关于锐角三角形内任一点的一个不等式

定理设P是锐角△ABC内部的任意一点,△ABC、△BPC、△CPA、△APB的面积分别为△、△a、△b、△c、;△ABC的外接圆半径为R;PA=Ra,PB=Rb,PC=Rc,则有 Σ△aRa≤△·R (1) 等号成立当且仅当△ABC是正三角形且P是△ABC的中心. 其中Σ表示循环和,下同. 为证明定理,需要下面的 引理 1P为锐角△ABC内部的任意一点,PD⊥BC于D,PE⊥CA于E,PF⊥AB于F,垂足△DEF的面积为△p,则有     

一个有趣的几何不等式

《数学通报》2003年第4期数学问题1429[1]是: 设O是锐角△ABC的外心,R、1R、2R、3R分别是△ABC、△OBC、△OCA、△OAB的外接圆的半径.求证:1233RRRR?+. 当且仅当△ABC为正三角形时等式成立. 本文将锐角△ABC的外心O换成一般△ABC的内点P,得到如下一个有趣的几何不等式. 定理 设P是△ABC的一个内点,1R、2R、3R分别是△PBC、△PCA、△PAB的外接圆的半径,r是△ABC的内切圆的半径.求证: 1236rRRR?+ 当且仅当△ABC是正三角形且P是其中心时等式成立. 为证明定理,先给出以下几个引理. 引理1 设r正、r分别为面积为定值D的…     

难题征解

52.锐角△ABC中,AD、BE、CF是三条高,H为垂心,记△ABC、△HBC、△HCA、△HAB的外接圆半径之和为m,内接圆半径之和为n,求证m+n=△ABC周长。 (安徽怀中黄全福提供) 53 设△ABC的旁切圆半径和面积分别为r_a、r_b、r_c、△,△A′B′C′的三边和面积分别为a′、b′、c′、△′。证明或否定r_a/a′+r_b/b′+r_c/c′≥3 3~(1/2)/2 (△/△′)~(1/2)等号当且仅当△ABC与△A′B′C′均为正三角形时成     

Inspiring Questions from the Sea of Examinations(题海拾贝)

译文:如图所示,正方形 WXYZ 的面积是25平方厘米,四个小正方形的边长为1厘米.在△ABC 中,AB=AC,当△ABC 沿 BC 边折叠时,A 点与正方形WXYZ 的中心 O 重合,求△ABC 的面积.     

一个动点类几何不等式的推广

设P为△ABC所在平面上任意一点,△为其面积.则成立不等式PA2sinA PB2sinB PC2sinC ≥2△, (1)其中等号当且仅当P为△ABC的内心时成立.     

一道几何不等式的推广

我们在《几何不等式》([荷兰]O.Bottema等著,单尊译)一书中.见有下述一道命题:将△ABC分为四个较小的小三角形,中间的那一个△DEF内接于△ABC,其余三个在△DEF的三边上,则△DEF的面积≥min(△AEF的面积,△BDF的面积,△CED的面积) ①当且仅当D、E、F为△ABC三边中点时,等号成立.     

《一个四边形的面积引发的思考》再思考

<正>文[1]中童永芳老师解决了:如右图,△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,△ABD,△ACE,△BFC都是等边三角形,求四边形ADFE的面积.在解完题目后,作者得到:显然,当∠BAC>90°时,则S四边形ADFE>S△ABC;当∠BAC=90°时,则S四边形ADFE=S△ABC;当∠BAC<90°时,则S四边形ADFE相似文献   

一个四边形的面积引发的思考

<正>原题如图1,△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,△ABD,△ACE,△BFC都是等边三角形,求四边形ADFE的面积.分析由已知得△ABC为直角三角形,由等边三角形的性质易得△DBF≌△ABC≌△EFC.解法1最外沿大五边形等于一个正三角形+两个直角三角形,故可求其面积;用大五边形面积减去三个三角形面积即可求得结果(△ABD、△ACE、△ABC);     

垂足三角形的性质与应用

AD、BE、CF 是锐角△ABC 的三条高,则△DEF 为△ABC 的垂足三角形(如图1),用S_(△ABC)、R 分别表示△ABC 的面积和外接圆半径.用 S_(△ABC)、L_(△DEF)分别表示△DEF 的面积和周长,则垂足三角形有如下性质:     

一个图形的性质及应用

本文提出一个常见几何图形的几个特殊性质,并通过若干典型例子说明其应用。 如图,P为△ABC中BC边上一点,PE∥BA,PF∥CA。设当i=1,2,3时,C_i(S_i,R_i,r_i)分别表示△ABC,△FBP,△EPC B的周长（面积,外接圆的半径,内切圆的半径）。S＇表示□AFPE的面积。 显然△ABC∽△FBP,△ABC∽△EPC,分别记其相似比为λ_1,λ_2。则有:     

