直角三角形的一个有趣性质--兼擂题(62)第1题的解答

<中学数学教学>2003年第4期擂题(62)第1题是: △ABC中,CD⊥AB于D,△ACD、△BCD、△ABC的内切圆分别切AC、BC、AB于E、F、G.证明或否定:∠EGF为直角的充要条件是∠ACB为直角.     

关于三角形中线的一个不等式

经过探讨,笔者得到了三角形中线长的一个有趣的不等式. 定理若ma,mb,mc分别是△ABC的三条中线长,R,r为△ABC的外接圆和内切圆半径,则有(m2a)/(bc) (m2b)/(ca) (m2c)/(ab)≥2 (r)/(2R).     

一个三角形不等式的证明--兼擂题(69)的解答

本刊2004年第5期有奖解题擂台(69)中,孙文彩和万家练老师提出了如下不等式问题:     

构造三角形中位线与斜边上中线证题

三角形中位线定理揭示了图形线段之间的数量关系和位置关系,它常与直角三角形的性质“直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”联袂解决几何中点问题,以近年中考题为例说明如下.     

三角形外心的性质及其应用

1　基础知识三角形的外接圆的圆心简称三角形的外心 .外心有如下一系列优美性质 :性质 1　三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点 ;三角形的外心到三顶点的距离相等 ,反之亦然 .性质 2　设Ｏ为△ＡＢＣ的外心 ,则∠ＢＯＣ =2∠Ａ ,或∠ＢＯＣ =3 60° -2∠Ａ(还有两式 )     

一个猜想的否定--兼擂题(56-1)的解答

孙文彩先生在本刊 2 0 0 2年第 4期有奖解题擂台(5 6)中提出如下命题 :命题　在△ＡＢＣ中 ,任何关于其内角的不等式Ⅰ满足条件 :(1 )经代换Ｔ1:∑ｃｏｓＡ =2ｎ +1 ,∑ｓｉｎＡ =2ｍ后 ,Ⅰ能等价化为关于ｍ、ｎ的二元实不等式形式ｆ(ｍ ,ｎ)≥ 0 (≤ 0 ) ( )(2 )上面的不等式 ( )经等腰代换Ｔ2 :ｍ =(1 +ｔ) 1 -ｔ2 ,ｎ =ｔ(1 -ｔ) (ｔ=ｓｉｎ Ａ2 ,Ｂ =Ｃ)后 ,不等式 ｆ(ｍ ,ｎ)≥ 0 (≤ 0 )对任意ｔ∈ (0 ,1 )成立 ,当且仅当ｔ=12 时取等号。则三角不等式Ⅰ必对任意三角形成立 ,当且仅当△ＡＢＣ为正三角形时取等号。这个命题是一个假命…     

一个二元不等式猜想的推广——兼擂题(75)解答

本刊2005年第5期有奖解题擂台（75）（笔者提供）是：     

三角形的一个性质的推广

本对[1]给出的三角形的一个性质进行推广．     

三角形中线的一个性质

正[数学问题388]在三角形ABC中,AL,BM是中线.AL和BM的延长线分别交三角形ABC的外接圆于P和Q.试问,如果AP=BQ,那么三角形ABC是否一定是等腰三角形?如果不是的话,请举出一个反例.     

一个多项式序列的性质——兼擂题（72）的解答

贵刊2005年第2期 王勇先生提供的擂题（72）如下：     

完全四边形的两个性质--兼擂题(56)第3题的解答

《中学数学教学》2 0 0 2年第 4期擂题 ( 5 6)第 3题是 :图 1如图 1所示 ,求证。( 1 )A1、A2 、A3、A4 四点共圆的充要条件是 :RA1·RA3-RA2 ·RA4 =QA1·QA4 -QA2 ·QA3;( 2 )A1、A2 、A3、A4 四点共圆或A2 A4 平分A1A3的充要条件是 :PA3·PA4 -PA1·PA2 =QA1·QA4 -QA2 ·QA3。本文给出该题的解答。( 1 )证明　必要性 :A1、A2 、A3、A4 四点共圆 ,则　RA1·RA3=RA2 ·RA4 ,QA1·QA4 =QA2 ·QA3,∴RA1·RA3-RA2 ·RA4 =QA1·QA4 -QA2 ·QA3。充分性 :　若RA1·RA3-RA2 ·RA4 =QA1·QA4 -QA2 ·QA3…     

