一道浙江省高三联考试题的别解与拓展

浙江省名校高考研究联盟2011届高三第二次联考理科卷的试题卷中出现了这样一道解析几何试题,原题如下:如图1,设F₁、F₂是椭圆C:x²/a²+y²/b²=1（a>b>0）的左、右焦点,A、B分别为其左顶点和上顶点,△BF₁F₂是面积为3^1/2的正三角形.     

圆锥曲线上一类定值问题的再推广

1问题提出文[1]中给出了圆锥曲线焦点弦引起的所分线段比值之和为定值的若干结论.比如以下两个结论:命题1已知弦AB,AC分别过椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的左、右焦点F₁.     

对一道高考题的探究、引申

题目已知椭圆（x²）/（a²）+（y²）/（b²）=1（a>b>0）的离心率为(2^1/2)/2,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F₁、F₂为顶点的三角形的周长为4(2^1/2+1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设P为该双曲线上异于顶点的任一点,直线PF₁和PF₂与椭圆的交点分别为A、B和C、D.（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程;（Ⅱ）设直线PF₁和PF₂的斜率分别为k₁、k₂.证明:k₁k₂=1;     

巧用椭圆中“特征三角形”解题

我们知道椭圆两种标准方程x²/a²+y²/b²=1（a>b>0）和y²/a²+x²/b²=1（a>b>0）中都有等式a²=b²+c²（其中c为半焦距）,而此等式正好满足勾股定理,构成了一个直角三角形（三边为a,b,c）,那么这样的三角形我们可以叫做椭圆的"特征三角形"。以x²/a²+y²/b²=1（a>b>0）为例,设B₁,B₂分别为椭圆的下上顶点,F₁,F₂分别为左右焦点,则△F₂OB₂就是这样     

椭圆焦点三角形中的几个结论及应用

<正> 设 F₁,F₂是椭圆（x²/a²）+（y²/b²）=1（a>b>0）的焦点,过 F₁,F₂的弦交椭圆于 P 点,称∠F₁PF₂为椭圆的弦焦角,△F₁PF₂为椭圆中的焦点三角形。如图1所示,在△F₁PF₂中,P 与 A₁,A₂不重合,设∠F₁PF₂=2α,则有下列三个结论。一、|PF₁|·|PF₂|·cos²α=b²证明在△F₁PF₂中,设|PF₁|=m,|PF₂|=n,|F₁F₂|=2c。由余弦定理得:m²+n²-2mncos2α=4c²①,又 m+n=2a,     

对一道高考试题的火热思考

好的高考试题总能给我们带来无限的遐想与火热的思考,2012年安徽高考解析几何试题便是成功的一例.题目（2012年安徽高考理科第20题）如图1,F₁（-c,0）,F₂（c,0）分别是椭圆C:x²/a²+y²/b²=1（a>b>0）的左、右焦点,过点F₁作x轴的垂线交椭圆的上半部分于点P,过点F₂作直线PF₂的垂线交直线x=a²/c于点Q;（Ⅰ）略;（Ⅱ）证明:直线PQ与椭圆C只有一个交点.思考1:结论能否推广到一般情况呢?     

对一道江苏高考题的思维历程

考题（2012年全国高考江苏卷理科第19题）:如图1,在平面直角坐标系xOy中,椭圆（x²）/（a²）+（y²）/（b²）=1（a>b>0）的左、右焦点分别为点F₁（-c,0）、F₂（c,0）.已知（1,e）和(e,(3^1/2)/2)都在椭圆上,其中e为椭圆的离心率.     

一道苏州大学预测题的来源与解法探究

引例1设F₁,F₂是椭圆C:x²/a²+y²/b²=1（a>b>0）的左右焦点,A,B分别为其左顶点和上顶点,△BF₁F₂是面积为3^1/3的正三角形,（1）求椭圆C的方程;（2）过右焦点F₂的直线l交椭圆于M,N两点,直线AM,AN分别与已知直线x=4交于P,Q两点,试探究以线段PQ为直径的圆与直线l的位置关系,     

圆锥曲线又一个奇妙的共同性质

笔者通过对圆锥曲线共同性质的探索和研究,曾在贵刊发表过《圆锥曲线的两个共同性质》（2012.8）.近日又发现圆锥曲线的一个十分奇妙的共同性质,与读者共享,并抛砖引玉.性质直线l₁和l₂分别与圆锥曲线（椭圆x²/a²+y²/b²=1（a>b>0）、双曲线x²/a²-y²/b²=1（a>0,b>0）、抛物线²=2px（p>0）、圆x²+y²=r²）相交于     

平面几何用于圆锥曲线五例

1.三角形中位线例1已知点Q是双曲线（x²/a²）-（y²/b²）=1（a,b>0）上异于顶点的一个动点,左右焦点分别为F₁、F₂,从F₂向∠F₁QF₂的角平分线作垂线F₂P,求垂足P的轨迹方程.     

