一个有趣的规律及其应用

求线段的条数(1)如图l，数一数有几条线段? L__1___l月BC图1简析:图中有线段AB、ACBC，共3条. (2)如图2，数一数有几条线段? L—_1 Ll AB〔D图2简析:图中有线段AB、AC、AD、BC刀。、C刀，共6条. (3)如图3，线段A!A。上有n个点(包括点A:、A。，且n〕2)，图中应有多少条线段? L一     

一组有趣的格点问题

问题1如图1,根据格点A、B、C、D的位置,通过计算推证:∠BAC=∠DAC.问题2如图2,三个同样的正方形并排放在一列,计算:∠ACB+∠AEB+∠AGB的角数.问题3如图3,在正方形格点有6个斜三角形:①△ABC,②△BCD,③△BDE,④△BFG,⑤△FGH,⑥△EFK.在②~⑥中,与①相似的有哪些?问题4以O为圆心,5为半径在图4中画⊙O,⊙O的圆周经过的格点个数是多少个?问题5如图5,是格点纸上画有一个圆,能否仅用不带刻度的直尺就能确定圆心的位置?能确定则写出确定的方法;不能确定则说明理由.问题6△ABC的顶点A、B、C都在格点上,三边上均无其它格点,形内…     

量圆的直径

这是一节九年级的数学课,使用的教材是湘教版教材九年级下册第80页A组第7、8两题的原型.为了拓展学生的解题思路,我是这么教学的——师:现有任意的一个圆,你能否用你手上的工具量出这个圆的直径(如图1)?请画出图形,并说出自己做的依据.生1:将直角三角板的直角顶点落在圆周上,两直角边交圆周于A、B两点,量出AB的长,即为这个圆的直径(如图2).师:为什么AB就是直径呢?生1:直径所对的圆周角为直角.生2:我先用圆规找出圆的圆心,然后过圆心任作一直径,就能量出直径的长.师:如何找圆心,请上黑板演示.学生上黑板演示找圆心的方法(如图3).生3:只要任作一条弦,再用圆规作弦的垂直平分线交圆周于A、B两点,量弦AB长就可以了(如图4).师:你的依据是什么?生3:弦的垂直平分线必过圆心.生4:我手上有根绳子,用绳子一端固定在圆周上,然后找到最长的弦,量出弦长即为直径(如图5).师:为什么?生4:最长的弦是直径.生5:把圆对折起来,量出折痕的长就是直径的长.因为直径所在的直线是圆的对称轴(如图6).生6:如果知道了圆的一条切线,过切点作切线的垂线于圆周有另一个交点,量出切点与交点的距离,就是圆的直径.师:同学们的方法都很好....     

在课本“B组”练习中培养能力

人教版初中代数第一册 (上 )第 39页Ｂ组练习第 4题是这样的 :如图 1所示 ,由若干点组成形如三角形的图形 ,每条边 (包括两个顶点 )有ｎ(ｎ >1)个点 ,每个图形总的点数Ｓ是多少 ?求ｎ =7,11时 ,Ｓ是多少 .怎样讲好这堂课呢 ?我是这样做的 .师 :同学们能求出ｎ =2 ,3 ,4,5时 ,每个图形的总的点数吗 ?生 :能 .数一数点就分别得出各图形总点数为 3,6 ,9,12 .(写在各图形下 )师 :当ｎ =7时 ,能求图形的点数吗 ?生 :能 .先按要求画图形 ,然后再数点 ,得总点数为 18.师 :当ｎ =11时 ,能求吗 ?生Ａ :(不假思索 )同ｎ =7时的方法一样 ,先画后数 .生…     

第12届美国数学邀请赛

1.由能被3整除且比完全平方数小1的整数组成的递增序列3,15,24,48,…,这个序列的第1994项除以1000的余数是多少? 2.如图,PQ=10,以PQ为直径的圆与一个以20为半径的圆相切于点P,正方形ABCD的顶点A,B在     

