对一道征解题及其姊妹不等式的推广

1征解题的提出 《数学通报》09年第9期问题1814：x,y,z∈R＋,λ〉0,μ≥0,υ≥0,且λ≥2μ-υ,λ≥2υ-μ,0〈α≤1.证明：（x/λx＋μy＋υz）^α＋（y/υx＋λy＋μz）^α＋（z/μx＋υy＋λz）^α≤3/（λ＋μυ）^α.     

拟线性第二边值问题的一个附注

在f(t,x),β（t),fx(t,x),α′（t)连续,fx(t,x)≥-β（t),4β（t）≤-β（t）,4β（t）≤π^2 α^2(t)-2α′（t）,4β（t）≠π^2 α^2(t)-2α′（t）等主要条件下,证明了拟线性第二边值问题x ″=α（t）x′ (t,x),x(0)=α,x′(1)=b有唯一解。     

一个拟线性两点边值问题存在唯一性定理

在f(t,x),fx(t,x)α（t),α′（t),β（t)连续,fx(t,x)≥-β（t）,β（t）≤π^2 [α^2(t)-2α′(t)]/4,且β(t)≠π^2 [α^2(t)-2α′(t)]/4条件下,证明了拟线性两点边值问题x″=α(t)x′ f(t,x),x(0=a,x(1)=b,对于任给实数a,b都有唯一解。     

应用（α＋b）^2≥4αb解初中竞赛题

由完全平方公式（α-b）^2≥0知α^2＋b^2≥2αb从而有（α＋b）^2≥4αb,其中等号当且仅当α=6,利用（α＋b）^2≥4αb可以解决一些初中竞赛题．     

伴随式项式的组合性质

设G是一个图，GPm表示将G的一边用路Pm代替所得的图，h(G,x)表示图G的伴随多项式，F（t)是h(GPm,x)的生成函数，得到了以下结果：（1）当m≥4时，h(GPm,x)＝x(h(GPm-1,x) h(GPm-2,x));(2)h(GPm,x)=1/α-β（Aα^m Bβ^m)；这里α＝x √x^2 4x/2,β=x-√x^2 4x/2,A=h1-βh0;(3)F(t)=h0 (h1-xh0)t/1-xt-xt^2。     

二阶不稳定中立型时滞微分方程的无界正解的存在性

考虑二阶不稳定型中立型时滞微分方程[x（t）-p（t）x（t-τ）]″=q（t）｜x（t-σ）｜^α-1x（t-σ），t≥t0，其中α〉1，τ〉0，σ〉0，且p，q∈C（[t0，＋∞），R^＋）获得了该方程的一个无界正解，推广了文献中的结论。     

一类奇异三阶三点特征值问题的非平凡解

考察了非线性三阶三点特征值问题 {u^m（t）＋λf（t,u（t）,u′（t）,u″（t））=0,0〈t〈1, u（0）=a,u′（η）=βu″（1）=γ, 其中非线性项f（t,u0,u1,u2）是一个强Caratheodory函数．证明了当a^2＋β^2＋γ^2〉0或者∫1 0｜f（t,0,0,0）｜dt〉0时存在λ^＊〉0使得对于任何0〈λ≤λ^＊,此问题至少有一个非平凡解。     

一类时滞微分方程解的振动准则

考虑一类具有正负系数的时滞微分方程x（＇t）＋1tlntni=1Σpix（tα）i-1tlntni=1Σqix（tβ）i=0,其中0〈αi〈1,0〈βi〈1,pi〉0,qi≥0是常数,证明了方程所有解振动的一个充分条件为αi〈βi,ni=1Σpi〉ni=1Σqi,ni=1Σqilnβiα≤1,ni=1Σ（pi-qi）ln1α〉1e其中α=max{α1,α2,…,αn≤≤}.     

偶数阶三点边值问题多正解的存在性

利用锥理论和Leggett-Williams不动点定理对偶数阶常微分方程组三点边值问题多个正解的存在性{u^（2m）（t）=（-1）^mf（t,v（t））,0≤t≤1,v^（2m）（t）=（-1）^mg（t,v（t））,0≤t≤1,u^（2i）（0）=u^（2i）（1）-αu^（2i）（ξ）=0,i=0,1…,m-1,v^（2i）（0）=v^（2i）（1）-βv^（2i）（η）=0,i=0,1…,m-1进行了讨论和证明,其中0〈ξ,η〈1,0〈α〈1/ξ,0〈β〈1／η且f,g∈C（[0,1]×[0,＋∞],[0,＋∞]）．     

解答三角题的几点策略

一、应用配方法 例1 已知3sin^2α＋2sin^2β=2sinα,求sin^2α＋sin^2β的取值范围。解 由已知sin^2β=2sinaα—3sin^2α/2≥0=0≤sinα≤2/3。将所求式化为一元函数,并配方sin^2α＋sin^2β=sin^2α＋ 2sinα-3sin^2α/2=- 1/2sin^2α＋sinα=- 1/2（sinα-1）^2＋1/2     

