利用向量解平面几何问题

用向量解决平面几何问题 ,首先是在图形中选出一对不平行的有向线段 ,设为ａ、ｂ ,则平面内的其他有向线段均可用ａ、ｂ惟一表示 ,即ＡＢ =ｐａ +ｑｂ .有序实数对 (ｐ ,ｑ)可看成ＡＢ的“坐标” ,这里近似于复数 ,但它的优点在于直观性 ,ａ、ｂ可以是不互相垂直 ,同时起始点可以任意选定 ,从而对于解决几何问题有着较大的自由度 .本文仅就两个方面说明它的价值 .　　一、证明三点共线定理 1　Ａ、Ｂ、Ｃ为平面上不重合的三点 ,则Ａ、Ｂ、Ｃ三点共线 ＡＢ∥ＡＣ 存在实数λ,使ＡＢ =λＡＣ .定理 2　ａ∥\ｂλａ + μｂ =0 λ + μ =0 .图 …     

巧用韦达定理和判别式解平面几何题

在数学竞赛中,平面几何题占有相当的比例,而且都有一定难度,往往使人难以下手.其中有些题目如能借助辅助方程,巧用韦达定理和判别式来处理,则显得简捷明快.这里取几例加以说明,可作为初中生学科小组的参考资料,对学生也许是有裨益的.     

利用判别式解竞赛题

一元二次方程根的判别式除了能判断方程根的情况外,还有很多作用,在竞赛中的应用也很广泛,以下就几道竞赛题谈一谈判别式的一些用法．     

利用平面几何知识巧解几何问题

解析几何是用代数方法解决几何问题,它省去了平面几何的逻辑推理,降低了解题难度,但有时运算量较大．在解题中容易出现计算方面的错误．由于解析几何问题与几何图形有着极密切的联系,因此在求解某些几何问题时,若能注意结合图形特征,联想平面几何知识,巧妙地运用有关的平面几何性质,则可避免冗长的推导和运算,大大降低难度,使解题过程简捷而明了,获得事半功倍的解题效果．     

利用判别式解几何题

判别式定理在初中数学中的应用很广泛,一些几何问题可以通过构造一元二次方程,利用判别式的性质来解决。本文举数例说明。 例1 矩形ABCD中,AB=5,AD=8,在AB、AD上各取点Q、P,使PQ=3.求五边形PQBCO面积的最小值。解:设AP=x,AQ=y,△APQ的面积为S,x/y=t∵PQ=3,∴x~2 y~2=9.则S=1/2xy=去分母,得2st-9t 2s=0,∵t为实数,∴△=81-16s~2≥0,解得S≤9/4. ∴五边形PQBCD面积的最小值是5×8-9/4=151/4.     

利用判别式解二次三项式分解问题

在初二代数中,十字相乘法能对某些二次三项式进行分解因式,这类问题中有一些涉及到“换元”的综合性题目,这就需要连续使用十字相乘法。     

巧用判别式解圆锥曲线问题

解析几何综合题是高考命题的热点内容之一.它们常常以解析几何知识为载体,综合函数、数列、向量、不等式、三角等知识,所涉及的知识点较多,对解题能力考查的层次要求较高,考生在解答时,往往表现为无从下手,或者半途而废.而事实上,这类问题总是与“判别式”有着不解之缘,因此研究判别式在圆锥曲线问题中的巧妙应用,能更好地引导学生掌握好圆锥曲线问题。一、利用判别式解决直线和圆锥曲线的位置关系问题     

巧用判别式解物理问题

应用数学知识处理物理问题的能力是高考所要考核的五大能力之一.在教学实践中常常发现,有些学生能根据题意,运用物理知识列出式子,但是难以有效地运用数学工具,得出正确的结果.这说明这部分学生运用数学知识的能力是比较差的.因此,在教学中,有针对性地进行数学知识应用方面的训练,尤为必要.下面是我在教学中训练学生应用判别式的一些例子.     

利用三角法解平面几何题

三角法是代数法的一种.在解题过程中,先利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角函数公式等将几何中的线段、角的关系表示成代数形式,再通过三角运算解决几何问题,既可以使平面几何中复杂的量与量之间的关系变得简单明了,又可以将复杂的演绎推理转化为三角运算,思路清晰.     