抛物线与三角形面积一文的补充

本刊93年第5期“抛物线与三角形面积”一文,给出了下面的两个结论:设抛物线y=ax~2+bx+c(a≠0)当△=b~2-4ac>0时,抛物线与x轴的两交点为A、B,顶点为C,与y轴的交点为D,则本文拟对结论(2)作两点补充: ①若△ABC为等边三角形,则△=b~2-4ac=12,S_(△ABC)=3 3~(1/2)/a~2. ②若△ABC为等腰直角三角形,则△=b~2-4ac=4,S_(△ABC)=1/a~2. 由于△ABC的底边AB=△/|a|,高为|△/4a|;当△ABC为等边三角形时,高为底边的3~(1/2)/2倍;当△ABC为等腰直角三角形时,高为底边的一半,利用这两点,不难证明以上两个结     

一个关于六边闭折线的面积定理

本文拟给出一个关于平面六边闭折线的面积定理．为此,先简略介绍三角形的有向面积概念及性质： △ABC的方向限定为A→B→C→A,当这个方向为逆时针方向时,△ABC称为正向三角形;当这个方向为顺时针方向时,△ABC称为负向三角形．     

三角形面积的一个性质及应用

引例 如图1,D为 △ABC边BC上的一点,且 DE∥AC,DF ∥AB,△ABC面积记 为S_△,△BDE、△DCF 的面积分别记为S_1、S_2,□AEDF面积记为S＇.     

关于过任意点作一条直线平分三角形面积的猜想

1.原问题呈现.已知△ABC,P为平面内一点,求作一条直线l,使其经过P点,且将△ABC分割成面积相等的两部分.(1)当P点为边的中点时,作中线所在的直线即可.(即三角形的中线将三角形面积等分为两部分)(2)当P点为BC上任意一点,且BP≠CP时.(3)当点P在△ABC的内部或外部时,是不是一定能作一条直线平分三角形的面积?这条直线如何用尺规作出来?     

一道立几最值问题的探讨

思路1 从图1和题设得知，底面△ABC面积一定，要使三棱锥S-ABC体积最大，只须S点到底面ABC的距离最大，当且仅当平面SBC与平面ABC垂直时，三棱锥S-ABC的体积最大。     

三角形面积的巧用

例1 已知D、E、F依次为△ABC的边BC、CA、AB的中点,AD BE、CF相交于G点,且△ABC的面积为1,求△AGE的面积.     

这样的直角三角形有多少个？

例1在△ABC中,∠C=90°,AB=13,△ABC的面积为30,求△ABC的周长．解设B=a,AC=b．在直角△ABC中。由勾股定理,得a^2＋b^2=13^2=169．又因为△ABC的面积为30,     

Neuberg-Dedoe不等式推广的向量证明

设欧氏平面上△iiiABC三边长为iiiabc,面积为(1,2)iiD=.Neuberg曾提出如下一个猜想: 222222111()Habca - 22222111()bcab - 2222211112()16cabc -DD, (1) 等号成立当且仅当△111ABC∽△222ABC. D.Pedoe率先证明了不等式(1)成立[1],不等式(1)即为著名的Neuberg-Pedoe不等式.文献[2]中给出Neuberg-Pedoe不等式(1)的加强推广,得到下面更强的不等式: 22121221216[()3HababDD - 2212211221()()]acacbcbc- -, (2) 等号成立当且仅当△111ABC∽△222ABC. 下面应用向量代数方法给出不等式(2)一个极其简单的证明. 在平面直角坐标系下…     

用中线求三角形面积

三角形的中线可将原三角形分成面积相等的两个三角形．如图1,AD是△ABC的中线,则有S△ABC=S△ADC=1/2S△ABC,利用这个性质,可以巧妙地求出一些三角形的面积．     

共高三角形与相似三角形性质的综合应用

共高三角形的性质:共高三角形的面积比等于对应底边的比.题目:如图1,S△ABD=12BD·h,S△ADC=12DC·h,从而S△ABD S△ADC=12BD·h12DC·h=BD DC.特别地,当AD为△ABC中线时,S△ABD=S△ADC.在相似三角形的学习中,此性质常与相似三角形面积比等于相似比的平方这一性质综合使用,现举两例说明.例1如图2,△ABC与△DEC重叠的情形,其中E在BC上,AC交DE于F点,且AB//DE.若△ABC与△DEC的面积相等,