Erdos-Mordell定理的简证

在1935年，FaulErdos猜想在△ABC内的任意一点I（或在它的边界上），从I点到三个顶点的距离之和不小于从I点到三条边的距离和的两倍．Erdos进一步猜想等号成立当且仅当△ABC是等边三角形并且I是它的外接圆圆心．尽管这一猜想的表述和理解没有什么困难之处，但是直到1937年，才由L.J.Mordell给出了第一个证明，而且这一证明是非初等的．在1945年，D.K.Kazarinoff第一个用初等方法证明了这一猜想（参阅他儿子写的书）．证明需要运用许多技巧，以至于看上去不太自然．这篇短文旨在给出一个学生能够接受的，比较自然的证明．我们的证明…     

一个定值问题的引伸

命题1“等边三角形内任一点至三边距离之和为一定值”有几种证法,但以下面的证法较简便。证明:如图1,连结PA,PB,PC. ∵S_(△ABC)=S_(△PBC)+S_(△PCA)+S_(△pAB),∴S_(△ABC)=1/2BC·PD+1/2CA·PE+1/2AB·PF又 AB=BC=CA,∴ PD+PE+PF=2S_(△ABC)/BC. 等边三角形的这一性质可推广到等边凸多边形中,以上的证明实质上给出如下的定理1 等边凸多边形内任一点至各边的距离之和为定值。特殊地,正多边形内任一点至各边的距离之和为定值。     

三角形“四心”到各边距离的不等式链

设△ABC的垂心H、内心I、重心G、外心O到三边的距离之和分别为∑HD_1,∑ID_2,∑GD_3,∑OD_4,我们有 以上不等式链中,①对锐角△ABC成立,而②,③对任意△ABC成立(等号当且仅当△ABC为正三角形时成立). 证明:设R、r与s分别为△ABC的外接圆、内切圆半径与半周长,则有     

正三角形的一个性质

定理 正三角形各顶点到其外接圆上任一点的切线的距离之和为定值。 证明 如图,过正△ABC各顶点作其外接圆切线构成正△A′B′C′。设P为外     

关于Brocard和的上下界估计

若点P是△ABC内一点,且∠PAB=∠PBC=∠PCA,则称P为Brocard点。 设P是△ABC的Brocard点,点P到各顶点的距离之和为l(以下称为Brocard和)。     

关于三角形内点的一个不等式与推广

本文给出关于三角形内点的一个不等式 .并将它推广到三维空间、n维欧氏空间 .定理　设 P是△ABC形内的任意一点 ,AP,BP,CP分别交对边于点 A′,B′,C′.则有 APAA′· BPBB′· CPCC′≤ 82 7.当且仅当 P为△ABC的重心时 ,(1)式等号成立 .证明　如图 1所示 ,记点 A,P到 BC边的距离分别为 ha,hp,S△ A BC=S,S△ P BC=S1 ,S△ P A C=S2 ,S△ P A B=S3,则 S=S1 S2 S3.图 1∵ PA′AA′=hpha=12 · BC· hp12 · BC· ha=S1 S.∴ APAA′=1-PA′AA′=1- S1 S=S2 S3S .同理可得　 BPBB′=S1 S3S ,CPCC…     

关于费尔马点的又一个不等式

如果点F到△ABC三个顶点的距离之和为最小,则点F称为费尔马点。 我们已经知道,当△ABC最大内角小于120°时,F在△ABC内部,且满足∠BFC=∠CFA=∠AFB=120°;当△ABC有一内角不小于120°时,F点与最大角的顶点重合。 关于费尔马点,文[1]给出了: 定理1 设F是△ABC的费尔马点,点     

一个几何不等式的加强

笔者在文[1]曾提出并证明了以下命题：设d_1，d_2，d_3分别为△A_1A_2A_3内任意一点P到边A_2A_3、A_3A_1、A_1A_2的距离，A_2A_3＝a_1，A_3A_1＝a_2，A_1A_2＝a_3，则中等号当且仅当△A_1A_2A_3为正三角形，且P点为其中心时成立．同时，笔者提出如下猜想：在条件同（1）式中的条件下，有取等号条件同（1）.此猜想已有人给出了证明，这儿，我们再给出（2）式的一个加强式及其简捷证明．定理设d_1、d_2、d_3、分别为△A_1A_2A_3内任意一点P到边A_2A_3、A_3A_1、A_1A_2的距离，△表示△A_1A_2A_3面积，则当且仅当△A_1A_2A_3为…     

勃罗卡点到三角形三顶点的距离公式

如图1，已知△ABC中，P是其内部一点，如则α称为勃罗卡角，点P称为勃罗卡点．文[1］指出了P点到A、B、C、三点的距离之和为本文打算用较简明的方法．分别求出点P到A、B、C三点的距离．为此，先证明下面的预备定理（图1）；已知P是△ABC的一个勃罗卡点．相应的勃罗卡角是中，由余弦定理得同理可得上面三式相加．并注意代入化简即得下面的定理，给出了PA、PB、PC的计算公式．定理：已知P是△ABC的一个勃罗卡点，相应的勃罗卡角是证明：（图2）过A作AB的垂线，与线段AC的中垂线相交．设交点为O.∴AB是△PCA外接圆的切线，A是…     

