时很多学生会用上述的解法求反函数,这种解法正确与否?探究①:函数 y=f(x)与 y=f(x-1)之间是什么关系?同样,函数 y=f~(-1)(x)与 y=f~(-1)(x-1)之间又是什么关系?     

两个方程根之间的关系及其推论

设函数y=f(x),y=g(x)的反函数分别为:y=f~(-1)(x),y=g~(-1)(x).记方程f(x)=g(x)及f~(-1)(x)=g~(-1)(x)的根分别为α、β.若F(x)=f(x)-g(x)是单调函数,则有β=f(α)=g(α).     

互反函数的一个性质及应用

在高中代数第一册(甲种本)里曾证明过:若f(x)和f~(-1)(x)互为反函数,则它们的图象关于y=x对称。在此再证明一个命题,并介绍一个应用。命题:函数y=f(x)的反函数为y=f~(-1)(x)。设方程f(x)=f~(-1)(x),x=f(x),x=f~(-1)(x)的解集分别是M_1,M_2,M_3。     

幂函数、指数函数、对数函数单元测试题

已知下列命题:①函数y=f(x)与其反函数y=f~(-1)(x)的图象若有公共点,则公共点必在直线y=x上;②若y=f(x)有反函数,则它一定是单调函数;③若函数y=f(x)存在反函数y=f~(-1)(x),则必有f[f~(-1)(x)]=f~(-1)[f(x)]=x成立;④f(x)与f~(-1)(x)有相同的单调性,其中不正确的个数有( )     

函数解析式求法六种

1 原反函数法若知函数y=f(x),欲求其反函数,从y=f(x)中解出x=f(y),验证并交换变量符号,得y=f~(-1)(x)。例1 (1996年上海高考题)函数y=x~(-2)(x<0)的反函数是__。解:由y=x~(-2)(x<0),得x=-y~(-1/2), 所以y=x~(-2)(x<0)的反函数是y=-x~(-1/2)(x>0)。     

反函数恒等式的成立条件及其应用

f[f~(-1)(x)]=?,f~(-1)[f(x)]=?,f[f~(-1)(x)]=f~(-1)[f(x)]成立吗?在学习了反函数知识以后,常有学生提出这类问题,下面我们来探讨一下这几个有趣而重要的式子。从课本上可知,如果函数f(x)的定义域是A,值域是B,那么反函数,f~(-1)(x)的定义域是B,值域是A。     

浅析求反函数的方法

高中课本及其配套教学参考书在小结求反函数的步骤时这样指出:①先将y=f(x)看成方程,解出x=f~(-1)(y);②互换x=f~(-1)(y)中的x,y,即得反函数y=f~(-1)(x)。课本中的例题解答也全都按这两步进行。其实,所求得的“反函数”不一定是原函数的反函数,因为所求得的“反函数”的定义域未必是原函数的值域。因此,在求反函数时,必须先确定原函数的值域,即确定反函数的定义域,然后再按上述步骤求出反函数。所以求反函数应包含如下三个步骤:(1)求出函数y=     

2007年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题

第一试一、选择题(每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知函数,f(z)=|2x-4|-3x 8(x∈R),则f(x)的反函数 f~(-1)(x)的解析式是( ).A.f~(-1)(x)=-x 4(x∈R)B.f~(-1)(x)=-1/5x 12/5(x∈R)C.f~(-1)(x)={-x 4(当 x≤2时),-1/5x 12/5(当 x>2时)     

关于正、反函数图象的交点

在一篇文章中见到这样的看法:“函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f~(-1)(x)的图象关于直线y=x对称,则它们的交点(如果相交)在直线y=x上。因此求交点,即解方程组等价于解方程f(x)=f~(-1)(x),又等价于解方程f(x)=x(或f~(-1)(x)=x)。”用以下结论解题笔者认为,这种看法不妥,还应商榷。     

课本变式题库

解:由反函数的意义知,求f~(-1)(1)的值,相当于解方程f(x)=1,即解方程1g(x~2 11x 8)-1g(x 1)=1。 解这个方程,得x_1=-2,x_2=1,检验知x=-2是增根,所以,x=1是原方程的解,故f~(-1)(1)=1。     

这两道题值得商榷

一本杂志上刊登过如下一道题目: 题一:设,f(x)=(x~2-4)~(1/2)(x≤-2).(1)求f~(-1)(x);(2)设a_1=1,a_n=f~(-1)(a_(n-1))(n≥2,n∈N),求a_n;(3)求sum from i=1 to n 1/(a_1+a_i+1)的值该题作为函数与数列的综合题在教学中广为流传,通常简解如下解:(1)函数,f(x)=(x~2-4)~(1/2)(定义域为x≤—2,值域为y≥0)的反函数为f~(-1)(x)=-(x~2+4)~(1/2)(定义域为x≥0,值域为y≤-2) (2)∵a_1=1,a_n=f~(-1)(a_(n-1))由迭代法得:a_n=-(a_(n-1)~2+4)~(1/2)=-(a_(n-2)~2+2×4)~(1/2)=…=-(a_1~2+(n-1)4)~(1/2)=-(4n-3)~(1/2)(亦可由a_n~2=a_(n-1)~2+4,n=2,3,…n,累加而得) (3) 注意到 a_n~2-a_(n-1)~2=4,     

数学分析问题研讨两则

<正> 本文就数学分析中两类计算较为繁琐的问题进行研讨,在理论分析的基础上,给出了相应的简单易行的计算方法,使之对问题的处理更加灵活多样.一、关于函数与反函数在积分中的关系数学分析教材中都提到,当函数y=f(x)与其反函数X=f~(-1)(y)满足一定条件时,有f~(-1)[f(x)]=X,f[f~(-1)]=y及f′(x)=1/[f~(-1)(y)]′(或f′(x)·[f~(-1)(y)]′=1).而对它们在积分中的关系却未曾涉及.以下给出其关系式;并谈谈它们的几何意义和应用.     