考一考你的眼力

下面举几个例子,请你作出正确的判断,当心,别被你的眼睛欺骗了. a咬芝——一一一一) 图l 1·如图1,如果把两端的脚去掉,线段a、b哪个长? 图2 2.如图2,有直线l,、12、13.谁和谁平行?A一一一咭一一一B2/‘只八口火侧写 、方图3图4 3,如图3,线段AB和CD垂直,线段AB和CD哪一条长一些? 4.如图4,在艺AOB内画上两个圆.圆01和圆O:哪一个大些?图5图6 5.如图5,两个1元的硬币,A不6.如图6,在中间的动,B沿着A的周围转(只能滚动,不那个圈圈圆不圆?能滑动),当B转到C的位置时,硬币B上的1字是正立,还是倒立?鑫。图7图8 7.如图7,比较两组图形中间的两个…     

巧数线段 妙解习题(初一、初二、初三)

有一类数学问题,需要数一数某种图形(如线段、角、三角形、长方形……)的个数.怎样才能做到即快又准计数呢?下面先提出一个问题:如图1,直线l上有n个点P1、P2、…、Pn,这n个点可以确定多少条线段?解直线上两个点可以唯一确定一条线段,所以     

如何过圆外一点作圆的切线

<正>问题怎样从圆外一点画出圆的切线呢?如图1,点P为⊙O外一点,怎样利用直尺和圆规过点P作⊙O的切线?作法1如图1.(1)连结PO;(2)以PO为直径作圆交⊙O于点A;(3)过P,A两点作一直线,则直线PA就是所要作的圆的切线.     

化归法简解一道中考题

试题 如图1,AD是圆的直径.BC切圆于D,AB、AC与圆相交于点EF,那么显然有结论:AE·AB=AF·AC.(*) 在图1中,如果把直线BC向上平移,使它与圆相交于两点,而AB、AC与圆的交点仍分别是E和F,便得图2.在此条件下,结论(*)是否仍成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由。     

十、图形的堆垒

1.解题注意点(1)形体的排列与数序的排列有一定连带关系; (2)观察组成每个图形的数量,计算图形之间组成数量的差额,可推出所求图形的数量。2.举例例1.在下图中,方框内应有多少个小方格?     

从特殊情况获取信息

问题圆内接四边形的两条对角线互相垂直,试证该四边形的对边平方和等于定值.自己试一试,如果思维陷入困境,再读下面的.已知条件很清楚,而结论中的“定值”等于多少,题中并未说明.如果能先把这个“定值”寻求到,问题就趋于明朗化,解题就有了方向.方法是从特殊情况获取信息.这里的特殊情况是“两条对角线正好是圆的两条直径”.根据图1,有AB=CB,在直角三角形BCD中,BC2+CD2=BD2,所以这个“定值”应是“直径的平方”.在一般情况下,此结论成立吗?这就是我们要证明的.图1图2如图2,作直径DB′,如能证得CB′=A B,结论就被证实了(作直径DB′…     

方中排圆之谜

在一个边长为10厘米的正方形中,最多可排多少个不相交的直径为1厘米的圆?最容易想到的排法往往是排成10排,每排排10个圆,10排的总高度正好是10厘米,一共可排100个圆(图1).但我们知道,四个等圆每个只与另外两个相切的情形和三个等圆两两相切的情形相比,四个圆中间所留的空隙较大(图2),因此采用图1这种排法圆的个数并不是最多的.要排出更多的圆就必须把已排出的圆“挤紧”,也就是要充分利用中间的空隙.显然,这就要把圆排成每三个成两两相切.因此第一排排10个,交错一下第二排排9个,第三排排10个……这样虽然有几排只排9个,但由于11排的高度还不…     

趣题五则

1.图1是相同的硬币摆成的图形,行和列是互相垂直的,连接硬币的中心,能组成多少个正方形? 2.将数2,3,4,5,6,7,8,9和10填入图2中的方框中,使得四个圆中,每一个圆周上数字之和为27。     

简析圆中动态变化题的作用

中考几何复习中,圆的相关问题是很常见、也很重要的.但如何去复习呢?如果还是把一个个独立的题目再拿出来复习,不但学生会觉得枯燥无味,而且也不利于学生系统地掌握知识,也不利于学生思维能力地提高.笔者利用圆中动态变化题进行复习可以很好的解决上述问题.例1　已知:如图1,两圆相交于A,B两点,分别过A,B两点作直线与两圆相交.求证:CE∥DF.图1　　　　　　　图2动态变化1:如图2,变为CD与EF在小圆内相交,结论是否仍成立?动态变化2:如图3,变为CD与EF中C、E两点重合呢?图3　　　　　　　图4图5　　　　　　　图6动态变化3:如图4,变为CD…     

数学擂台

(中年级)有12个小正方体,每个小正方体的6个面上分别写有1、9、9、8、4、5这6个数。用这12个小正方体拼成一个长方体(如下图)。图中看不见的那些小正方体的面有多少个?这些面上的数的和是多少?     

