关于不定方程（x（x＋1））/2=y^2

本文利用Pell方程,给出了不定方程（x（x＋1））/2=y^2的一切正整数解.     

Diophantine方程a^4x（x＋1）（x＋2）（x＋3）=y（y＋1）（y＋2）（y＋3）

设a是大于1的正整数.本文运用初等数论方法证明了:方程a4x(x+1)(x+2)(x+3)=y(y+1)(y+2)(y+3)无正整数解(x,y).     

（3,n）型多项式函数方程xf^2（x）＋xg^2（x）=h^2（x）的解

讨论在复数域上,当f（x）与g（x）的次数都等于3,并且g（x）的次数不超过3时,多项式函数方程xf（x）＋xg^2（x）=h^2（x）的解的情况,得到部分结果.主要结果为：如果h（x）的次数等于1,那么这个函数方程无解;如果h（x）的次数等于2,那么这个函数方程一共有8组解;如果h（x）的次数等于3,那么h（x）的1次项系数等于零时,这个函数方程一共有24组解;当h（x）的2次项系数等于零时,但1次项系数不等于零时,这个函数方程一共有36组解.     

关于f（f（x））=x的探究

近日笔者在教学中遇到这样一道题:例题:奇函数f(x)=ax3 bx2 cx d在[1, ∞)为增函数,若x≥1时,f(x)≥1且f(f(x))=x,求f(x)(x≥1)．其给出的参考答案是这样的:解:由f(x)奇函数可得b=d=0,     

低次多行式函数方程xf~2（x）＋xg~2（x）=h~2（x）解的讨论

讨论复数域上多项式函数方程xf2（x）＋xg2（x）=h2（x）,得到这个函数方程的一些基本性质,以及当f（x）,g（x）,h（x）的次数都不超过2时,该函数方程的所有解。其解的情况如下：在复数域上,如果上述三个多项式的次数都不超过2,那么该函数方程有解当且仅当下列3个条件之一成立：（1）h（x）是零多项式;（2）f（x）,g（x）,h（x）都是1次多项式;（3）f（x）,g（x）,h（x）都是2次多项式。更进一步地,满足条件（1）的解只有1组;满足条件（2）的解一共有4组;满足条件（3）的解一共有16组。     

关于方程ψ（x）=2t

设t是正奇数，本文给出了方程ψ（x）=2t的全部正整数解x，其中ψ（x）是Euler函数。     

关于不定方程y（y＋1）（y＋2）（y＋3）=19^2k x（x＋1）（x＋2）（x＋3）

运用不定方程组的特征以及整除的性质等初等方法,证明了不定方程y（y＋1）（y＋2）（y＋3）=19^2k x（x＋1）（x＋2）（x＋3）无正整数解．     

微分方程a1（x）y’＋a2（x）y=b（x）通解再探

通过微分方程的降阶方法,揭示一阶线性方程a1(x)y' a2(x)y=b(x)通解公式的作用。     

关于不定方程x（x+d）（x+2d）（x+3d）=p2ky（y+d）（y+2d）（y+3d）

设p是素数,k为自然数,d>1为奇数。该文运用初等方法证明了不定方程x(x+d)(x+2d)(x+3d)=p2ky(y+d)(y+2d)(y+3d)没有正整数解。     

方程(x4+y4+z4)2=2(x8+y8+z8)的整数解

给出了方程(x4 y4 z4)2=2(x8 y8 z8)的所有整数解(x,y,z).     

关于丢番图方程x4+mx2y2 +ny4=z2(2)

利用 fermat无穷递降法证明了方程 x4+mx2 y2 +ny4=z2 在 (m,n) =(6 ,- 30 ) ,(- 12 ,15 6 ) ,(- 6 ,- 6 ) ,(12 ,6 0 )时均无正整数解 ,并且获得了方程在 (m ,n) =(- 6 ,± 30 ) ,(- 12 ,6 0 ) ,(12 ,- 84) ,(6 ,- 6 ) ,(12 ,15 6 )时的无穷多组正整数解的通解公式 ,从而完善了 Aubry等人的结果 .     

关于Diophantine方程x~4-py~4=2z~2

设素数p≡1(mod8),(2/p)4≠1,证明了不定方程x4-py4=2z2无正整数解(x,y)．     

关于方程φ(x)=2t

设t是正奇数.本文给出了方程φ(x)=2t的全部正整数解x,其中φ(x)是Euler函数.     

Na_(1+x)Al_xZr_(2-x)(PO_4)_3的水热合成及其导电性能

以NaZr2（PO4）3为基础,掺入Al,通过水热法合成出Na1＋xAlxZr2-x（PO4）3系列化合物。XRD研究表明：取代后的生成物保持着原结构。离子电导研究表明：化合物的离子电导性能得到改善。     

函数条件f（a＋x）=f（a－x），f（x＋a）=f（x－a）的应用

通过对函数条件f(a x)=f(a－x),f(x a)=f(x－a)的讨论，以结论的形势给出了它们所对应的函数性质，并辅以一定例子说明它们的应用。     

有理函数y=f(x)/g(x)的值域

从一道例题的错误证法出发 ,系统地讨论了有理函数值域的求法 ,得到了几个有运用价值的定理     

椭圆曲线y~2=px(x~2+64)的正整数点

设p是奇素数,讨论了椭圆曲线E:y2=px(x2+64)的正整数点.运用二次和四次Diophantine方程性质证明了:当p≡1(mod8)时,该曲线至多有三对正整数点;当p≡3(mod8)时,该曲线无整数点;当p≡7(mod8)时,该曲线至多有一对正整数点;当p≡5(mod8)时,该曲线仅当p=5时有两对正整数点(x,y)=(4,40),(16,160)和p=13时有一对正整数点(x,y)=(144,6240).     

关于不定方程x^2＋64=4y^13的解

利用代数数论的方法,证明了不定方程x^2＋64=4y^13无整数解.     

关于丢番图方程x4+mx2y2+ny4=z2

利用数论方法及Fermat无穷递降法 ,证明了丢番图方程x4 mx2 y2 ny4 =z2 在 (m ,n) =(± 6,-3 ) ,(6,3 ) ,(± 3 ,3 ) ,(-12 ,2 4) ,(± 12 ,-2 4) ,(± 6,15 ) ,(-6,-15 ) ,(3 ,6)仅有平凡整数解 ,并且获得了方程在 (-6,3 ) ,(12 ,2 4) ,(3 ,-6) ,(-6,3 3 )时的无穷多组正整数解的通解公式 ,从而完善了Aubry等人的结果