用特殊值法解题

【典型例题］例IchABC三边上的高为人、hb、入,三角形内任一点P到三边的距离分别为人、山、dc．．‘＿｛汰｛。＿求证：尸十月十多为定值．－““一h”hh”“——一分析当凸ABC为任意三角形时,无论将P点放在形内任何特殊位置上,都难以看出这个定值是什么;如果将凸ABC整体特殊化,把凸ABC取为正三角形,并将P点取为三角形的中心,由正三角形的＿＿＿＿。＿dd。dl＿＿dd＾d特殊性质易得共二月一月一：,所以共十月十多l、。·、l—。、Jhhh3””一h凡h＝1．探出了这个定值,证明就有明确的目标了．证明如图1（用面积法证）‘例2如…     

整边正三角形的二剖分

三边长度均为整数的三角形叫做整边三角形，三边都相等的整边三角形叫做整边正三角形．如图1，点D在整边正△ABC的边BC上，若线段AD把△ABC分成的两个三角形（△ABD，△ACD）都是整边三角形，则称整边正△ABC能二剖分，这种剖分叫做整边正三角形的二剖分．图1中，若p，q，p－q，ZeN十问证。一户一q），就记作此时把边长为户的整边正凸＊＊C二剖分成～，q，Z），（户，产一q，Z）．关于整边正三角形的二剖分，文［fi已得到：定理1边长为k‘＋Zk（kEN＋，k＞1）的整边正三角形可二剖分成（kZ＋Zk，kZ－1，k’十足十1），（kZ＋Z…     

正三角形共点线定理的再探究

文[1]用解析法证明了正三角形的一个共点线性质,这个性质如下:定理如图1,平面上任意一点P关于同一平面内的一个正三角形的三个顶点的对称点与该顶点的对边中点连线共点.我经过探究发现定理中的正三角形条件是多余的,该定理对任意三角形都成立,并且还得到一组共线点,即有定理如图2所示,设△ABC是任意三角形,△ABC的重心为G,P是△ABC所在平面内任意一点,P点关于△ABC的顶点A、B、C的对称点     

第二届冬令营竞赛第四题探究

题目:在一个面积为1的正三角形内部,任意放五个点。试证:在此三角形内,一定可以作三个正三角形盖住这五个点,这三个正三角形的各边分别平行于原三角形的边,并且它们的面积之和不超过0.64。题中断言符合条件的三个正三角形的面积之和不超过0.64。实际上,这个数值并不     

一类面积不等式

一.从外森比克不等式的几何意义谈起设△ABC的三边长分别为a、b、c,面积为S,则有 a~2+b~2+c~2≥43~(1/2)S (1)其中等号当且仅当a=b=c,即△ABC为正三角形时成立。 (1) 式称为外森比克不等式,如果以△ABC的三边向外分别作正方形(如图),则(1)式有如下几何解释:以三角形的三边向外分别作正方形,则这三个正方形的面积之和不小于这个三角形面积的43~(1/2)倍。 (1) 式的几何意义使我们联想到:如果在三角形三边向     

重心垂足三角形的一个性质

过三角形的重心向其三边引垂线，三个垂足构成的三角形叫做该三角形关于其重心的垂足三角形．重心垂足三角形有下列有趣结果：设θ是△ABC的内切圆半径，r’是△ABC关于其重心G的垂足三角形A'B'C'的内切圆半径．则r'等号当且仅当为正三角形时成立为证明这一结果，需用到以下事实：设△ABC的三个内角A，B，C所对应的边长为a、b、c，对应的中线长为等号当且仅当△ABC为正三角形时成立；号当且仅当△ABC为正三角形时成立．上述结论的证明是简单的，这里从略．证明如右图所示G是△ABC的重关于点G的垂足三角形，设（利用结论2）（利用…     

勃罗卡点到三顶点及三边的距离公式

如图1,P为△ABC中一点,若∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝α,则称P点为勃罗卡点,角α为勃罗卡角。文［1］给出设P到三角形三边BC,CA,AB的距离分别为x,y,z,△表△ABC面积文［2］给出实际上,如图所示作出的勃罗卡点是唯一的,则P点到三顶点、三边距离应是确定的。定理1：P是△AB     

利用直角坐标系求面积

平面直角坐标系是研究数形结合问题的最好工具,根据坐标平面内顶点的坐标求图形面积,很好地体现了几何问题的代数解法.下面就举例说明如何利用平面直角坐标系来求图形的面积,希望对同学们有所启示.一、坐标平面内三角形面积的求法1.有一边在坐标轴上或平行于坐标轴例1如图1,平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别为A(-3,0),B(0,3),C(0,-1).求△ABC的面积.分析与解:根据三个顶点的坐标特征可以看出,△ABC的边BC在y轴上,所以BC=4,点A到BC边的距离就是点A到y轴的距离,也就是A点的横坐标的绝对值,所以S△ABC=12BC·AO=12×4×3=6.2.…     

