从几何直觉到代数证明

笔者是相信数学直觉的 ,并且还对数学直觉进行过有意识的积累与探索 (见文 [1] ) .本文所提供的新案例 ,经历了从几何直觉到几何论证、并最终得出新代数证明的过程 .问题　设复数ｚ =3ｃｏｓθ ｉ·2ｓｉｎθ.求函数 ｙ =θ-ａｒｇｚ( 0 <θ <π2 )的最大值以及对应的θ值 .( 1999年高考理科第 ( 2 0 )题 )这个问题有一个明显的几何意义 (见文 [2 ] ) ,即复数ｚ所对应的点是椭圆ｘ =3ｃｏｓθ,ｙ =2ｓｉｎθ ｘ232 ｙ22 2 =1的第一象限部分 (图 1) .问题转化为求椭圆离心角θ与旋转角ａｒｇｚ之差的最大值 ,也就是图 1中∠ＭＯＡ的最大…     

词语辨析

一、ｏｎｔｉｍｅ和ｉｎｔｉｍｅｏｎｔｉｍｅ为介语短语 ,意为“准时” ,“按时”是指定时间 ;而ｉｎｔｉｍｅ意为“及时”。例 :( 1 )Ｌｕｃｙｏｆｔｅｎｃｏｍｅｓｈｅｒｅｏｎｔｉｍｅ .露西经常按时到这儿。( 2 )Ｗｅａｒｅｊｕｓｔｉｎｔｉｍｅｆｏｒｔｈｅｂｕｓ.我们正好赶上这班车。二、ｗｉｓｈ和ｈｏｐｅｗｉｓｈ一般侧重表达不太可能实现的愿望 ,便常译为“但愿” ;ｈｏｐｅ一般侧重表达可能实现的愿望 ,常译为“希望”。例 :( 3)Ｌｅｔ’ｓｈｏｐｅｆｏｒｇｏｏｄｌｕｃｋ .我们一起盼望好运吧 !( 4 )ＺｈａｎｇＳａｎｗｉｓｈ…     

高二数学单元测试(概率)

一、选择题1 .给出下列四个命题 :　 ( 1 )“当ｘ∈Ｒ时 ,ｓｉｎｘ+ｃｏｓｘ≤ 1”是必然事件 ;　 ( 2 )“当ｘ∈Ｒ时 ,ｓｉｎｘ+ｃｏｓｘ≤ 1”是不可能事件 ;　 ( 3 )“当ｘ∈Ｒ时 ,ｓｉｎｘ +ｃｏｓｘ<2”是随机事件 ;　 ( 4)“当ｘ∈Ｒ时 ,ｓｉｎｘ +ｃｏｓｘ<2”是必然事件 ;　其中正确命题的个数是 (　　 )　 (Ａ) 0　　 (Ｂ) 1　　 (Ｃ) 2　　 (Ｄ) 32 .同时掷 3枚硬币 ,那么互为对立的事件是(　　 )　 (Ａ)至少有一次正面和最多有 1次正面　 (Ｂ)最多 1次正面和恰好有 2次正面　 (Ｃ)不多于 1次正面和至少有 2次正面　 (Ｄ)至少有 2…     

波速问题求解方法浅析

一、局部质点状态分析法所谓局部质点状态分析法 ,就是依据波速描述振动状态传播快慢的物理意义 ,分析出相关两时刻振动状态相同的“两”质点 ,确定状态传播距离△ｘ ,分析“某个”质点的振动情况 ,确定传播时间△ｔ的方法 .其特点是 :①从题设的某些字眼中分析出状态含义 .②从图像中找出状态信息 .例 1　图 1所示为一列横波在某时刻的波形图 .若Ｐ点开始振动时 ,Ｎ点已振动了0 .0 2ｓ,则此波的波速为 (　　 ) .(Ａ) 3ｃｍ/ｓ ,向右　 (Ｂ) 3ｃｍ/ｓ ,向左(Ｃ) 3ｍ/ｓ,向左 (Ｄ) 3ｍ/ｓ ,向右解析 :“Ｐ开始振动”与“Ｎ已振动了 0 .0 2ｓ…     