证明一个猜想不等式

在文[1]中,笔者提出了下述一个猜想不等式:设△ABC的边BC,CA,AB分别为a,b,c,则对任一点P有 这里,我们给出上式一个简单的证明: 设△ABC的半周长为S,BC边上的高     

关于锐角三角形内任一点的一个不等式

定理设P是锐角△ABC内部的任意一点,△ABC、△BPC、△CPA、△APB的面积分别为△、△a、△b、△c、;△ABC的外接圆半径为R;PA=Ra,PB=Rb,PC=Rc,则有 Σ△aRa≤△·R (1) 等号成立当且仅当△ABC是正三角形且P是△ABC的中心. 其中Σ表示循环和,下同. 为证明定理,需要下面的 引理 1P为锐角△ABC内部的任意一点,PD⊥BC于D,PE⊥CA于E,PF⊥AB于F,垂足△DEF的面积为△p,则有     

又一组与圆有关的等积线段

相交弦定理、切割线定理反映的是两组与圆有关的等积线段或比例线段 ,这是再介绍一组 ,供同行参考 .命题 :三角形外接圆上任一点到三角形各顶点的距离与到各顶点所对边的距离之积相等 .此命题试证如下 :设△ABC内接于⊙O ,P是⊙O上任一点 ,连结PA、PB、PC ,分别作PA′⊥BC ,PB′⊥AC ,PC′⊥AB ,垂足分别A′、B′、C′.求证 :PA·PA′ =PB·PB′=PC·PC′ .证明 :( 1 )当点P与A、B、C三点中某一点重合时 ,由点与点 ,点与直线的距离的规定可知此时 :PA·PA′ =PB·PB′ =PC·PC′=0 .( 2 )当点P不与A、B、C三点中任…     

1986年第3期问题

AB是Rt△ABC的斜边,在射线 AC、BC上各取一点B′、A′,使得A′B=AB′=AB,P、Q是形内两点,若P、Q到Rt△ABC各边距离之和相等,则PQ∥A′B′,反之亦然。     

锐角三角形垂心的一个性质

众所周知,锐角三角形外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和.由此可以证明:定理锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的二倍.设 O 为△ABC 垂心,过 A,B,C 作其     

三角形内的点到三顶点距离和的上界

众所周知 ,费马 (Ｆｅｒｍａｔ)点是三角形内的点到三角形各顶点的距离之和取最小值的点 .该点与三顶点相连 ,每两条连线所夹的角为 12 0° .那么 ,三角形内的点到三角形各顶点的距离和有没有最大值点呢 ?我们的回答是否定的 .这可由后面一不等式看出来 ,但我们可以给出三角形内的点到三角形各顶点的距离和的最佳上界 .顺便 ,根据其独特的方法 ,我们还获得了Ｋｌａｍｋｉｎ不等式的一个另证及一个加强不等式 .　　　　　图 1定理 1　△ＡＢＣ中 ,ＡＢ≥ＢＣ ≥ＣＡ ,Ｐ是△ＡＢＣ内任一点 ,则ＰＡ ＰＢ ＰＣ <ＡＢ ＢＣ .证明　如图 ,Ｐ是△…     

与费尔马点、中线有关的又一个不等式

命题 设△ABC三边长、中线长分别为a、b、c,m_a、m_b、m_c,△为△ABC的面积,费尔马点到各顶点距离之和为l.则当max(A,B,C)<(2/3)π时,     

一道可商榷的立几题

《立体几何》甲种本p52.题18(2)如下: [题] 平面ABC外一点P到△ABC三边的距离相等,O是△ABC的内心.求征:OP⊥平面ABC. 该题通常是这样证明的(简述);由P到△ABC三边的距离相等:PD=PE=PF,根据三垂线定理     

一个几何不等式猜想的肯定

第一届全国几何不等式研讨会上,刘健和刘毅老师曾提出如下的 猜想 设△ABC的三条内角平分线的长分别为t_a,t_b,t_c,其外接圆与内切圆的半径分别是R与r,则 t_a~2 t_b~2 t_c~2≥(27/2)Rr. (1) 当且仅当△ABC为正三角形时等号成立. 本文将对(1)给出肯定的回答。 证明 设BC=a,CA=b,AB=c,且△ABC的面积为S,则有     

一个猜想的证明及应用

[猜想] △ABC的周长大于其内共BC边的任一凸多边形的周长(见图1) 此猜想可给出严格证明,以下改称定理。为此,先证明 [引理] 如果A_1是△ABC的任一内点(也可在AB或AC边上),则BA+AC>BA_1+A_1C 证明:略 [定理] 见猜想证明:∵ B_1、C_1是△ABC的内点∴∠B_1BC+∠C_1CB<∠ABC+∠ACB<180°即BB_1、CC_1延长后必有交点A_t 可以证明A_1是△ABC之内点,如若不然,不妨设A_1在AC右侧,必A_1C上之点C_1也在AC右侧,与C_1是内点矛盾。由引理可知BA+AC>BA_1+A_1C (1) ∵多边形BA_mC是凸多边形     

一个猜想的简单证明

贵刊92年5月《一个猜想的证明及应用》,给出了“△ABC 的周长大于其内共 BC 边的任一凸多边形的周长”的证明,下面利用归纳法给出这个猜想的另一种更为简捷的证法。