让点流动起来

正三角形ABC内(包括边)的任一点P到三边距离的和等于常量(正三角形ABC一边上的高). 这是你熟悉的结论.对于非正三角形,可     

关联三个三角形面积的一个命题

设△ABC的三边长分别为a、b、c ,面积为S ,△ABC的外接正三角形的最大面积为Smax,内接正三角形的最小面积为Smin.由文 [1 ]知 ,Smax=36 (a2 b2 c2 ) 2S ;①由文 [2 ]知 ,Smin=S236 (a2 b2 c2 ) 2S.②由此可知Smax·Smin=S2 .于是 ,有命题　一个三角形的面积是它的最大外接正三角形的面积和最小内接正三角形的面积的比例中项 ,即S2 =Smax·Smin.关联三个三角形面积的一个命题@张宁$宁夏回族自治区中卫县宣和镇张洪学校!751706[1]　张延卫.三角形外接正三角形的最大面积[J].中等数学,2002(5). [2]　邢进喜.三角形内接正三…     

三角形内接正三角形的个数

定义设E,F,G分别是△ABC三边AB,BC,AC上的内点(不与顶点重合),称△EFG为△ABC的内接三角形.(如图1)图1 文[1]指出任意一个三角形至少存在一个内接正三角形,但究竟有几个?文[1]未加解决.本文对这个问题作出解答.     

三角形重心性质的有关推论及应用

三角形的三条中线相交于一点,这一点叫做三角形的重心.三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.以三角形重心的定义和性质为依据,可推导出三条结论:推论1三角形的三条中线将三角形分成面积相等的六部分.如图1,△ABC的三条中线AD,BE,GF交于点G,则△ABC被分成面积相等的六部分,即S₁=S₂     

有关三角形极值点的两个命题

本文给出两个关于三角形边的命题 .命题 1　到三边不等的三角形三边距离之和最小的点是此三角形最大边所对顶点 .命题 2　到三角形三边距离的平方和最小的点是此三角形重心的等角共轭点 .注 :△ABC内两点D、E互为等角共轭点的充分必要条件是 ,∠DAB =∠EAC ,∠DBC=∠EBA ,∠DCA =∠ECB .先证明命题 1 .证明 :设△ABC内一点P到三边BC、AC、AB的距离分别为x、y、z,并设BC =a ,AC =b ,AB =c ,S△ABC=S .则有ax by cz=2S .①不妨设a >b >c,则2S =ax by cz≤ax ay az=a(x y z) .所以 ,x y z≥2Sa .上式等号成立的条…     

从三角形到四面体

本文将四面体与熟知的三角形进行类比,得出四面体的有关性质．性质1（维维阿尼定理）正三角形内任一点到三边的距离之和为定值．正四面体内任一点到四面距离之和为定值．证明如图1,设P点到四个面的距离分别为a、b、c、d,连结PA、PB、PC、PD．因VABCD＝VPABC＋VPBCD＋VPCDA＋VPDAB＝面体的高,为定值）．性质2（勾股定理）在△ABC中,C为直角,设AB＝c,BC＝a,人C＝b,则／一a’十月．在四面体O—ACB中,O—ABC为宜三面角,设S。。一S．、Snosc一S．、S。。。S．、S。。a—S。,则证明如图2,作CD上AB交AB于D…     

求点到平面的距离五法

一、利用点到平面的距离的定义 例1 如图1．已知三棱锥S-ABC中．△ABC是边长为2的等边三角形．SA⊥平面ABC,SA=3,那么点A到平面SBC的距离为——．     

余弦定理和韦达定理的结合使用

余弦定理和韦达定理是初中数学中的两个重要的定理．余弦定理反映了三角形中三边与一角余弦的等量关系，而且又是关于三角形边的一元二次方程．因此可以将这两个定理有机结合在一起，解决有关“两边之和或两边之积”型的几何题。例1已知△ABC是圆的内接正三角形，P是BC上的任意     

三角形的内接三角形研究

定义1 在三角形的三边内分别任取三点,则以这三点为顶点的三角形称为原三角形的内接三角形,若内接三角形为正三角形,则称为内接正三角形。 一 内接正三角形的存在性及其性质 定理1 任意的三角形都存在内接正三角形。     

Carlitz不等式等号成立的条件

据文[1]记载,1964年,L.Carlitz在《美国数学月刊》上提出了如下一个关于三角形的内点到三角形的三边的距离与该三角形的三条高之间的不等式.定理1(Carlitz不等式)设P为△ABC的任一内点,123,,rrr分别是P到,,ABC行械亩员叩木嗬?,,abchhh分别是,,ABC行械亩员呱系摹鰽BC的高,则123     

三角形重心性质的应用

三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．其性质为：三角形的重心到顶点的距离是重心到对边中点的距离的2倍． 如图1,AD、BE、CF是△ABC的三条中线,则它们交于点（）,且AO=2019,BO=2OE,CO=2OF．     

正三角形内任意一点的性质

正三角形内任意一点的性质○黄兴丰（江苏南通市天星湖中学２２６０１０）正三角形是最完美的三角形，它有许多优美的性质．那么，正三角形内任意一点是否也具有一些特殊的性质呢？性质１正三角形ＡＢＣ内任意一点Ｐ到各边的距离之和为一定值（等于该三角形之高ｈ）．性质...