聚焦“焦点三角形”

椭圆(或双曲线)上任意一点与两焦点的连线构成的三角形常称之为焦点三角形．与焦点三角形有关的问题主要考查学生运用知识的能力，是重点和难点，也是近年的考点和热点．处理焦点三角形问题，经常要应用曲线定义、正(余)弦定理、解三角形、焦点半径公式等．为了对这类问题有一个整体认     

对焦点三角形"五心"轨迹方程的进一步探究

文[1]以椭圆为例探究了其焦点三角形“五心”的轨迹方程,受此启发,笔者进一步研究了双曲线焦点三角形并给出了其“五心”的轨迹方程和详细证明．     

魅力无限的焦点三角形

与焦点三角形有关的问题在双曲线中经常出现,常考题型是求离心率、角度、面积、最值、焦点弦、距离等问题。解题时一般用到定义、正弦定理或余弦定理,也涉及三个基本量间的关系,故要仔细审题,选准解题方法。     

焦点三角形内心和旁心轨迹

笔者最近对椭圆和双曲线焦点三角形做了些研究 ,得到了两个十分有趣的重要的轨迹 ,现说明如下 ,供读者参考 .定义　以椭圆或双曲线上一点和两焦点组成的三角形叫焦点三角形 .1　椭圆焦点三角形内心轨迹定理 1　设P是椭圆b2 x2 +a2 y2 =a2 b2 (a >b >0 )上的一点 ,E( -c,0 )、F(c,0 )分别是左、右焦点 ,e是椭圆的离心率 ,则△PEF的内心轨迹是椭圆 x2c2 +y2( eb1 +e) 2=1 ,且该椭圆长轴与原椭圆长轴之比等于原椭圆的离心率e.证明 :设A (x ,y)是△PEF的内心 ,PA交x轴于点B ,如图1 .由三角形内角平分线性质知|BA||AP|=|EB||EP|=|FB||F…     

有关焦点三角形问题的解题通法

圆锥曲线的定义是其标准方程和几何性质的的基础,由圆锥曲线上一点和它的两个焦点所构成的三角形经常被作为问题的背景,用来对圆锥曲线的方程和性质进行考查.抓住圆锥曲线的定义是解这类问题的关键.     

浅析圆锥曲线的焦点三角形问题

椭圆、双曲线的焦点三角形的两个顶点是焦点,第三个顶点在圆锥曲线上,故称之为焦点三角形。圆锥曲线焦点三角形问题,涉及几何、向量、三角、函数等多领域的知识与方法,综合性强﹑思维强度高,是圆锥曲线知识的重点与难点,这类问题全方位反映焦点三角形问题的几何特征,一般考查周长、离心率、面积,最值等问题。在解决和焦点三角形有关的问题时,要注意椭圆、双曲线定义的运用,另外注意三角形中正弦定理、余弦定理及三角形面积公式等知识的运用。     

焦点三角形内心和旁心性质

圆锥曲线上一点和两焦点组成的三角形叫焦点三角形．它是一个引人注目的三角形．椭圆焦点三角形的内心和双曲线焦点三角形的旁心有如下的重要性质．     

椭圆、双曲线焦点三角形的一个性质

文[1]、[2]研究了椭圆和双曲线焦点三角形的一些性质，本文给出椭圆和双曲线焦点三角形的另一个性质．     

椭圆、双曲线焦点三角形的一个性质

文[1],[2]研究了椭圆和双曲线焦点三角形的一些性质,本文给出椭圆和双曲线焦点三角形的另一个性质.     

注意发挥圆锥曲线统一定义在解题中的作用

我们知道，椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线．它们表示到定点F(焦点)的距离与到定直线l(准线)的距离的比是一个常数e(离心率)的动点的轨迹．当0&;lt;e&;lt;1时，动点的轨迹是椭圆；当e&;gt;1时，动点的轨迹是双曲线；当e=1时，动点的轨迹是抛物线．这样的统一定义有利于学生全面理解它们的共性和区别；而且在我们把准线方程，离心率公式，焦点坐标联系起来考查曲线性质时，会给某些问题的解决带来方便．     

椭圆与双曲线焦点三角形的性质

所谓焦点三角形，就是圆锥曲线的两个焦点F1，F2与圆锥曲线上的任意一点P，组成的三角形．它在圆锥曲线中有着重要的地位．下面分椭圆与双曲线两部分进行探讨．     

应用椭圆中的焦点三角形为直角三角形解题

本文中的焦点三角形指椭圆或双曲线上一点P与两焦点F 1,F 2所组成的△PF 1F 2.关于焦点三角形的面积及内切圆的性质,已在拙文《浅议焦点三角形的内切圆》(《高中数理化》2016年第11期)及《浅议焦点三角形的面积》(《中小学数学(高中版)》2016年第11期)中做了相应的研究.本文仅讨论当椭圆中的焦点三角形为直角三角形时,直角顶点在哪儿,需要满足什么条件,并通过历届高考题对这一知识点的考查,得出一个一般性结论.     

椭圆、双曲线焦点三角形的性质及应用

设F1，F2为椭圆或双曲线的两个焦点，P是椭圆或双曲线上一点(长轴或实轴端点除外)，则称△PF1F2为此椭圆或双曲线的焦点三角形．     

例谈圆锥曲线中的“焦点三角形”及相关计算

一个顶点在椭圆(双曲线)上,另两个顶点为椭圆(双曲线)焦点的三角形叫椭圆(双曲线)的焦点三角形.与焦点三角形有关的问题可以综合地考查三角形中的正(余)弦定理、内角和定理、面积公式及圆锥曲线的定义和标准方程等知识,因此很有必要对椭圆(双曲线)的焦点三角形进行系统地研究.     

焦点三角形内（旁）切圆的又一个性质

在圆锥曲线中,焦点三角形引人注目,它的面积是一个非常重要的几何量,值得我们深入探究.为此,文[1]介绍了焦点三角形内(旁)切圆的两个性质与应用,在它的启示下,笔者也对其作了点探究,又得到了一个性质,现论述如下,与读者共赏.     

椭圆双曲线焦点三角形的若干对偶性质——兼证法探微

定义以椭圆 x~2/a~2 y~2/b~2=1(a>b>0)(1)的两个焦点 F_1(-c,0)、F_2(c,0)(c=(a~2-b~2)~(1/2))及椭圆上任意一点 P(但不是长轴顶点)为顶点的△F_1PF_2,叫做椭圆的焦点三角形;以双曲线 x~2/a~2-y~2/b~2=1(a>0,b>0)(2)的两个焦点F_1(-c,0)、F_2(c,0)(c=(a~2 b~2)~(1/2))及双曲线上任意一点 P(但不是双曲线顶点)为顶点的△F_1PF_2,叫做双曲线的焦点三角形(由对称性,本文姑且设 P 在双曲线的右支上).     

焦点三角形的向量性质与应用

椭圆、双曲线上一点与其两焦点组成的三角形叫做焦点三角形,本文介绍焦点三角形面积的向量性质,供读者参考．     

与三角形内切圆有关的圆锥曲线问题

1．利用内心是角分线交点 例1已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1（a〉0,b〉0）的左、右焦点分别为F1,F2,点O为坐标原点,点P在双曲线右支上,△PF1F2内切圆的圆心为Q,圆Q与x轴相切于点A,过F2作直线PQ的垂线,垂足为B,求｜OB｜.     

椭圆中两个特殊三角形的性质及应用

定义1 椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形． 定义2 椭圆上任意一点与两组对应顶点所构成的三角形称为顶点三角形． 本文给出上述两个三角形与离心率e之间关系的几条性质，并例举性质的应用．