垂直平分线的性质与应用

1．线段的垂直平分线的性质线段垂直平分线（也称为中垂线）的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．     

构造线段垂直平分线证题

同学们知道 :垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。线段垂直平分线定理及其逆定理分别是 :线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。到一条线段两个端点的距离相等的点 ,在这条线段的垂直平分线上。求解某些几何证明题时 ,从构造线段垂直平分线入手 ,可简化证明的思维过程 ,捷足先登。例 1　如图 1 ,∠ 1 =∠ 2 ,BC =BD ,求证 :AC =AD证明 :连结CD的交直线AB于E∵BC =BD ,∠ 1 =∠ 2∴BE是CD的垂直平分线∵点A在直线BE上∴AC =AD 例 2　如图 2 ,△ABC中 ,∠ACB =90° ,∠B =6 0° 求证 :AB =2BC …     

线段垂直平分线的应用

垂直并且平分一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线(perpendicularbisector或中垂线).线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.在有关垂直平分线的几何问题中,灵活应用这一结论,可以简捷地解决许多问题,现举几例说明.     

一图三题证法多

如图1,在△ABC中,AB=AC,点D在线段AB上,点E在线段AC的延长线上,使得DE=AC．（1）设L为△ADE的外接圆与△ABC外接圆的交点,求证：LD＋LE=LA.（1991年全国初中数学联赛）证法1 如图2,设LC的中垂线交LA于F,连接FC.显然FL=FC.     

谈“尺规作图”与构造等腰三角形

用尺规作图来构造等腰三角形的方法,主要就是利用尺规作图来画中垂线,具体的操作就是以已知线段的两个端点为圆心画圆,再把两圆相交的两个点连结起来,得到的就是已知线段的中垂线,线段中垂线上的点到已知线段的两个端点的距离相等,那么这样就构成了等腰三角形.在这里,我根据平时的教     

2000年IMO中国国家集训队选拔考试试题

一、如图,在△ABC中,AB=AC,线段AB上有一点D,线段AC的延长线上有一点E,使得DE=AC;线段DE与△ABC的外接圆交于T点,P是线段AT的延长线上的一点。证明:点P满足PD PE=AT的充分必要条件是点P在△ADE的外接圆上。     

寻找空间中那条隐形的线

一、有了中点配中点,两点相连中位线 例1如图1所示．在平行四边形ABCD中．AB=2BC．∠ABC=120°,E为线段4日的中点．将△ADE沿直线DE翻折成△A’DE,使平面A’DE⊥平面BCDE．F为线段A’C的中点．     

生活中的轴对称——课时一 简单的轴对称图形

(1)角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴．(2)角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．(3)到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线所在的直线上．(4)线段是轴对称图形，它的对称轴是这条线段的垂直平分线．(5)线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．(6)到线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．     

如何证明线段的倍半关系

证明线段的倍半关系是初中平面几何中的一种常见题型 ,本文试将证明该类问题的常见方法归纳如下 ,以供同学们学习时参考 .1　加倍或折半将欲证结论中的短线段加倍或将长线段折半 ,改为证明两线段相等 ,此为解决线段倍半关系的最常用的方法 .例 1　如图 1,在△ABC中 ,AB =AC ,D为AB延长线上一点 ,BD =AB ,CM是AB边上的中线 .求证 :CD =2CM .分析 1　 (加倍 )延长CM至点E ,使ME =CM ,则CE =2CM ,易证△BME≌△AMC ,得BE=AC=BD ,∠MBE =∠A ,从而∠CBD =∠A +∠ACB =∠MBE +∠ABC =∠CBD ,进而可证△CBD≌△CBE ,…     

如何引平行线

题已知△ABC中,AB=AC,AD是BC 边上的高,AD的中点为M,CM的延长线交AB 于点K．求证AB=3AK．分析当已知条件或结论中,出现倍数关系的两条线段在同一条直线上时,应考虑运用平行线分线段成比例定理;若无平行线,应在端点、分点或中点处引平行线,构造几何模型．     

初中几何辅助线的作法──重叠型比例线段添作辅助线的技巧

线段比AB：BC（或AB：AC）有一个字用重叠的比叫重叠比,其中A、C叫做端点,B叫做分点。重叠型比例线段作辅助线有一定的规律可循,其关键是选择点和第三条线段。1优先考虑成比例线段的交点且又是端点例1．在ΔABC的AB、AC边上分别取H、E两点使HB=EC,HE与BC的延长线交于F,则AB：AC=FE：FH。分析：因为过E（或H）均是原比例线段中AC与FH（AB与FH）的交点,所以优先考虑过E（或H）作辅助线,第三线段可以是AHB（或AEC）,故有二种证法：证法1：如图1,过E作EM／／AB,交BC于M,则ΔABCΔEMC,ΔFHBΔFEM．AB…     