展转相除法与展转相减法

要求两数的最大公约数 ,那一般就要用展转相除法 .举例说明这一个方法 :求 51 1 7和 692 3的最大公约数 ,算式如下 :1 692 3 51 1 7251 1 7361 21 1 80 61 50 551 50 51 50 530 1　 0　　则有ＧＣＤ( 51 1 7,692 3) =30 1 (ＧＣＤ :ＧｒｅａｔｅｓｔＣｏｍ ｍｏｎＤｉｖｉｓｏｒ ,最大公约数 ) .教科书中有代数证明和几何解释 ,一般可这样解释求最大公约数的过程 :ＧＣＤ( 51 1 7,692 3)=ＧＣＤ( 1 80 6,51 1 7)=ＧＣＤ( 1 50 5,1 80 6)=ＧＣＤ( 30 1 ,1 50 5)=ＧＣＤ( 0 ,30 1 )=30 1 .展转相除法在代数学中被称为“欧几里得算法” ,被认为…     

不对称催化

10月 1 0日 ,2 0 0 1年诺贝尔化学奖揭晓 :奖金的一半由在“不对称催化氢化反应”领域做出卓越贡献的美国科学家威廉·诺尔斯(Ｗｉｌｌｉａｍ .Ｓ .Ｋｎｏｗｌｅｓ)与日本科学家野依良治 (ＲｙｏｊｉＮｏｙｏｒｉ)共同分享 ,而奖金的另一半则授予了“不对称催化氧化反应”领域的泰斗美国科学家巴里·夏普莱斯 (Ｋ .ＢａｒｒｙＳｈａｒｐｌｅｓｓ)。可以说今年的化学奖是颁给了“不对称催化”。在此 ,我们谨就手性和手性分子、不对称催化的原理作一简要介绍 ,并展望了它的应用前景。1 .手性和手性分子手性特征是自然界普遍存在的一种现象 ,不…     

英语第三册重点内容复习

按照教学大纲 ,电大英语第三册的具体要求是 :学员所掌握的词汇量应达到 2 1 0 0个左右 ;能较好地掌握和运用基本的语音和语法知识 ;初步了解一定的阅读技巧 (Ｒｅａｄｉｎｇｓｋｉｌｌｓ) ;能用所学词汇和语法知识阅读浅易英文材料 ;初步具备一定的日常口语和书面交际的能力。下面分四个部分谈谈本学期教学的重点及期末复习的具体要求。1　语法本学期所学的 2 0个语法项目中 ,需要加以重点释义的内容包括 :1 .1　“ｗｏｕｌｄ +原形动词”与“ｕｓｅｄｔｏ +原形动词”及“ｂｅ/ ｇｅｔｕｓｅｄｔｏ(介词 )”之间的异同。“ｗｏｕｌｄ +原…     

近两年高考题中的“波的图像”问题

高中物理中“波的图像”问题 ,是历年高考的热点 .近两年随着高考的改革和命题的多元 ,“3 +2”高考中的物理单科卷和“3 +Ｘ”的高考中的“综合能力测试卷(理科 )”也都有“波的图像”题 ,本文在对试题进行解析的基础上进行归纳总结 ,找出解此类问题的规律 .[例 1 ](2 0 0 0年全国“3 +2”高考物理卷 ,第 7题 ,选择题 ,4分 )一列横波在ｔ=0时刻的波形如图 1中实线所示 ,在ｔ=1ｓ时刻的波形如图中虚线所示 ,由此可以判定此波的 .(Ａ)波长一定是 4ｃｍ .(Ｂ)周期一定是 4ｓ.(Ｃ)振幅一定是 2ｃｍ .(Ｄ)传播速度一定是 1ｃｍ/ｓ .图 1解析 :由…     

正余弦定理及应用

新编教材严格按照《新大纲》进行精简、更新。高中“三角函数” ,“两角和与差的三角函数” ,“反三角函数和简单三角方程”合并为“三角函数”一章 ,课时压缩为 36节。减少了许多公式的记忆 ,繁琐的变形 ,偏难的怪题。而“平面向量”一章中保留了正弦定理 ,余弦定理和解斜三角形应用举例。原有一些常规题如求ｓｉｎ2 1 0° ｃｏｓ2 4 0° ｓｉｎ1 0°ｃｏｓ4 0°的值 ,求证ｓｉｎ2 β ｓｉｎ2 (α β) -2ｃｏｓαｓｉｎβｓｉｎ(α β) =ｓｉｎ2 α就较难解决。现根据新教材内容 ,运用正弦定理 ,余弦定理以及诱导公式 ,可以得到正余弦…     

