空间向量解题时数学思想的运用

用空间向量来解决空间立体几何问题非常得心应手,比如证明平行、垂直以及求角、求距离等.但是,我们不能把眼光仅仅限制于这些问题的证明与求解.在运用空间向量解决问题时,也包含着许多数学思想运用于其中.一、方程思想求值例1已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长为2,底面边长为1,M是BC的中点.在直线CC₁上是否存在一点N,使得MN⊥AB₁?若存在,请你求出它的位置;若不存在,请说明理由.     

用空间向量解立体几何题

通过高中实验教材9B课本,不仅可以学习传统的立体几何的有关知识,而且还可以用空间向量的有关结论去解决立体几何问题.用空间向量可以解决的立体几何问题包括线线平行、线面平行、面面平行等平行与共面问题;点到平面的距离、异面直线的距离、平行平面间的距离等空间距离问题;异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等空间角的问题以及线线垂直、线面垂直、面面垂直等垂直问题.一共线共面问题主要解决三点共线,四点共面,线线平行等问题.这其中应用的主要定理有1.共线向量定理:非零向量b与向量a共线的充要条件是存在唯一确定的实数λ,…     

用向量的代数运算解立几问题

用空间向量解决立体几何的平行或共面、垂直、空 间角和空间距离等问题,同学们往往习惯于建立空间直 角坐标系,然后运用向量的坐标运算,实现从已知向求 解转化.其实,选择向量的基底,运用向量代数运算,并 依据有关性质和定理向求解转化.这也是解决立体几何 问题的基本思路、方法. 一 垂直问题 例1 如图1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为 AC与BD的交点,G为CC1的中点.求证:A1O⊥平面 GBD.     

立体几何问题重点解析

考点聚焦一、化归与转化化归与转化是解决立体几何问题的基本思想方法,它主要体现在两个方面:其一,将立体问题转化为平面问题,利用平面几何及三角函数知识使问题得到解决;其二,涉及到直线与平面的平行与垂直时,要善于对它们进行相互转化,如线线平行圳线面平行圳面面平行,线线垂直圳线面垂直圳面面垂直.二、异面直线所成的角的求法1.直接法:“一作,二找,三求”,也就是先作出异面直线所成的角,再找到含有这个角的三角形,然后解此三角形即可.2.公式法:利用异面直线上两点的距离公式求解(异面直线a,b所成的角为θ,它们的公垂线段为AB,长度为d,…     

立体几何平行、垂直证明的中点策略

纵观多年的高考试题,可以发现,立体几何中平行、垂直两类问题尽管难度不大,但几乎是每年必考的知识点.学生若能理解掌握立体几何的有关公理、判定和性质定理,当有中点条件出现或适当地引人中点作出辅助中线,立体几何平行、垂直的证明问题将会变得异常轻松.下面的例子便可具体说明"中点"策略的采用在解决立体几何中平行、垂直证明中的重要作用.     

注意中点的作用

众所周知 ,在平面几何中 ,如遇条件中有中点 ,那么中线、中位线、平行线是重要辅助线 .在立体几何的学习中 ,我们要善于借鉴平面几何中作辅助线的一般规律 ,善于从中点入手考虑问题 .一、利用中点 ,创造平行关系利用中点 ,巧妙地得到平行关系 ,是求异面直线所成的角的有效途径 .例 1　如图 1 ,棱长为1的正方体ＡＣ1 中 ,Ｏ是ＡＢＣＤ的中心 .求异面直线Ａ1 Ｏ与ＢＤ1 所成角的余弦值 .解　取ＤＤ1 中点Ｅ ,连结ＯＥ、Ａ1 Ｅ ,则ＥＯ ∥Ｄ1 Ｂ ,∠Ａ1 ＯＥ为异面直线Ａ1 Ｏ与ＢＤ1 所成角 .在 Ａ1 ＯＥ中 ,ＯＥ =12 ＢＤ1 =32 ,Ａ1 Ｏ= 62 ,…     