一个命题的推广及在证题中的一些应用

我们知道:S_△=1/2ah,由此可得:同底的两个三角形的面积比等于这底上的高的比。这一命题可以推广如下: 有一条公共边的两个三角形的面积比等于这两个三角形的另一个顶点的连线被公共边所在的直线分成的两条线段的比。 即.已知:如图.AB的延长线交CD于点E 求证:S_ABC:S_ABD=CE:DE 证明:分别由点C、D向AE及其延长线作垂线CF、DG,FG为垂足,则有:S_△ABC:S_△ABD=CF:DG（1）△CEF∽△DEG(?)CF:DG=CE:DE（2）由（1）,（2）得:S_△ABC:S_△ABD=CE:DE。 利用这一命题,可以较简捷地证明一些几何命题,请看以下几例: 例 1:在△ABC中任取一点O, AO、 BO、 CO与对边的交点分别是D、 E、 F,求证:     

利用线段的垂直平分线解题

我们知道,线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等,反之,到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上,线段垂直平分线的这两个特征在处理有关线段或角的问题时运用十分广泛,现举例说明.例1如图1,等腰△ABC中,AB=AC,AB BC=13,AB边的垂直平分线MN交AC于点D,求△BCD的周长.分析:要求△BCD的周长,只需求BC CD BD,而由MN是垂直平分线,可知DA=DB,于是△BCD的周长=BC CD BD=BC AC,于是问题获解.解:因为MN是垂直平分线,点D在MN上,所以DA=BD.于是△BCD的周长=BC CD BD=BC AC=13.说明:这里通过线段的垂直平分线…     

一道平面几何题的推广

《数学通报》2003(4)数学问题1426题目为:AN为△ABC的角平分线,AN延长线交△ABC的外接圆于,DM是AN上一点,直线BM、CM分别交△ABC的外接圆于E、F,DF交AB于P,DE交AC于Q,求证:P、Q、M三点共线. 笔者在用几何画板作图时,发现当N点在线段BC上运动时,P、Q、M三点均共线,当M在线段AD上运动时,结论依然成立,因此笔者对该问题作如下推广: 定理 △ABC中,点N是BC边上一点(除端点B、C外),AN的延长线交△ABC的外接圆于D,M是线段AD上一点,直线BM、CM分别交△ABC的外接圆于E、F,直线DF交直线AB于P,直线DE交直线AC于Q,则P…     

利用垂直平分线的三“境界”

垂直平分线是对线段而言,指的是垂直并且平分一条线段的直线,垂直平分线具有如下重要的性质: 线段垂直平线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 利用这个性质解答推理问题是学习中的一个重点和难点,我们应注意逐步跨越如下三"境界". 第一“境界”:利用已知的垂直平分线 例1 如下图,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,EF垂直平分AD,E是垂足,交BC的延长线于点F,求证:∠B=∠CAF. 分析:不难发现,∠B=∠FDA-∠BAD,∠CAF=∠FAD-∠CAD.又∠BAD=∠CAD,那么只要证明∠FDA=∠FAD.     

解开放型试题的几点策略

一、解关于等腰三角形一类开放型作图题已知定线段AB,求作△ABC,使△ABC是等腰三角形。点C的位置有以下三种情形：（1）若CA=CB,则点C在线段AB的中垂线上,（如图1,中垂线与AB的交点除外）;（2）若BC=AB,则点C在以B为圆心,AB为半径的圆上（如图2,⊙B与直线AB的交点除外）;     

三角形的有关概念

一、知识要点1．三角形的有关概念．2．三角形的分类．3．三角形的有关性质．4．三角形的主要线段和四心：三边的中垂线、外心及其性质；三边上的中线、重心及其性质；三个内角的平分线、内心及其性质；三边上的高、垂心及其性质；中位线及其性质．二、解题指导例1填空：（1）在△ABC中，若AB=7，AC=9，则BC的取值范围是．（四川，1994年）（2）在△ABC中，若∠C=2（∠A＋∠B），则△ABC是三角形．（改编河南，1994年）（3）如果锐角三角形的两边为2和3，那么第三边X的取值范围是＿．（苏州，1994年）（4）在△ABC中，∠B=50°，A…     

四点共圆的证明及应用

1．四点共圆的证明方法 (1)四个点到某一定点距离相等例1 如图1,K为△ABC内任一点,在△ABC 内作三条线段AL、BM、 CN,使∠BAL=∠CAK, ∠ABM=∠CBK, ∠BCN=∠ACK,且AL= AK,BM=BK,CN=CK．求证K、L、M、N四点共圆．     

“坐标系中等腰三角形位置的确定”课堂教学实录

环节一复习回顾师:请用尺规画出线段AO的垂直平分线。生:画图(如图所示)师:画好的直线上任意一点P到线段两个端点A、0的距离有什么关系?生:相等。由线段垂直平分线性质得到的。师:那通过PA=PO我们又可以得到什么结论:生:△PAO是等腰三角形。     

换个角度看三角形面积的平分线

<正>文[1]通过将直线在保持平分三角形面积的前提下进行运动,直观地得出:对于△ABC来说,经过由三条"双曲线段"所围成的区域(不含边界)内每一点,平分△ABC面积的直线都有3条;经过"双曲线段"上除端点以外的每一点,平分△ABC面积的直线都有2条;经过区域以外的点和"双曲线段"的端点,平分△ABC面积的直线都只有1条.文[2]不仅对上述结论表示认同,而且对各种情况构造了实例加以验证.同时从数学