巧用中心对称解趣题

题一有5个半径相等的圆,排成如图1所示,其中点O是左下方这个圆的圆心,现要求过点O作一条直线将5个圆的面积分为相等的两部分,你知道怎么做吗?图1图2由于圆是轴对称图形,于是可以在右上角补作一个同样大小的圆,圆心为P,于是全部6个圆就整体而言便构成了一个中心对称图形,如图2,作直线OP,就把原来的5个圆的面积分为相等的两部分了.当然,我们也可以把原来的分割成两个中心对称图形,左边一个,右边四个.找出右边四个圆的对称中心,与O点连起来就可以了(图略).你不妨再开动脑筋,一定会想出更好更简洁的方法.评注中心对称图形有一个性质:过中心对…     

30分钟智力冲浪

1 .如图 1 ,已知圆环内直径为acm ,外直径为bcm ,将 60个这样的圆环一个接着一个环套着环地连成一条锁链 ,那么这条锁链拉直后的长度为　　　　cm .图 1　　　　　　 图 22 .如图 2 ,已知△ABC中 ,AB=BC =CA ,点D ,E分别在边AB ,AC上 ,且AD =CE .若BE ,CD交于F ,则∠BFC =图 3图 4　　　　度 ,为什么 ?3 .如图 3 ,已知点M是△ABC底边BC的中点 ,过M点的两直线MD⊥ME且分别与AB ,AC交于点D ,E .试说明BD +CE >DE .　4.△ABC的三条高交于点H ,若∠A =70°,且H点不与点B ,C重合 .试说明∠BHC的度数是多少 ?5.说明 :如…     

圆综合知识训练

一、填空题1.在00中,弦AB土CD于点尸,若A尸=4。m,PB=4cm,CP=ZCm,则00的直径为cnL 2.已知圆的直径为13 Cm,圆心到直线l的距离为6。m,那么直线l与这个圆的公共点有-个. 3.如图1,PT切00于T,经过圆心的割线PAB交00于A和B,PT=4,PA=2,则00的半径是 4.如图2,00,、O口:交于点A、B,且点O,在00:上,两圆的连心线交00;于E、D,交0 02于F,交AB于c,请根据图中所给出的已知条件(不再标注其他字母,不再添加辅助线),写出两个线段之间的关系(半径相等除外):(1)_;(2)_. 5.如图3,分别以直角三角形的两直角边AC、AB为直径作半圆,两半圆交于D,cD=1,…     

图形推理——图形的堆垒

一、解题注意点⒈形体的排列与数序的排列有一定连带关系。⒉观察每个图形组成的数目,计算图形之间组成数目的差别,求得所求图形的数目。二、举例例1下图中方格内有多少个小菱形?解:从左边起,第二个图形比第一个图形少一个底排,第三个图形又比第二个图形少一个底排。那么推理得第四个图形应比第三个图形少一个底排,所以方格中应该有6个小菱形,所以答案是C。例2下图中方格内有多少个长方体?解:从左边起第二图比第一图多2个长方体,第四图比第二图多4个长方体,那么第三图是7个长方体,可使从左到右依次增长2个长方体,这样排列就有规律了,所以答…     

一道高考试题的变形与延伸

原题如图1所示,ad、bd、cd是竖直面内三根固定的光滑细杆,a、b、c、d位于同一圆周上,a点为圆周的最高点,d点为最低点.每根杆上都套着一个小滑杆(图中未画出),三个滑环a、b、c分别从处释放(初速为零),用t1、t2、t3依次表示滑环到达d所用图1的时间,则().A.t1t2>t3C.t3>t1>t2D.t1=t2=t3分析:本题的特点是ad、bd、cd都是圆的弦,且连接ab、ac都构成直角三角形,每个直角三角形的斜边都是圆的直径.若设出圆的直径、弦与竖直直径的夹角就能表示出弦的长度和物体运动的加速度.解析:设圆的直径为d,弦与竖直直径间的夹角为θ,则斜面长s=dc…