再谈三角形1号心的性质

在文[1]中,我们定义了三角形的“1号心”概念(它是三角形的垂心、奈格尔点和伪垂心诸概念的统一推广),并揭示了它的一些有趣性质.这里作点补充. 定理1 设△ABC关于点P的1号心为Q,则 222QAQBQC 2222()PQPAPBPC= . 证明 以点P为原点建立直角坐标系,xPy设顶点A、B、C的坐标分别为11(,)xy、22(,)xy、33(,)xy,则点Q的坐标为[1] 123123(,)xxxyyy . 注意到点P为原点(0,0),由两点间的距离公式可知 222123123()()PQxxxyyy= , 22211,PAxy= 22222,PBxy= 22233.PCxy= 将这四个等式两边分别相加,就得 2222()PQPAPBPC …     

三角形的一个新性质

命题 △ABC各角顶点与对边n(n>2)等分点的连线中,相邻两连线分别交于P、Q、R。则AP、BQ、CR三线共点于△ABC的重心。 证明:如图,设AP、BQ、CR分别交△ABC的三边于P′、Q′、R′。     

平面闭折线k号心的一个有趣性质

本文在贵刊文[1]的基础上,探讨平面闭折线A(n)关于点P的k号心与它的一级顶点子集V j(1≤j≤n)关于点P的k号心之间的关系.定理1设闭折线A(n)关于P的k号心为Q.闭折线A(n)一级顶点子集V j关于点P的k号心为Q j(1≤j≤n),过点P任作一直线l,且Q、Q j、Aj三点到直线l的有向距离分别为d(Q)、d(Q j)、d(Aj),则d(Q)=d(Q j)+d(A j)/k.证明以任意一点P为原点建立平面直角坐标系xPy,则可设直线l的方程为ax+by=0.设各点的坐标分别为:Ai(xi,y i),Q(x,y),Q j(x'j,y'j)(i=1,2L,n且1≤j≤n),则11niix=k∑=x,y=1k∑in=1yi,'1j1(ni j)ix=k∑=x?x,y'j=…     

一道清华大学能力测试题的探究

一、试题呈现已知椭圆M:x 2 a 2+y 2 b 2=1 a>b>0,右焦点为F,与直线y=377相交于P,Q两点,椭圆M经过点0,3,且PF⊥QF.(1)求椭圆M的方程;(2)设O为坐标原点,A,B,C是椭圆上不同的三点,并且O为△ABC的重心,试求△ABC的面积.     

平面闭折线k号心的几个性质

本文约定:(i)符号()An表示任意一条平面闭折线1231nAAAAAL;(ii)从()An的n个顶点中,任意除去两个顶点jA和mA(1jm相似文献   

三角形垂心坐标公式应用二三例

以△ABC外心O为原点建立坐标系,R为外接圆半径,则顶点坐标可设为 A(Rcosα,Rsinα), B(Rcosβ,Rsinβ), C(Rcosγ,Rsinγ). 设H(k,l)为△ABC垂心,则可以证明例1.(欧拉定理)试证△ABC的外心O、垂心G和垂心H共线.     

欧拉线的推广及其他

定理：点P是△ABC所在平面上任意一点,M1、M2、M3分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点,G是△ABC的重心,过M1、M2、M3分别做PA、PB、PC的平行线l1、l2、l3,如图1所示,则l1、l2、l3共点于Q,且P、Q、G三点共线．（推广欧拉线）     

对一道高考创新题的探究

2005年湖南省高考(理科)第10题:设P是△ABC内任意一点,S△ABC表示△ABC的面积,定义f(P)=(λ1,λ2,λ3),若G是△ABC的重心, f(Q)=(1/2,1/3,1/6),则 (A)点Q在△GAB内; (B)点Q在△GBC内; (C)点Q在△GCA内; (D)点Q与G重合． 1.命题思路探究     

六谈圆内接闭折线垂心的性质

关于圆内接闭折线垂心的性质,我们已作过多次探讨(见拙文[1]～[2]),这里再作点补充.为此,先建立如下概念: 定义1 在△OMN所在的平面内,以顶点O为原点建立直角坐标系xOy,设顶点M和N的坐标分别为(,)MMxy和(,)NNxy,那么式子 1()2MNNMxyxy- 的值称为△OMN的有向面积,记作OMND, 即 1()2MNNMOMNxyxyD=-. 定义2 △OMN的有向面积的绝对值称为△OMN的面积,记作'OMND,即 D'||OMNOMN=D. 容易验证(这里从略):按上述定义确定的三角形面积,与平面几何里所说的面积是完全一致的. △OMN的方向规定为 OMNO,当这个方向为逆时针…     

三角形界心、重心、和“切心”的共同性质

设G为△ABC的重心，AD，BE，CF为中线，则GA/DA＋GB/ED＋GC/FC=∑GA/CA=2．事实上，不仅重心有此性质，界心、“切心”（设△ABC内切圆⊙I切BC，CA，AB于点A＇，B＇，C’，则AA’，BB’，CC’交于Q，可叫做“切心”）也有此性质：     

一道高考题的六面观(高二、高三)

题设动点P在直线x=1上,O为坐标原点.以OP为直角边,点O为直角顶点作等腰直角△OPQ,则动点Q的轨迹是( ) (A)圆. (B)两条平行直线.     

