这道综合练习题妥当吗?

有些初中复习资料刊载这样一道综合练习题:“已知:1/a+1/b=1/(a+b)。上述解题过程似乎正确,但我认为书中的这道综合练习题给初中学生做是欠妥的。大家知道,初中学生只学过实数而没有学过复数,所以此题中的 a、b 只能在实数范围内     

这样的一节课算成功吗？

笔者在讲解普通高中数学课程标准实验教科书（必修五）中的“基本不等式的应用”这一节中,有一道课后练习题（96页第13题）如下： 【例1】已知正数x,y,满足x＋2y=1,求1/x＋1/y的最小值．     

多角度思考一道预赛题

<正>2017年全国高中数学联赛辽宁省预赛中有这样一道题:如果对任意非负整数n,cos 2ⁿα<-1/3,求实数α。命题组提供的解法,其基本思路是先用数学归纳法证明:对任意非负整数n,有|cos 2ⁿα+1/2|≥(5/3)ⁿ|cos α+1/2|。(1)其次,由已知得-1/2≤cos 2ⁿα+1/2<1/6,从而|cos 2ⁿα+1/2|≤1/2(n∈N)。     

“或”型不等式恒成立问题的错因及解法策略

1问题提出 在我校的一次考试中有这样一道题：已知关于x的不等式｜2x-a｜〉x-1对任意x∈[0,2]恒成立,求实数a的取值范围．     

一道中考求值题的三种解法

广东省2004年中考数学试卷第20题:已知实数a、b分别满足a~2+2a=2,b~2+2b=2,求1/a+1/b的值.这是一道考查考生掌握一元二次方根的定义、解法,根与系数的关系以及分类思想、整体思想等情况的好题.现给出以下三种解法,供参考.     

2014年日本数学奥林匹克不等式试题的推广

已知a/1+9bc+k(b-c)2+b/1+9ca+k(c-a)2+c/1+9ab+k(a-b)2 ≥1/2①,对满足a+b+c=1的所有非负实数a,b,c都成立,求实数k的最大值. 这是2014年日本数学奥林匹克高中决赛第5题,在式①中,令a=b=1/2,c=0,可得k≤4.关于该题的解答,可参考文[1],此处笔者拟给出式①的一个推广.     

配置对偶式证一道竞赛题

题证明：对任意实数a＞1，b＞1有不（第26届独联体数学奥林匹克试题）．该题形式很简单，但证明有困难．《中学数学月刊）｝（1999．11）用添加项法给出了一种优美的证明，现笔者运用配置对偶式再证如下．．’．P＞Q＞8，即尸＞8当且仅当a一b—2时，等号成立．配置对偶式证一道竞赛题@杜春来!江苏仪征 211900     

绝对值的意义及应用

一、有关绝对值的主要内容１．绝对值的代数定义：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．２．绝对值的几何定义：在数轴上表示一个数的点离开原点的距离，叫做这个数的绝对值．３．绝对值的主要性质：（１）代数定义表达式：（２）一个实数的绝对值是一个非负数，即｜ａ｜≥０．因此，在实数范围内，绝对值最小的数是零．（３）任何实数都有唯一绝对值，并且任何一个实数都不大于它的绝对值，即ａ≤｜ａ｜．（４）两个相反数的绝对值相等．二、有关绝对值知识的应用１．如果根据已知条件或题目中的…     

对一道不等式证明题的探究

题目 已知正实数a,b满足a＋b=1,求证（a＋2）^2＋（b＋2）^2≥25/2. 该题是一道典型的不等式证明题,用最基本的比差法,综合法、分析法、反证法易证．现证明如下：     

一道复数题的别证

已知z =1，求证这是一道常见的复数题．今给出一个有别于常见的证法．证设z，1/z在复平面上所对应的向量分别是OA、OB又设argz=a，则arg=2π-a.又设z 1/z对应的向量为OC.当a=kπ/2时（k＝0，l，2，3），所证结论可直接核对是正确的．当a是钝角时，其证法跟a是锐角时类似，因此下面就a为锐角的情形给出证明．观察示图中．在□OACB中有：在△OAB中、由余弦定理得代入（1）式，求得由此解出一道复数题的别证@沈建平$苏州市八中     

实数的绝对值

实数的绝对值，是一个极其重要的数学概念．课本上参照有理数的绝对值意义给出实数绝对值的意义：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．掌握好实数绝对值的意义是至关重要的，为此，我们必须深入学习与之有关的问题．一、会求具体实数的绝对值请同学们完成下列练习：二、已知某数的绝对值，会求这个数例１（１）已知｜ａ｜＝，求ａ．（２）已知｜－ａ２｜＝（－３）２，求ａ．解（１）求ａ．（２）由＝（－３）２得＝９，即ａ２一９，“．ａ一土３．例２已知卜一Ｘ【一手，求Ｘ．ｎｇ“．”ｌ＋Ｍ…     

