lim n→∞(r√a1+r√a2+…+r√an)的敛散性的讨论

从数列{√2＋√2＋…＋√2}到一般形式的数列{√a1＋√a2＋…＋√an}，再到更一般形式的数列{r√a1＋r√a2＋…＋r√an}，并对其敛散性作出讨论。     

例谈信息互动分析法之应用

例1：若0〈a〈1，0〈b〈1，求证：√a^2＋b^2 ＋√（1-a）^2＋b^2 ＋√a^2＋（1-b）^2 ＋√（1-a）^2＋（1-b）^2≥2√2.     

一对优美的姊妹不等式

本文旨在建立如下姊妹不等式． 定理 若a,b,c是正数,且a＋b＋c=1,则（1）√1/a＋b＋√1/b＋c＋√1/c＋a≥√30;     

不等式证明中的七种代换

1．常值代换 例1 证明：3√（3＋3√3）＋3（√3-3√3）＜2（3√3）。 证明 设a=3√（3＋3√3）,b=3（√3-3√3）,则a＞b＞0.     

解分式题的若干技巧

1．单项换元 例1 已知a＝3√4＋3√2＋3√1,求3/a＋3/a^2＋1/a^3的值。     

问题1649的另一种解法与推广

《数学通报》2007年9月号问题1649： 已知a,b,c∈（0,＋∞）,且a＋b＋c=1,求 y=^3√a＋1＋^3√b＋1＋^3√c＋1的取值范围.     

一道不等式赛题的多种证法

题目 设3/2≤x≤5,证明：不等式 2√x＋1＋√2x-3＋√15-3x〈2√19.     

余弦定理与图形

1．证明不等式 例1 设x,y,z∈（0,＋∞）．求证： √^2-xy＋y^2＋√y^2-yz＋z^2〉√z^2-zx＋x^2     

一道竞赛题的研究性学习

在2006年土耳其数学奥林匹克国家队选拔考试中,有如下一道不等式题． 问题1 已知正数x、y、z满足xy＋yz＋zx=1,求证：27/4（x＋y）（y＋z）（z＋x）≥（√x＋y＋√y＋z＋√z＋x）^2≥6√3.     

构造图形证明不等式

1 构造平面几何图形 例1 a〉0,b〉0,c〉0．求证：√a^2＋b^2＋√b^2＋c^2＋√a^2＋c^2≥√2（a＋b＋c）.     

双根式线性函数值域的简便计算

本文介绍无理函数y=K√ax＋b＋L√cx＋d的值域的一些简便计算方法，可供读者参考，其中K、L取非零实数。 1.y=√ax＋b＋√cx＋d的值域 1．1当a、c同号时，用单调性解 例1 求y=√x＋1＋√2x-3的值域．     

摩尔多瓦国家集训队试题的另证及推广

文中给出了一道2003年摩尔多瓦国家集训队试题： 设x,y,z都是正数,且x＋y＋z≥1,则y＋z^x√x＋x＋z^-y√y＋x＋y^-z√z≥2√3（1）的证明。但思路较复杂,技巧较强．本文给出（1）的另外三种较为简捷的证法,并将（1）推广．     

WMTC好题解法一览

题目 设a,b,c∈R＋,a＋b＋c=1,则M=√3a＋1＋√3b＋1＋√3c＋1的整数部分是__．     

一道2007女子竞赛题的简证及推广

题目 已知a,b,c≥0,且a＋b＋c=1,求证：√a＋4^-1（b-c）^2＋√b＋√c≤√3,①（2007年女子数学奥林匹克竞赛试题）     

一道女子数学奥林匹克试题的推广与变形

题目 已知a,b,c≥0,a＋b＋c=1．求证：√a＋1／4（b-c）^2＋√b＋√c≤√3（第6届女子数学奥林匹克竞赛试题第6题）．     

一道IMO预选题的简证

题目设a、b、c〉0，且ab＋bc＋ca=1．证明：不等式^3√1/a＋6b＋^3√1/b＋6c＋^3√1/c＋6a≤1/abc.[第一段]     

引发逆向思维的几种情形

一、由因式的分解引发逆向思维 例1（√5-√3）2（8＋2√15）.分析大多数学生是从先算平方,再按多项式法则展开、合并这一常规解法.注意到8＋2√15这个式子的结构特征,这个式子能＂分解因式＂成（√5＋√3）2,故原式等于（√5-√3）2（√5＋√3）2,此时再逆用积的乘方公式即可.     

追根寻源

江苏省第二十届初中数学竞赛第1试的第8题是一道选择题，题目是这样的：正实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d=1。设P=√3a＋1＋√3b＋1＋√3c＋1＋√3d＋1，则（ ）。     

这样的证明方法更好

题目 证明：如果（x＋√x^2＋1）（y＋√y^2＋1）=1，那么x＋y=0。     

一道猜想不等式的初等证明

题目设口,b,c是正数,n是正整数,求证：a/n√a^n＋（3^-1）b^n/2c^n/2＋bn√b^n＋（3^n-1）a^a/2a/2＋c/n√c^n＋（3n-1）a^n/2b^n/2≥1.