英语第三册重点内容复习

按照教学大纲 ,电大英语第三册的具体要求是 :学员所掌握的词汇量应达到 2 1 0 0个左右 ;能较好地掌握和运用基本的语音和语法知识 ;初步了解一定的阅读技巧 (Ｒｅａｄｉｎｇｓｋｉｌｌｓ) ;能用所学词汇和语法知识阅读浅易英文材料 ;初步具备一定的日常口语和书面交际的能力。下面分四个部分谈谈本学期教学的重点及期末复习的具体要求。1　语法本学期所学的 2 0个语法项目中 ,需要加以重点释义的内容包括 :1 .1　“ｗｏｕｌｄ +原形动词”与“ｕｓｅｄｔｏ +原形动词”及“ｂｅ/ｇｅｔｕｓｅｄｔｏ(介词 )”之间的异同。“ｗｏｕｌｄ+原形…     

对《浅论化学教学中"超前消费"策略》一文的异议

我在读到贵刊 2 0 0 1年第 2期 (总第 164期 )Ｐ .19周卫东著的《浅谈化学教学中“超前消费”策略》一文时 ,我对文中一道例题的解答持有两点异议 ,特提出来 ,与大家商榷。(1)按文中解析所列的关系式ｍ -ｍ1ａ -ｂ =ｍ -ｍ2ａ -ｃ =ｓ10 0 +ｓ=溶质溶液 ①根本不可能得到答案Ｃ(ｓ =10 0 (ｍ1-ｍ2 )ｂ -ｃ )的结果。(2 )文中所列关系式并不符合化学事实。分母中的“ａ -ｂ”和“ａ -ｃ”并不是饱和溶液的质量。因为原溶液蒸发掉ｂ克水或ｃ克水再恢复到ｔ℃时分别析出了溶质ｍ1克和ｍ2 克 ,所以真正的饱和溶液质量应为 (ａ -ｂ -ｍ1)克和 (ａ…     

三角形方程——研究性学习

由来:17世纪初,笛卡尔(R.Descartes,1596-1650)提出“建立一种普遍的数学,使算术、代数和几何统一起来”的设想,时至今日300余年,此“理想”并未完全实现,“坐标几何”(今称“解析几何”)仅在光滑曲线的研究中,实现了方程化.     

构造几何图形巧解代数题

“数”与“形”是数学研究的两大对象,在数学解题中以“形”研究“数”,会使问题直观形象,解法灵活简便,因此在解某些代数问题时,可依据题目的特征,构造出一些简单的几何图形,把所求的问题转化为几何问题,然后运用几何等知识去解决所求问题.笔者将对某些代数题构造几何图形妙解进行归类分析。 1 构造单位圆解三角题 例1 已知cosα cosβ-cos(α β)=3/2,α,β∈(0,π),求α,β的值. 解 由cosα cosβ-cos(α β)号得cosα cosβ-cosαcosβ sinαSinβ-3/2=0. (1-cosβ)cosα sinβsinα cosβ-3/2=0.(1)     

数学高考复习综合能力题选讲——三角函数与复数

2 0 0 0年全国高考数学科《考试说明》对知识要求和能力要求作了十分明确的规定 .在知识的综合性考查中 ,要求“从学科的整体高度考虑问题 ,在知识网络交汇点设计试题” ;在能力考查中 ,要求“以逻辑思维能力为核心 ,全面考查各种能力” ,强调“探究性、综合性、应用性” .按照上述要求 ,本讲侧重于三角函数与复数方面的综合问题进行分析 ,力求突出关键以及方法的运用 ,使学生在能力培养和训练水平上有所提高 .例 1　已知定义在Ｒ上的函数ｆ(ｘ) =ａｓｉｎ(ωｘ) ｂｃｏｓ(ωｘ) ,(ω >0 )的周期为π ,且 ｆ(ｘ)≤ｆ(π12 ) =4.(1)求函…     

初中数学教材中关于线段公理的表述应该统一

关于线段公理的表述 ,在各册数学教材中 ,说法不够一致 ,给教和学带来了许多困惑。《九年义务教育三年制初级中学几何》第一册 (人教版 2 0 0 1年 5月第 1版 )第 2 1页的表述中说 :“所有联接两点的线中 ,线段最短。”在几何第一册《教师教学用书》也作了说明 :“注意 ,这里的‘联接’不是‘连结’ ,‘连结’是专在连成线段 (不是其它线 )的时候用的。”可见 ,联接两点的线 ,可直可曲。“联接”不同于“连结”。而《九年义务教育三年制初级中学几何》第二册(人教版 2 0 0 1年 6月第 1版 )第 9页引用公理时说 :“联结两点的线中 ,线段最短。…     