一道IMO备选题的几个新证法

第31届IMO中有这样一道备选题：设a，b，c，d是满足ab bc cd da=1的非负实数,求证近几年来．中学数学刊物上经常介绍这一选题的各种证法（参阅本刊93年第11期P37），本文将给出它的几个新证法．为了行文方便，我们记待证式左端为I，令a b c d=e、a2 b2 c2 d2=E证1利用柯西不等式，证2利用二元均值不等式．四式相加，得证3利用配方法．证4利用基本不等式a2 b2≥2ab（a、b∈R）的变形：a（a-b)≥b(a-b）等号当且仅当a=b时成立．一道IMO备选题的几个新证法@王福楠$昆山市正仪中学…     

关于一道典型不等式证明题的思考

问题已知a>0、b>0,求证(a b)(1/a 1/b)≥4.这是基本不等式的应用中一道非常典型的例题,同时也倍受各类考试命题者的青睐.从表面上看,该例题仅仅是基本不等式的简单运用,即通过展开不等式的左边,进而满足基本不等式得出最终解.从它的推广价值上看,又蕴涵着求最值重要的思想方法,即通过变式获取求最值的典型算法:“1”的附乘.一般地,对本题的关注有2个层次:直接运用它的证明算法;借用它的形式特征.下面谈谈本人的一点体会,供同学们参考.1直接运用解决问题例1已知不等式(x y)(1x ya)≥9对任意正实数x、y恒成立,则正实数a的最小值为().A2不;等…     

一道几何概型习题的探究和疑惑

在人教A版的《普通高中课程标准实验教科书数学必修三教师教学用书》第三章的自我检测题中有这样一道填空题:在区间(0,1)中随机地取出两个数,则两数之和小于6/5的概率是__.分析选取一个实数是随机的,可以是(0,1)中的任何一个实数,并且是等可能的,即服从(0,1)上的均匀分布.在题设的条件下这是一个几何概型,问题是Q和A各是什么?学生给出了两种解法:解法1在区间(O,1)内的数有无数个,因此从中     

数的开方自测题

一、判断题：1．2是4的平方根．（）2．9的平方根是-3．（）3．－0．01的平方根是-0．1．（）4．5的负平方根是．（）5．－27的立方根是±3．（）6．7a2的算术平方根是a．（）8．－a没有平方根．（）二、单项选择题：1．－4的平方根是（）（A）2；（B）一动（C）士2；（D）在实数范围内不存在．2．下列各数中，没有算术平方根的是（）3．3一／5的立方根是4．下列语句中正确的是（）（A）负数没有立方根；（B）任意一个实数的平方都是正数；（C）若两个实数的立方根相等，则这两个实数相等；（D）若两个实数的平方相等，则这两个实数相等…     

一道竞赛试题的进一步探究

赛题呈现 已知a,b,c是正实数,求证:a3/c(a2 + bc) +b3/a(b2 + ca) + c3/b(c2 + ab)≥ 3/2. 这是2009年韩国数学奥林匹克竞赛的一道不等式证明题,文[1]给出了这道试题的一个证明和推广.笔者对这个结构优美、内涵丰富的齐次分式不等式再作进一步探究,供参考.     

第47届IMO预选题(中)

代数部分 1.实数列a0，a1,…定义如下：对于所有非负整数i，ai＋1=[ai]{ai}，其中，a0是任意一个实数，[ai]表示不大于ai的最大整数，{ai}=ai-[ai]．证明：对于足够大的i，有ai=ai＋2．[第一段]     

巧用类比 化解难点

有学生问了这样一道题目:题已知函数f(x)=4x+ax2-32x3(x∈R)在区间[-1,1]上单调递增.(Ⅰ)求实数a的集合A;(Ⅱ)设关于x的方程f(x)=2x+13x3的两个非零实根为x1,x2,问是否存在实数m,使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A以及t∈[-1,1]恒成立.若存在,试求出m的范围;若不存在,试说明理由.这道题主要考查集合、方程、不等式、导数函数极值等知识,以及分离系数、换元等思想方法.学生感到难以下手,主要原因是:缺乏一定的综合能力,难以熟练运用类比联想的思想将其化归为几个简单问题.因此,笔者不直接给出解答,而是设置学生熟悉的背景题,让学生在理解…     

借题发挥 关注知识的生长点——一堂课堂教学及感悟

<正>去年在如皋第一中学举行了南通市高一数学教学研讨活动.笔者有幸在教学研讨活动中上了一节公开课,课题为"含参数不等式的解法".这是一节新授课,内容源于苏教版必修5第71页的"思考·运用"中的第5题与第6题:5.(1)κ是什么实数时,方程x²+2(κ-1)x+3κ2+2(κ-1)x+3κ²-11=0有两个不相等的实数根?(2)已知不等式x2-11=0有两个不相等的实数根?(2)已知不等式x²-2x+k2-2x+k²-1>0对一切实数x恒成立,求实数κ的取值范围.6.已知不等式ax2-1>0对一切实数x恒成立,求实数κ的取值范围.6.已知不等式ax²+bx-1>0的解集是     

都是“命题”惹的祸

<正>一天,一个学生拿一道题来问我:问题1已知命题p:方程x2+mx+1=0有两个不等的负实数根;命题q:方程4x2+4 m(-2)x+1=0无实数根.若"p或q"为真命题,"p且q"为假命题,求m的取值范围.我问,你有什么问题?他说,我这个题目能够做出来,但我有个疑问,题中的p、q是命题吗?教材上说"命题是能够判断真假的语句",显然