有奖解题擂台(56)

1 (孙文彩供题 )　在△ＡＢＣ中 ,任何关于其内角的不等式Ⅰ满足如下条件 :(1 )经代换Ｔ1:∑ｃｏｓＡ =2ｎ 1 ,∑ｓｉｎＡ =2ｍ后 ,Ⅰ能等价化为关于ｍ、ｎ的二元实不等式形式　　ｆ(ｍ ,ｎ)≥ 0 (≤ 0 ) (其中ｎ∈ (0 ,14],ｍ∈ (0 ,3 34]) ( )(2 )不等式 ( )经等腰代换Ｔ2 :     

一个条件等式--有奖解题擂台(62-2)解答

<中学数学教学>2003年第4期有奖解题擂台(62)第2题中,王勇老师提出如下问题:     

两条抛物线的交点--兼擂题(59-2)解答

本刊2003年第1期有奖解题擂台(59)第2题是: 题试求出两条抛物线y2=25-6x与x2=25-8y的所有的交点的坐标(不要使用一元四次方程求根公式)(吴伟朝提供).     

一个条件不等式的证明--兼擂题(63-1)解答

本刊2003年第5期有奖解题擂台(63)中,邵剑波老师提出了如下一个条件不等式问题:     

一个三角形不等式的证明--兼擂题(61-1)解答

《中学数学教学》2 0 0 3年第 3期有奖解题擂台( 61 )中 ,严复卓老师提出了如下一个三角形不等式 :在△ABC中 ,求证cosA·cosB·cosC≤ ( 1 -cosA ) ( 1 -cosB) ( 1 -cosC) ,等号当且仅当A =B =C =π3 时成立。本文给出上述不等式的两种证明方法。证法一　设A≤B≤C ,则当C为直角或钝角时 ,cosA >0 ,cosB >0 ,cosC≤0 ,1 -cosA >0 ,1 -cosB >0 ,1 -cosC >0 ,不等式显然成立。当C为锐角时 ,此时△ABC为锐角三角形 ,设A、B、C的对边分别为a、b、c,则a≤b≤c且a2 +b2-c2 >0 ,b2 +c2 -a2 >0 ,c2 +a2 -b2 >0 ,由余弦定理 ,可将问题转…     

一个三角不等式的证明--兼擂题(59-1)解答

《中学数学教学》2 0 0 3年第 1期有奖解题擂台( 5 9)中 ,吴伟朝老师提出了如下一个三角不等式 :求证 :sin2 0 0 3° >12 ·cos2 0 0 2°。 (不要使用计算器等工具 )本文给出不等式的两个证明。证法一　∵sin2 0 0 3°=-sin2 3° ,cos2 0 0 2°=-cos2 2° ,欲证不等式即为　sin2 3°<12 cos2 2°①注意到cos2 2°>cos2 3° ,于是若有sin2 3° <12 cos2 3° ,即tan2 3°<12 ②便知①式成立。现证②式成立。先给出命题 :若A >0°,B >0° ,且A +B <1 80°时 ,则tan A +B2 ≤ 12 (tanA +tanB)③等号当且仅当A =B时成立。tanA +tanB =sin(A…     

入世:对我国人口素质提出挑战

中国入世后的最大难题,不是农业问题,也不是汽车工业问题,更不是电信问题,而是人口素质问题.人口素质太低,是我国入世后其他一切问题的最终根源.