算术平均值与几何平均值的一个新不等式

命题1 设ai≥λ＞0（或0＜αi≤λ）（i=1,2,…,n,n≥2）,则a1＋a2＋…＋an≤a1a2…an/λ^n-1＋（n-1）λ     

2002年全国高中数学联赛第15题的讨论

2002年全国高中数学联赛第15题： 设二次函数：f（x）=ax^2＋b＋c（a,b,c∈R,a≠0）满足条件：（1）当x∈R时,f（x-4）=f（2-x）,且f（x）≥x;（2）当x∈（0,2）时,f（x）≤（x＋1/2）^2;（3）f（x）在R上的最小值为0．求最大的m（m〉1）,使得存在t∈R,只需x∈[1,m],就有．f（x＋t）≤x．     

非局部波动方程组解的全局存在性与爆破问题

本文主要处理非局部波动方程组解的全局存在与爆破问题,考虑如下非局部波动方程组的初值问题：{δ^2u1/δt^2=δ^2u1/δx^2＋‖u2（·,t）‖p1,δ^2u2/δt^2＋‖u3（·,t）‖p2,δ^2u3/δt^2=δ^2u3/δx^2＋‖u1（·,t）‖p3,-∞〈x〈∞,t〉0 ui（x,0）=fi（x）,δui/δt（x,0）=gi（x）,i=1,2,3,-∞〈x〈∞ 这里0〈p1,p2,p3〈＋∞,‖ui（·,t）‖=∫-∞^＋∞ φi（x）｜u（x,t）｜dx,i=1,2,3,其中φi（x）≥∫-∞^＋∞ φi（x）dx=1,i=1,2,3。所有这些初值函数都为连续的且｜fi（x）｜＋｜gi（x）｜恒不等于0,i=1,2,3.根据对称性,本文假定p1≤p2≤p3.     

一类粗糙核参数型Marcinkiewicz函数的L^2（R^n）有界性

得到了一类参数型Mareinkiewiez函数u^ρΩ,A（f）（x）=（∫0^∞｜F^ρΩ,h（x,t）｜^2 dt/t）^1/2的L^2（R^n）有界性,其中Ω∈L（logL）^1/γ（S^n-1）,h∈Hγ（R＋）.     

巧配方求最值

我们熟知，对于任意实数α来说α^2是一个非负数，即α^2≥0，所以α^2就有最小值为0，对于一般情况α^2＋m显然有α^2＋m≥m（m为任意实数），即当α=0时代数式α^2＋m有最小值为m．运用这一性质，可以巧妙的解决一类竞赛题．     

高阶非线性中立型微分方程解的振动性

给出了不稳定型阶超线性时滞微分方程[x（t）-px（t-τ）]^（n）=q（t）｜x（t-σ）｜^βsign[x（t-σ）]．t≥t0所有有界解振动的充要条件．这里n≥1为偶整数,β〉1,τ〉0,σ〉0,和0〈p〈1,q∈C（[t0,∞）,[0,∞））．     

关于y′=f(x,y)的预估—校正方法的探讨

对于常微分方程初值问题的数位解，预估──校正公式（见文献［1］的局部截断误差为0（h3）。本文对预估──校正方法作了改进，将局部截断误差提高到0（h4）。其公式为：其中h，ti＝t0＋jh，j＝0，1，2，3…n，α2，α1，β1为常数（i＝－2，－1，0，1）定量若函数f（t，U）在区域（t0≤t0＋T，UER）有界，且有连续的三阶偏导数，则方法（Ⅰ）的截断误差为0（h4）。在证明定理之前，先证明以下引理。引理在定理的条件下，若uj＝i（tj），方法（Ⅰ）中有：证明：ti＋l—t汁h，U沿ZU汁hf（ti，Uj）一11什hllj由二元函数的泰勒公式：下面…     

Robin问题的一个存在唯一性定理

对于Robin问题在主要假设f，fx，fx'．连续，fx≥-β（t），－α（t）≤fx'≤α（1＋｜X’｜）之下，给出一个存在唯一解的充分条件．     

自然数平方倒数和的一个改进不等式

得到了不等式：（1/n＋α≤π^2/6-n∑k=1 1/k^2）,其中（α=12-π^2/π^2-6）=0.5505460967^＋;当且仅当n=1时,等号成立.且证明了不等式：（1/n＋α≤π^2/6-n∑k=1 1/k^2 1/n＋1/2）两端的常数1/2、α均为最付佳值.     

柯西不等式在2014年高考中的应用

柯西不等式： 设αi,bi∈R（i=1,2,…,n）,则 （α1^2＋α2^2＋…＋αn^2）（b1^2＋b2^2＋…＋bn^2）≥（α1b1＋α2b2＋…＋αnbn）^2,当且仅当αi=kbi,i=1,2,…,m时等号成立．