平行与垂直关系高考主观题的规范答题

<正>平行与垂直关系主观题在高考中出现于文科卷中,一般设置二到三问,既有平行关系也有垂直关系,所用到的解答工具就是平行与垂直的性质与判定定理。如果是证明线线垂直,那就需要用转换思想,即把线线垂直转换为线面垂直来证;若是证明线面平行,也可以用转换思想来证,即把线面平行转换为面面平行来证。2016年山     

以正方体为载体研究空间角

正方体的六个面都是正方形,有众多相等的线段和角,还有很多平行和垂直以及对称的条件,这些都为研究空间角提供了有效的依据,只要很好的运用,空间角的问题是不难解决的.一、垂连求角正方体有很多垂直关系,只要善于利用,就     

立体几何中的转化与化归思想

<正>立体几何中最重要最常用的解题思想方法就是转化与化归的思想,其主要有以下几方面:(1)线线、线面、面面的位置关系,由转化思想,使它们建立联系,如面面平行?线面平行?线线平行,面面垂直?线面垂直?线线垂直等,有关线面位置关系的论证往往就是通过这种联系和转化得以解决。(2)通过"平移",将一些线面关系转化为平面内的线线关系;通过线面平行,将空间角转化为平面     

妙用向量解立体几何题

以往在中学 ,解几何问题一般用几何方法 ,如今 ,向量在中学数学中的应用越来越广泛 .用向量知识解立体几何题 ,可以很容易解决平面或空间中的共线、平行、垂直、夹角、长度等问题 .用向量法解立体几何题 ,一般的做法是在平面上确定两个不共线的向量作为基向量 ,在空间确定三个不共面的向量作为基向量 ,然后把平面或空间的任一向量均用基向量表示 .例 1　 (第十一届“希望杯”数学邀请赛 )如图1 ,已知正三棱柱ＡＢＣ -Ａ1 Ｂ1 Ｃ1的所有棱长都相等 ,Ｄ是ＡＡ1 的中点 ,求ＢＣ1 与ＣＤ所成的角 .分析　本题所求的是异面直线所成的角 ,而向量的…     

特殊平行四边形问题的解法

矩形、菱形、正方形这三种特殊平行四边形的边与边之间、角与角之间、对角线之间都有着一些特殊的关系 ,如平行、垂直、相等、互补和平分等 .这些性质在证明线段相等、角相等、线段平行与垂直、线段成比例、面积相等等问题 ,或利用这些知识求线段的长、线段的和差倍半、角度、图形的周长及面积有着广泛的应用 .图 1例 1　如图 1 , ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ的垂直平分线ＥＦ与边ＡＤ、ＢＣ分别交于Ｅ、Ｆ .求证 :四边形ＡＦＣＥ是菱形 .( 2 0 0 1 ,北京市东城区　 2 0 0 0 ,陕西省汉中市中考题 )分析 :证四边形为特殊的平行四边形有两种方法 :一…     

“简单几何体”复习例谈

简单几何体主要是研究柱体、锥体中的线与线、线与面、面与面的关系.利用其性质求空间角、空间距离,证明平行、垂直.这也是高考命题的热点. 一 精例讲解 例 1 如图 1,四棱锥 P—ABCD 的底面是矩形, PA ⊥底面ABCD, PA=AB=a, AD=姨 2 a, 、 分 M N别是 PC、 的中点. AD ()求证:直线 M N⊥面 PCB; 1 ()求异面直线 PC 与 AB 所成 2的角; ()求二面角 P-BD-A 的大小. 3 分析:()要证 M N⊥平面 PCB, 1只需证线与线垂直.又由已知 M 、 均 N是中点,连接 AC, 交于 E,并连接 BDM E,NE.…     

关于高二立几“互相垂直平面的意义及判定条件”一课教材分析的一些意见

“互相垂直平面的意义及约定条件”一课教材;见现行高中立几课本,第一章直线和平面,Ⅴ.二面角平面与平面垂直关系,第34、35两节。对于这一课教材的分析,开始有一些不同的看法。例如: 1.有的同志认为互相垂直平面的概念是容易形成的;因为互相垂直平面的具体材料为学生所熟悉;只要用眼前一些事物:例如墙与地板,桌面与桌侧面的相互位置关系提出问题,启发学生思     

