Ch.Huyens弧长计算公式的推广和π的新算法

本文将Ch.Huygens利用弦长求弧长的近似公式推广到一般情形,利用所得结果,我们获得了圆周率π的两类新的极限形式,并由此导出π的一系列近似公式,给出了误差估计,从而提供了以高精度计算π值的新方法。     

正弦函数弧长算法的改进及应用

正弦函数的弧长公式是无穷交错级数,计算困难且收敛速度慢。为克服这个难题,采用积分定义法发现,弧长随着积分微元个数的增加而递减;再引入曲线拟合的方法得出弧长的表达式,并进行参数检验,对拟合函数求极限就可简便地得出弧长的满意解。     

一道扇形问题解法中的瑕疵——注意扇形圆心角范围对半径及弧长范围的限制

题目已知扇形周长为20cm,求扇形面积取最大值时,圆心角的大小.本题考查了弧长公式l=αr,扇形的面积公式S=1/2lr,以及通过     

不同方程形式下曲线弧长公式的一致性

对曲线的方程在参数方程形式、极坐标方程形式、向量方程形式等不同形式下,证明了曲线弧长公式的一致性,即都统一于公式s=∫ba｜r→′（t）｜dt.     

对一个面积“借用公式”的探究

例如图1：已知扇形OAB,点C在OA上,以O为圆心、OC为半径,画弧交OB于D,若弧AB的长为8π,弧CD的长为6π,AC=4,求阴影部分的面积.析解因为阴影部分的形状与梯形类似,可以借用梯形的面积公式来求阴影部分的面积.即S_（阴影）=（弧AB＋弧CD）/2×AC=（8π＋6π）/2×4=28π.这是文中出现的一道例题,＂图形类似,公式借用＂,这种解法令人拍案惊奇.文没有对这种解法的合理性作进一步的解释,这引起了我的疑惑：这种解法可靠吗？     

慎用“必须”

一位老师讲课时向学生提问:“要想 求扇形的面积,必须知道哪两个条件?”学生回答:“必须知道圆心角(或弧长)和半径。”我认为从数学意义上讲,这种提法是不够恰当的,这里把充分条件和必要条件搞混了。 有了圆心角(或派长)和半径,一定能求出扇形的面积,这个条件对求扇形面积来说是充分条件,但不是必要的。因为求扇形面积也可以不必知道圆心角(或弧长)和半径,例如:知道扇形A的面积是扇形B的面积的2倍,扇形A的面积是已知条件,只要除以2就得到扇形B的面积了。老师只能就公式S=(nπR~2)/360(或S=1/2LR)而言:“要利用公式求扇形的面积,需要知道圆心角(或弧长)和半径。”否则     

浅谈对弧长和坐标的曲线积分

由于弧长的曲线积分和坐标的曲线积分的运算公式不同,加上曲线与坐标之间的联系,决定了曲线积分运算的复杂性与解法的灵活性。本文通过对常用解法的介绍,加深对曲线积分的掌握和研究。     

关于在极坐标φ＝φ（r）形式下定积分的应用

本文对φ＝φ（r）的形式进行讨论，推导出平面图形的面积、曲线的弧长、旋转体的面积及面积公式。     

圆面积推导一法

圆面积的推导,关键是启发学生掌握“变圆为方”的思想。学生一旦理解了这一变换思想,就会利用已有关于平面图形求面积的公式,导出求圆面积的方法。除了教材上讲的方法外,有的学生利用求三角形面积的公式,导出了圆面积的公式。 例如,把一个圆面等分成16份。把一个扇形,看成是一个近似的三角形。每个三角形的面积是:S_△=1/2(底×高)。在这里底可近似地看作是圆周长的1/(16),即2πr×1/(16),高     

等角线及应用(高一、高二、高三)

在一条曲线上求一点,使它对两定点的张角最大或最小,这类问题可用解析几何中的夹角公式求解,这时要讨论斜率是否存在,考察函数单调性或者用不等式.这里介绍一种作图求点的几何方法.在平面几何中由圆的知识可知:同弧所对的圆周角相等,     

解析变换下曲线的曲率与弧长

推导出了在单叶解析变换下,像曲线的曲率与弧长的计算公式．     

曲率圆弧段近似代替曲线弧的实例分析

利用Matlab画图软件和Taylor公式,研究了曲率圆和曲线弧的关系问题,并通过一个具体实例说明了用曲率圆弧段近似代替曲线弧是科学的。     

一种插补前连续微小线段平滑过渡前瞻算法

针对数控系统中连续微小线段的加工,提出一种前瞻的方法。结合段间圆弧过渡,简化S加减速,双向前瞻缓冲,实现各段起点速度、刹车速度和终点速度的计算,从而达到段间速度平滑过渡。实验结果表明,该方法具有计算量小、处理速度快、速度变换柔和等优点,可以满足数控系统实时快速的控制需求。     

切线段与弧的长度关系

本文从一个初等几何事实(从圆外一点向圆引两条切段,则这两条切线段的长度之和大于它们所夹的圆弧.)出发,把圆弧推广到凸光滑曲线弧,得到了相同的结论.     

依据有限个观测点的坐标分析空间曲线的弯曲程度

空间曲线的方程未知,要依据曲线上有限个观测点的坐标,计算曲线的弯曲度。从曲率的原始定义出发,建立起直接利用原始坐标数据计算空间曲线各弧段弯曲度的方法,同时构造出具有最佳弯曲度逼近的光滑曲线,证明了直接方法的可靠性。经过深入剖析,厘清了某些流行算法的模糊认识,通过示例阐明了运用二次样条和三次样条插值方法计算曲线弯曲度的缺陷。     

圆内接闭折线的k级垂心线长公式

本文推导了圆内接闭折线的k级垂心线长公式.     

计算桥梁线路边线长度的通用公式

根据线路的曲率变化特点,推导一个适用于各种线形边线长度的计算公式,该公式可计算中线上任意两点左右边线的长度,简化互通立交和曲线桥梁的几何尺寸的精确推求,便于设计和施工人员掌握。     

计算桥梁线路边线长度的通用公式

根据线路的曲率变化特点，推导一个适用于各种线形边线长度的计算公式，该公式可计算中线上任意两点左右边线的长度，简化互通立交和曲线桥梁的几何尺寸的精确推求，便于设计和施工人员掌握．     

积分学中一类公式的简捷证明

由定积分的可积条件推出一个结论，并因此给出平面曲线弧长、旋转曲面面积、曲线积分及第一型曲面积分计算公式的简捷证明。     

极坐标系下使用微元法需要注意的一个问题

分析定积分微元法中微元的条件,并通过讨论极坐标情形下求平面图形面积和平面曲线弧长这两个实例说明使用微元法的关键.