应用位似变换解平面几何问题

位似变换在证题、求轨迹、解作图题几方面都有广泛的应用。在平面几何教学或指导学生课外活动中,向学生介绍位似变换的应用对丰富、开阔学生的解题思路是大有裨益的。我们首先介绍一些有关位似变换的基本知识。     

复数法解平面几何问题

复平面的建立实现了几何与复数问题问的转化，因此，可以利用复数法巧解一些几何问题，而复数及其运算的几何意义常是解决这类问题的有力工具．     

注意平面几何问题漏解

在求解一些未给定几何图形问题时 ,一些同学常常因考虑不当或受思维定势的影响等 ,导致问题的漏解 ,兹举例分析如下 ,以引起注意。例 1　等腰三角形有　　条对称轴。解 :1条分析 :只考虑到了腰与底边不等的等腰三角形 ,忽视了腰与底边相等 (等边三角形 )的情形。图 2正确应是 1条或 3条。例 2　已知直角三角形的两边长为 3和 4,求第三边的长。解 :设第三边长为ｘ ,由勾股定理得 32 + 4 2 =ｘ2 ,∴ｘ =5故第三边的长为 5。分析 :上过角法只考虑到了 3和 4充当两条直角边 ,没考虑到 4也可图 1以充当斜边的情形。7。此时 ,ｘ2 + 32 =42 ,ｘ =7…     

利用一元二次方程的判别式解几何题

“△=b^2-4ac”是用于判断一元二次方程有无实根的一个关系式,在初中数学中它不仅应用于解决代数问题,而且在解决几何问题中,往往也会有意想不到的效果．现举例如下：     

利用判别式，巧解联赛题

若一元二次方程ax^2＋bx＋c=0（a≠0）的判别式△=b^2-4ac≥0,则方程有两个实根,反之也成立,利用此结论可解决一些联赛试题．     

灵活利用平面几何知识 用几何法解轨迹问题

轨迹问题是解析几何的基本问题之一，是高考解析几何问题考查的重点内容．求轨迹方程的常用方法有：直译法、几何法、代入法、参数法等．对于一些轨迹问题，如果灵活利用平面几何知识，用几何法解决，要比用其他方法简洁明快，构思更加巧妙．     

判别式问题中的错解剖析

在解与实数相关的问题时,常常用到一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2-4ac,这里谈谈判别式的具体应用中的一些错解。一、待定系数的求值问题例1.已知关于x的方程x2-mx-n=0的两根的积比两根之和的2倍小12,并且两根的平方和为22,求m,n的值。错解:设两根分别为x1、x2则x1+x2=m,x1x2=-n依题意,得2(x1+x2)-x1x2=12x21+x22=2 2即2m+n=12m2+2n=2 2解得m1=7n1=-272 或m2=-3n2=132 分析:∵方程有两根,∴△≥0即m2+4n≥0,但m1=7,n1=-272时,△<0。不合题意,应舍去。当m2=-3,n2=132时△>0∴m=-3,n=132例2.已知一元二次方…     

利用面积相等巧解平面几何题

同学们在处理平面几何的问题时，往往遇到有些题目，利用常规思路很难做，即使有些题目做出来了，步骤也很复杂，而往往利用面积相等来解，可使复杂的问题变得简单，起到意想不到的效果．下面就举几例来说明利用面积相等在解几何题中的妙用．     

利用旋转作辅助线解平面几何竞赛题

(本讲适合初中)一个图形绕某点转动一个角度称为旋转变换.利用旋转变换的思想作辅助线大体有三个方面的作用:一是将几何图形中彼此孤立的线段或角绕某点旋转后,使其之间的数量关系或大小关系明朗化;二是将几何图形中的某个图形(或三角形,或四边形等)绕某点旋转后,使复杂问题简单化;三是能够从整体把握多条辅助线的作法.本文结合具体例题述之.     

探讨判别式在平面几何题中的运用

实系数一元二次方程 ax2 + bx+ c=0 ( a≠ 0 )的判别式 Δ=b2 - 4ac是中学数学中的基本内容 ,它在代数和几何中都有着广泛的应用 .下面让我们举些实例 ,说明判别式在解一类平面几何题中的应用 ,以供同行交流参考 .1　判别三角形形状例 1　设△ABC的三边为 a,b,c,并满足 b+ c=4 ,bc=a2 - 6 a+ 1 3,试问△ ABC是什么三角形 ?并证明你的结论 .解　由题意得 b,c是一元二次方程 x2 -4x+ ( a2 - 6 a+ 1 3) =0的两个实数根 ,∴Δ =4 2 - 4( a2 - 6 a+ 1 3)=- 4( a- 3) 2 ≥ 0 .∴ a=3,代入方程得 x2 - 4x+ 4 =0 .∴△ ABC为等腰三角形 .例 2　…