几类特殊函数的反函数

一、分段函数的反函数分段函数的反函数一定也是分段函数,具体求时,一般是把每一段当作单个函数来求,最后写成分段函数的形式.在这个过程中要注意函数的定义域、值域与其反函数的值域、定义域的对应关系.例1设函数f(x)=-log3(x 1),x∈(6, ∞),3x-6,x∈(-∞,6]的反函数为f-1(x),若f-119=a,则f(a 4)=.解当x>6时f(x)<0,x≤6时f(x)>0.又f-119=a,∴f(a)=91,∴3a-6=91,解得a=4,∴f(a 4)=f(8)=-log3(8 1)=-2.例2求函数f(x)=x2-1,x∈[0,1),239-x2,x∈[-3,0)的反函数.解由y=x2-1(0≤x<1),解得x=1 y(-1≤y<0).又由y=239-x2(-3≤x<0)得x=-9-49y2(0≤y<2…     

求反函数步骤值得商榷

全日制普通高级中学数学第一册(上)(试验本·必修)教师教学用书中指出:“求由解析式给出的函数y=f(x)的反函数时,要强调分两步骤进行,第一步将y=f(x)看成方程,解出x=f~(-1)(y),第二步将x、y互换,得到y=f~(-1)(x)。”而试验课本P_(79)例1解答全部是按照上述两步进行的,虽然结果正确,但仅限于这两步,解法值得商榷。     

函数与其反函数的图象相交规律

人们用方程组求方程f(x)=f~(-1)(x)的解,f(x)与f~(-1)(x)的图象的交点,为什么有的无解、有的漏解呢?由于前者结果是后者交点的横坐标,所以这两类题的解都由f(x)与f~(-1)(x)的图象是否相交、交点在何处来确定。要回答上述疑问和有依有据地解好这两类问题,必须找到,f(x)与f~1(x)的图象相交的规律。笔者探索这规律时,发现连续函数有下面几个有趣的命题(命题中的函数连续)。[命题1] 斜率不为±1的一次函数与其反函数的图象有且仅有一个交点,这个交点在直线y=x上。     

论原函数与其反函数图像的公共点

我们知道,单调函数都存在反函数,且反函数与原函数具有相同的增减性,互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x对称,但是它们的图像不一定有公共点,如果有公共点,那么公共点是否一定在直线y=x上呢?如果曲线与其轴对称曲线有公共点,那么公共点是否一定在对称轴上? 定理1 函数y=f(x)与它的反函数y=f~(-1)(x)的图像的交点,或者在直线y=x上,或者关于直线y=x对称地成对出现. 证明:设点P(a,b)是函数y=f(x)与y=f~(-1)(x)的图像的交点. (1)若a=b,则点P(a,b)在直线y=x     

原函数与反函数图象交点问题的探究

一、问题的提出与探究已知函数f(x)=(-3x 7)~(1/2)(0≤x≤7/3), 求y=f(x)与它的反函数y=f-1(x)的交点．一般常有这样的思路: 解:y=f(x)与y=f-1(x)相交于y=x上, 所以建立方程 x=(-3x 7)~(1/2)(0≤x≤7/3), (舍去),     

错在哪里

<正>题目已知函数f(x)=3~(x-b)(2≤x≤4)的图象过点(2,1),则F(x)=[f~(-1)(x)]~2-f~(-1)(x~2)的值域为______.错解由题意得f(2)=3~(2-b)=1,所以b=2,f(x)=3~(x-2).因为函数f(x)的定义域为2,[4],所以2≤f~(-1)(x)≤4,0≤log_3x≤2,又F(x)=[f~(-1)(x)]~2-f~(-1)(x~2)     

求函数解析式的常用方法

函数解析式是研究函数性质的基础 ,求函数的解析式是函数问题中较难掌握的一类问题 ,下面结合实例谈谈求函数解析式的 1 0种常用方法 .1　配凑法已知f[g(x) ]的解析式 ,求f(x)的解析式 ,常用配凑法 .例 1　已知f(x 1x) =x2 1x2 -x -1x 1 ,求f(x) .解　因为f(x 1x) =(x 1x) 2 - (x 1x) - 1 ,所以f(x) =x2 -x - 1 .评注　配凑法的关键就是通过观察 ,把f[g(x) ]的解析式凑成关于g(x)的形式 .2　换元法已知f[g(x) ]=h(x) ,且g(x)存在反函数 ,求f(x)的解析式 ,常用换元法 .例 2　已知f(x 1x ) =x2 1x2 1x,求f(x) .解　设x 1x =t,则x =1t…