圆锥曲线中“韦达结构与准韦达结构”问题探析

引题已知椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)左焦点F1(-1,0),点P为椭圆上不同于长轴两顶点A1,A2的一点,直线PA1的斜率与直线PA2的斜率之积为-3/4,连结PF₁并延长交椭圆于点Q.     

一道高考试题推广的类比

引题（2012年高考福建卷·理19）如图,椭圆E:x²/a²+y²/b²=1（a>b>0）的左焦点为F₁,右焦点为F₂,离心率e=1/2·过F₁的直线交椭圆于A,B两点,且△ABF₂的周长为8.（Ⅰ）求椭圆E的方程;（Ⅱ）设动直线l:y=kx+m与椭圆E有且仅有一个公共点P,且与直线x=4相交于点Q.试探究:在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在,求出M的坐标;若不存在,     

具有探索价值的一道希望杯赛题

07年第十八届"希望杯"全国数学邀请赛高二第2试第19题:设A、B是椭圆E:（x²/a²）+（y²/b²）=1（a>b>0）长轴两端点,F₁、F₂是椭圆E两焦点,C是椭圆E     

圆锥曲线纵轴定点弦的一个新性质

我们知道,椭圆x²/b²+y²/b²=1(a>b>0)、双曲线x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)、抛物线x²=2py(p>0)都是对称轴为纵轴(y轴)的圆锥曲线.本文给出以上三种关于纵轴对称的圆锥曲线定点弦的一个新性质.     

例析有关焦点三角形问题的求解策略

例1双曲线x²/9-y²/16=1的两个焦点为F₁、F₂,点P在双曲线上.若PF₁⊥PF₂,则点P到x轴的距离是_<sub><sub><sub>.这是一道典型的与焦点三角形有关的问题,焦点三角形是指以椭圆（或双曲线）的焦距F₁F₂为底边,顶点P在椭圆（或双曲线）上的三角形.解法1:（辅助圆法）以O为圆心,OF₁=5为半径作圆z²+y`2=25,与双曲线x²/9-y²/16=1联立,解得两曲线的交点即为题意中的点P（x₀,y₀）,消去x²,得|y₀|=|y|=     

对一道数学高考题的研究

2010年全国高考安徽卷文科第17题（理科第19题）是:椭圆E经过点A（2,3）,对称轴为坐标轴,焦点F₁、F₂在x轴上,离心率e=1/2.（1）求椭圆E的方程;（2）求∠F₁AF₂的平分线所在直线的方程（以下简称问题）.该问题是以椭圆焦点三角形内心为背景进行命制的,笔者认为它是一个很好的研究性学习问题.1.问题的推广定理1设点P是椭圆（x²）/（a²）+（y²）/（b²）=1（a>b>0）上除去四个顶点外的一点,点E、F分     

2013年高考数学安徽理科卷第18题的拓广探究

题目（2013年高考安徽卷·理18）已知椭圆E:x²/a²+y²/1-a²=1的焦点在x轴上.（1）若椭圆E的焦距为1,求椭圆E的方程;（Ⅱ）设F₁,F₂分别是椭圆E的左、右焦点,P为椭圆E上第一象限内的点,直线F₂P交y轴于点Q,并且F₁P⊥F₁Q.证明:当a变化时,点P在某定直线上.该题立意朴实,耐人寻味,着重考查学生解决解析几何问题的基本思维方法.通过仔细研究,我们发现该题有"潜力可挖",为了能更清楚地理解问题     

基础知识巩固题精选

一、选择题1.已知F是抛物线y=1/4x²的焦点,P是该抛物线上的动点,则线段PF的中点的轨迹方程是（）。A.x²=y-1/2 B.x²=2y-1/16C.x²=2y-1 D.x²=2y-22.已知点A（3,10/3）和抛物线y²=2x上一点P,若点P到抛物线的准线l的距离为d,则当|PA|+d取得最小值时,点P的坐标为（）。A.（0,0）B.(1,2^1/2)C.（2,2）D.（1/2,1）3.若椭圆x²/a²+y²/b²=1（a>b>0）和圆x²+y²=（b/2+c）²。（其中c=（?））有四个公共点,则椭圆     

一道质检题的解析与引申

题在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:x²/a²+y²=1(a>1)的左、右焦点分别是F1,F2,P是C上异于长轴端点的动点,∠F1PF2的平分线PB交x轴于点M.当P在x轴上的射影为F₂时,M恰为OF2的中点.     

双曲线中三线共点问题探究

<正>"三线共点"问题是双曲线中较为常见的问题.通常可以先联立两条直线方程,求出交点,再将交点坐标代入第三条直线方程中来验证.这类问题的解决往往要结合双曲线的定义、几何性质,变化较多,难度较大.下面以一道联考题引入并作一些探究.例1已知双曲线(x²)/(a2)/(a²)-(y2)-(y²)/(b2)/(b²)=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F_1,F_2,过点F1作圆x2)=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F_1,F_2,过点F1作圆x²+y2+y²=a2=a²的一条切线分别交双曲线的左,右