平面几何复习与训练

一、几何元素的基本概念、角、相交线和平行线复习要点和例题理解点、直线、射线和角等基本概念;掌握线段和角的度量及和与差;掌握余角、补角的概念与性质;掌握两直线垂直、平行的判定及性质;了解命题、定理等概念. 例1 已知B是线段AC上一点,且AB=α,BC=b(α相似文献   

空间向量在立体几何中的应用

关于空间向量在立体几何中的应用问题,其中最主要的计算都是围绕平面的法向量展开的.在绝大部分题目中,空间向量是作为数学工具来解决两类问题:一、垂直问题,尤其是线面垂直问题(面面垂直基本类似);二、角度问题,主要讲二面角的平面角通过两个平面法向量所成的角来进行转化(线面角与此类似).而立体几何中的平行问题一般是用基本定理来进行解决的.     

立体几何专题——题型例析

知识整合立体几何在高考中占的分量大概是20%左右,当然有时会和其他章节知识相综合,原则上不出难题,所以我们考生们应力争把立体几何部分的题目全部拿下.考试中常见题型有证明线线、线面、面面的平行或垂直位置关系,求解三种角,求点到平面的距离,还有一些创新型问题.解题策略用的最多的就是化归与转化思想,求角要转化,求距离要转化,平行垂直的位置关系在线线、线面、面面三者之间也经常转化,所以把握好转化就等于把握好解立体几何题的灵魂.做计算类大题务必细心再细心,保证最后得数的正确性;证明类大题务必步骤严密,要求每一步都有课本中的定理作为依据,可谓步步有据,不可跳步.     

浅析平面向量的应用

现行高中教材引入了平面向量的有关知识,这为我们求解许多问题开辟了一条新道路,下面本人就平面向量在诸知识中的应用举例说明,以求抛砖引玉,引起各位同仁重视.在初等几何中的应用向量法、综合法与解析法被认为是研究初等几何的主要方法.向量法在处理有关长度、角度、平行、垂直等问题时可以迅速把几何关系转化为数量关系,从而得出所要求证的结论,思路清晰,并且较好地体现了数形结合思想.例1:(1997年高考(理))如图1,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点,求AE与D1F所成的角.分析:设正方体的棱长为2a,∵A E·D1F=(A B+B…     

圆中证明线段垂直的四种方法

<正>证明切线的方法离不开证明线段垂直,对此学生普遍感觉有难度.本文通过实例,说明如何利用角平分线、平行线、中位线、全等三角形等来证明线段垂直.一、利用角平分线性质定理例1(贵州省中考题)如图1,△ABC为等腰三角形,AB=AC,O是底边BC的中点,⊙O与腰AB相切于点D,求证:AC与⊙O相切.     

用坐标运算探索空间图形中的关键"点"

新版教材在空间图形中引入坐标运算 ,使立体几何进入动感地带 .如平行、垂直、角和距离等问题都可以通过计算来解决 ,而此问题的核心是寻找关键点的位置 :在求线线角时如何表示点的坐标 ,从而得出向量的坐标是关键 ;在求线面和二面角时 ,只要知道垂足等相关点的坐标 ,就可表示角的两边所在向量的坐标 ;在求点线和点面距离时垂足的坐标是关键 ;在求最值问题时正确地表示动点是关键 .本文就是通过例题说明如何综合运用平行、垂直等立体几何知识探索关键点 .1　利用向量相等探索空间点例 1　底面为正三角形的三棱柱ABC A1 B1 C1 ,侧面ACC1 …     

构造全等或相似 巧解特殊角问题

<正>一、具备条件1.已知或结论中有90°角、45°角或60°角;2.角的顶点在坐标轴或与坐标轴平行的直线上.二、突破方法总体思路：构造全等模型或相似模型.1.90°角方法一：构造“一线三垂直”的全等模型;方法二：构造“一线三垂直”的相似模型.2.45°角或60°角方法一：将45°角或60°角构造在直角三角形中,再回到90°角的处理方式;方法二：直接构造“一线三等角”的全等模型或相似模型.