巧用一个结论解竞赛题

结论设实数a、b满足a≥b,则对任意实数x有|x-a|+|x-b|≥a-b,当且仅当b≤x≤a时等号成立.证法1(零点分段讨论法)因为b,a分别是|x-b|和|x-a|的零点,于是分三种情况讨论:(1)当xa-b;(2)当b≤x≤a时,|x-a|+|x-b|=(a-x)+(x-b)=a-b;(3)当x>a时,|x-a|+|x-b|=(x-a)+(x-b)=(a-b)+2(x-a)>a-b.综上,对任意实数x有|x-a|+|x-b|≥a-b,当且仅当b≤x≤a时等号成立.     

运用一个结论解竞赛题

结论若a〉0,b〉0,则 a＋b≥2√ab． 证明由（√a-√b）^2≥0,得a-2√ab＋b≥0．     

利用基本图形解竞赛题

某些数学竞赛题有许多类似的形式,我们如果注意归纳、总结,挖掘试题的内涵,对于拓宽视野,扩大知识面,是很有帮助的.下面我们利用一个基本图形,来解多道较复杂的题.     

利用基本结论解立体几何竞赛题

(本讲适合高中 )文 [1 ]中提出了用基本结论解平面几何竞赛题的想法 .其实 ,这一想法用在解立体几何竞赛题时同样有效 ,特别是针对最近几年国内数学竞赛中立体几何部分以小题为主 ,只要求答案正确而不要求写出过程 (尽管有时难度不小 )的特点 ,应用基本结论更可收避免繁琐演算、简化思维过程、节约考试时间、提高答案准确率之功 ,值得一试 .1　立体几何中的一些基本结论很多人在解立体几何题中使用过基本结论 ,这里仅列出下列 1 5条 .1 .1　关于体积的基本结论结论 1　棱柱的侧面积等于侧棱长与直截面周长之积 ,体积等于侧棱长与直截面面积…     

利用基本图形解竞赛题

某些平面几何竞赛题，它们有类似的形式．我们如果注意归纳、类比、总结，挖掘试题的内涵，对于拓宽学生的视野和知识面，是有一定帮助的．下面我们试图利用一个基本图形，来解决众多的几何问题．     

一个基本图形及其结论的应用

华师大版初一年级(七年级)数学课本下册第53页有一幅如图1所示的四边形.对于这一基本图形,我们有如下结论: 如图1,在凹四边形ABDC中,∠BDC=∠A ∠B ∠C. 探索这一结论成立的方法很多,现给出两种常见方法: 方法一:连结AD并延长至E,则有∠BDE=∠BAD     

用一个结论解两道竞赛题

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用一个结论巧解两道竞赛题

结论：若a＋b＋c=0,则b^2-4ac≥10． 证明：当a=0时,结论显然成立;当a≠0时,构造关于x的一元二次方程ax^2＋bx＋c=0,因为a＋b＋c=0,所以这个方程必有实数根1,从而判别式b^2-4ac≥0．     

一个基本图形与若干数学竞赛题

如图过△ABC内任一点O分别引MN∥BC,PQ∥CA,RS∥AB。这是一个结构齐整,和谐匀称的几何基本图形,《几何》第一册205页的题30首次出现了它的特例,近几年来国内外数学竞赛中又曾先后多次以它为模型编拟了种种试题。因此,研究这个图形的基本性质对提高学生的解题能力,发展智力无疑是一项有益的工作,尤其是能使学生感受到这个图形的结构与结论的和谐美,对称美。显然,三条直线MN、PQ、RS将△ABC剖分     

一个立方公式在解竞赛题中的应用

本文证明一个立方公式,通过这个公式能使一些涉及立方的问题得到轻松的解决.这个公式是:     

一个立方公式在解竞赛题中的应用

本文证明一个立方公式 ,通过这个公式能使一些涉及立方的问题得到轻松的解决 .这个公式是 :a3 b3 c3-abc=(a b c) (a2 b2 c2 -ab-bc-ca) . ①证明　由立方和公式a3 b3=(a b) (a2 -ab b2 )以及和的立方公式 (a b) 3=a3 b3 3ab· (a b) ,则a3 b3 c3- 3abc=(a b) 3 c3- 3ab(a b) - 3abc=(a b c) [(a b) 2 - (a b) ·c c2 ]- 3ab(a b c)=(a b c) [(a b) 2 - (a b)·c c2 - 3ab]=(a b c) (a2 b2 2ab-ac -bc c2 - 3ab)=(a b c) (a2 b2 c2 -ab -bc-ca)公式①是一个十分重要的公式 ,在①中 ,若a b c=0 ,则有a3 b3 c3=3abc. ②以下举…     

一个基本图形在解题中的应用

下面的引例是1989－1990学年度广州、武汉等五市初中数学联赛的一道试题：引例如图的面积分别为则四边形BFED的面积为此题实质上就是求面积之间的关系．我们不妨先求出它们之间的一般性的结论．的面积分别为同理可得这样，即可得引例的解可以看到，本题的图形是一个有趣的基本图形，而式是这个基本图形中一个奇妙的结论，运用它可以简捷地解决某些竞赛题．首先用它来解一些有关的计算题．例1如图，在△ABC的内部选取一点P，过P点作三条分别与△ABC的三边平行的直线，这样所得的三个三角形t_1，t_2和t_3的面积分别为4，9和49，求△ABC…     

由一个基本图形导出的重要结论

初中《几何》中有这样一个基本图形:如图1,D是AB上一点,E是AC上一点,BE、CD相交于点F.由这个基本图形我们可以得到这样的结论:∠BFC=∠B ∠A ∠C.证明这一结论成立的方法很多,现给出两种常见方法:方法一:连结AF并延长到M,则有∠BFM=∠B ∠BAM,∠CFM=∠C ∠CAM,∴∠BFC=∠BFM ∠CFM=∠B ∠BAC ∠C.方法二:由∠BFC=∠B ∠BDC,∠BDC=∠A ∠C,有∠BFC=∠B ∠A ∠C.图1及上述结论在解题中有着广泛的应用.现举几例说明.例1如图2,求∠A ∠B ∠C ∠D ∠E的度数.解:如图2,设BD与CE交于点F,由本文中基本图形导出的结论…     

一个例题图形结论的应用

在几何教学中,教师如果能利用课上的例题的图形,引导学生仔细分析条件与结论的内在联系,使他们熟悉几何图形的性质,这样,他们在解(证)几何题时,就容易联想熟悉的几何图形,有目的添出辅助线,利用图形的结论去探索解题     

一个相似基本图形在中考题中的应用

<正>一、原题呈现(2012凉山洲)如图1,在矩形ABCD中,AB=6,AD=12,点E在AD边上,且AE=8,EF⊥BE交CD于F.(1)求证:△ABE∽△DEF;(2)求EF的长.解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形∴∠D=∠A=90°∴∠EBA+∠AEB=90°∵EF⊥BE,即∠BEF=90°∴∠DEF+∠AEB=90°∴∠DEF=∠EBA(同为∠AEB的余角)     

利用特殊图形解竞赛题

有些问题直接去思考,有一定的难度,通过化归,转化为一个熟悉问题,归纳成一个简单问题去处理,就可以由繁变简,化难为易．把一个一般的数学问题特殊化以后,使得该数学问题具有更多、更好的性质,从而使我们更容易地解决所给的数学问题．下面通过几例来做一些探讨：例...     

和差代换在解竞赛题中的应用

此种代换称做和差代换．和差代换是一种非常重要的解题技巧，其应用很广泛．