一道平面几何题的推广

《数学通报》2003(4)数学问题1426题目为:AN为△ABC的角平分线,AN延长线交△ABC的外接圆于,DM是AN上一点,直线BM、CM分别交△ABC的外接圆于E、F,DF交AB于P,DE交AC于Q,求证:P、Q、M三点共线. 笔者在用几何画板作图时,发现当N点在线段BC上运动时,P、Q、M三点均共线,当M在线段AD上运动时,结论依然成立,因此笔者对该问题作如下推广: 定理 △ABC中,点N是BC边上一点(除端点B、C外),AN的延长线交△ABC的外接圆于D,M是线段AD上一点,直线BM、CM分别交△ABC的外接圆于E、F,直线DF交直线AB于P,直线DE交直线AC于Q,则P…     

三角形重心的两个优美结论与推广应用

<正>一、问题呈现在高三数学复习资料和高考摸拟考试中,经常出现与下列两题相类似的题目:问题1~([1][2])经过△OAB的重心G的直线与两边OA、OB分别相交于点P、Q.设■,m、n∈R,求■的值.问题2已知点G为△ABC的重心,过点G的直线与两边AB、AC分别相交于点P、Q.若■,则当ABC与△APQ的面积之比为~(20)9时,实数λ的值为.     

一道2011年江苏高考试题的另一个思维视角的探究

(2011年江苏卷8)在平面直角坐标系xOy中,过坐标原点的一条直线与函数f(x)=2x的图象交于P、Q两点,则线段PQ长的最小值是.解:P、Q两点关于原点O对称,不妨设P(m,n)为第一象限中的点,则m>0,n>0,n=2m,所以|PQ|2=4|OP|2=4(m2+n2)=4(m2+4m2)≥16(当且仅当m2=44m2,即m=2时取等号)故线段PQ的长的最小值是4.本题上述解法主要考查函数、基本不等式性质等基础知识,换一个思维视角,实际上函数y=2x即xy=     

在特定坐标系中证明若干不等式

如图,△ABC内切圆的圆心为I,以点D作为坐标原点,DI、DC所在直线分别为纵轴、横轴建立平面直角坐标系D-xy。在坐标系D-xy中,不失一般,设△ABC的内切圆半径r=1,则I(0,1)。为了方便,约定用z表示1/2 z的余切,即z=ctgz/2。在△ABC中,     

利用外心重心重合性质解题

一、利用正三角形的外心和重心重合解题大家知道,正三角形的外心和重心是重合的,那么它的逆命题是否成立呢?回答是肯定的。即:△ABC的外心和重心重合,则△ABC为正三角形。证明:设G是△ABC的外心,连AG并延长交BC于M∵ △ABC的外心和重心重合∴ G也是△ABC的重心∴ M是BC的重心又∵ G是外心∴ GM⊥BC∴ AM⊥BC∴ AB=AC同理可证,AB=BC∴ △ABC是正三角形利用正三角形的这两个性质,可以顺利地解决一些较难的三角题.     

解析“动三角形”问题

三角形的旋转、折叠、移动、对称问题成了近年来各地中考试题中的一道亮丽风景.这类题形式多样,需要采用数形结合的方法,并通过观察、操作、猜想、推理、计算等一系列数学探索活动才能获得解决.一、转1.平面上的旋转例1(济南市)如图1,在直角坐标系中,△ABC各顶点坐标分别为A(0,3√),B(-1,0),C(1,0),若△DEF各顶点坐标分别为D(3√,0),E(0,1),F(0,-1),则下列判断正确的是().xy(A)△DEF由△ABC绕O点顺时针旋转90°得到(B)△DEF由△ABC绕O点逆时针旋转90°得到(C)△DEF由△ABC绕O点顺时针旋转60°得到(D)△DEF由△ABC绕O点顺…     

正三角形共点线定理的再探究

文[1]用解析法证明了正三角形的一个共点线性质,这个性质如下:定理如图1,平面上任意一点P关于同一平面内的一个正三角形的三个顶点的对称点与该顶点的对边中点连线共点.我经过探究发现定理中的正三角形条件是多余的,该定理对任意三角形都成立,并且还得到一组共线点,即有定理如图2所示,设△ABC是任意三角形,△ABC的重心为G,P是△ABC所在平面内任意一点,P点关于△ABC的顶点A、B、C的对称点     

一道有趣的求轨迹题

命题:已知圆方程为x~2 y~2=4,△ABC是圆的内接三角形,A点坐标为（2,0）,B、C在圆上,若∠BAC恒为π/3,求△ABC的重心轨迹方程。 本题解法较多,但运用平几知识,数形结合去解却十分简捷。 解 （如图）设M（x_0,y_0）是BC的中点,G（x,y）为△ABC的重心。 连OB、OC、OM,则     

重心垂足三角形的一个性质

过三角形的重心向其三边引垂线，三个垂足构成的三角形叫做该三角形关于其重心的垂足三角形．重心垂足三角形有下列有趣结果：设θ是△ABC的内切圆半径，r’是△ABC关于其重心G的垂足三角形A'B'C'的内切圆半径．则r'等号当且仅当为正三角形时成立为证明这一结果，需用到以下事实：设△ABC的三个内角A，B，C所对应的边长为a、b、c，对应的中线长为等号当且仅当△ABC为正三角形时成立；号当且仅当△ABC为正三角形时成立．上述结论的证明是简单的，这里从略．证明如右图所示G是△ABC的重关于点G的垂足三角形，设（利用结论2）（利用…