浅谈极坐标系中的旋转思维

极坐标在中学数学中所占内容很少 ,高考仅有一道小题 ,但是极坐标却蕴涵着极重要的“旋转思想” ,这一点常常被老师和学生所忽视 .因此学生对极坐标知识不够重视 ,常常是依赖直角坐标系的知识来认识和理解极坐标 ,不能用运动变化的观点去研究它 ,从而不能有效地发挥极坐标的“旋转”优势去解题 .例 1　 (1993年全国高考题 )已知直线的极坐标方程为 ρｓｉｎ(θ + ｘ4 ) =22 ,则极点到该直线ｌ的距离是 .解法 1　化直线的极坐标方程为ρｓｉｎθ + ρｃｏｓθ =1,化为直角坐标方程ｘ+ ｙ - 1=0 .所以极点 (原点 )到直线的距离　　ｄ =｜ 0 + …     

自动控制理论例题解析2

6　已知系统的结构图如图 5所示 ,若ｘ(ｔ) =2× 1 (ｔ) ,试求 :(1 )当τ =0时 ,系统ｔｒ、ｔｍ、ｔｓ 的值 ;(2 )当τ≠ 0时 ,若使δ % =2 0 % ,τ应为多大。图 5　题 6系统结构图解　 (1 )由结构图可知闭环传递函数为 :ＧＢ(ｓ) =Ｙ(ｓ)Ｘ(ｓ) =50ｓ2 +2ｓ+50可得　ωｎ=50 =7.0 7弧度 /ｓζ =22ωｎ=0 .1 4θ=ｔｇ- 1 1 - ζ2ζ =81 .95° =1 .43弧度由于Ｘ(ｓ) =2ｓ ,输出的拉氏变换为 :Ｙ(ｓ) =2ωｎ2ｓ2 +2 ζωｎ+ωｎ2则拉氏反变换为 :ｙ(ｔ) =2 1 - ｅ- ζωｎｔ1 - ζ2 ·ｓｉｎ(ωｄｔ+θ) =2 (1 - 1 .0 1ｅ- 0 .995ｓｉｎ(7ｔ+8…     

源于教材,高于教材——评2001年高考几何部分试题

高考试题要做到“重基础、考能力” ,“源于教材、高于教材” ,如何对教材进行合理的利用、选择 ,特别对教材例习题的引申与改造则显得尤为重要 .下面就 2 0 0 1年全国理科试题几何部分 ,看看对课本例习题的选择 .《平面解析几何》Ｐ6 9习题 1 :“求下面各圆的方程 :(1 )过点Ａ(5,2 )和点Ｂ(1 ,3) ,圆心在ｘ轴上 ;(4)过点Ａ(5,2 )和点Ｂ(3,-2 ) ,圆心在直线 2ｘ -ｙ=3上 .”若将两点改为 (1 ,-1 )和(-1 ,1 ) ,直线改为ｘ ｙ-2 =0 ,则为全国试题 2 .《平面解析几何》Ｐ1 30例 2 :“求圆心是Ｃ(ａ ,0 ) ,半径是ａ的圆的极坐标方程” .若将圆…     

用几何画板绘制物理图像

本刊 2 0 0 2年第 2期刊登了《用Ｅｘｃｅｌ绘制物理图像》一文 ,笔者在这里再介绍一种既能被中学生接受又能准确绘制复杂函数图像的工具———几何画板 .下面仍以原文中的题目为例作一介绍 :例 1.绘制电源的输出功率Ｐ =(ＥＲ +ｒ) 2 Ｒ的图像(其中Ｒ为变量 ) .(1)设定各物理量打开几何画板 ,利用工具框中的“直尺工具” ,画一线段 ,用“文本工具”将两端点标注为“Ａ”、“Ｂ” ,单击选中线段ＡＢ ,在“度量”菜单中选择“长度” ,则线段ＡＢ长度的度量值就出现在界面中 ,用这一长度值表示电动势的大小Ｅ(见图 1) ;图 1同样方法 ,画线段Ｃ…     

数形结合的几种基本途径

数与形是初等数学中研究的主要对象 ,数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思考 ,使抽象思维和形象思维结合 ,通过“以形助数”或“以数解形” ,使复杂问题简单化 ,抽象问题具体化 ,从而起到优化解题途径的目的 .数形结合包含两方面内容 :从几何角度看代数问题 ,或从代数角度看几何问题 .数形结合在解题过程中应用十分广泛 ,本文介绍数形结合的几种基本途径 .(1)代数式 (x-a) 2 +(x -b) 2 表示点 (x ,y)到点 (a ,b)的距离 .例 1　求函数 f(x) =x2 +15 -x2 - 6x +13的最大值 .解　f(x) =(x - 0 ) 2 +(0 - 15 ) 2 -(x- 3) 2 +(0 …