第37届IMO中国国家队选拔赛试题解答

一、以△ABC的边BC为直径作半圆,与AB、AC分别交于点D和E.过D、E作BC的垂线,垂足分别为F、G.线段DG、EF交于点M.求证:AM⊥BC.     

一道IMO选拔赛试题的推广

题目(第37届IMO中国选拔赛试题).以△ABC的边BC为直径作半圆,与AB、AC分别交于点D和E,过D、E分别作BC的垂线,垂足分别为F和G,线段DG、EF交于点M.求证:AM⊥BC.     

对一道IMO竞赛试题的再探究

第37届IMO中国选择赛试题：以△ABC的边BC为直径作半圆,与AB,AC分别交于点D,E过D,E分别作BC的垂线,垂足分别为F和G,线段DG与EF交于点M,则AM BC．     

一道赛题引出的一个三点共线性质

题（第37届IMO中国选拔赛试题）：以△ABC的边BC为直径作半圆,与AB、AC分别交于点D、E．过D、E分别作BC的垂线,垂足分别为F和G,线段DG与EF交于点M,则AM⊥BC．     

一道第37届IMO选拔赛试题的椎广

题目（第37届IMO中国选拔赛试题）： 以△ABC的边BC为直径作半圆,与AB,AC分别交于点D和E,过D,E分别作BC的垂线,垂足分别为F和G,线段DG,EF交于点M．     

第二届陈省身杯全国高中数学奥林匹克

第一天1.(50分)已知锐角△ABC,过点A作BC的垂线与以BC为直径的⊙O_1分别交于点D、E;过点B作CA的垂线与以CA为直径的⊙O_2分别交于点F、G.证明:E、F、D、G四点共圆,并确定圆心的位置.2.(50分)记d(n)为正整数n的正因子     

第37届IMO中国国家队选拔赛试题

第一天 (1996—04—03) 一、以△ABC的边BC为直径作半圆,与AB,AC分别交于点D和E,过D,E作BC的垂线,垂足分别是F,G,线段DG,EF交于点M。求证:AM⊥BC。 (裘宗沪 供题) 二、设N是自然数集,R是实数集,S是满足以下两个条件的函数f:N→R的集合:     

旧题新证

2008年全国联赛山西赛区预赛题第14题： 如图1,以△ABC的一边BC为直径作圆,分别交AB、AC所在直线于点E、F,过点E、F分别作圆的切线交于一点P,直线AP与BF交于一点D．证明：D、C、E三点共线．     

由三角形内任意一点所引出的性质

1.如图1所示,点O是△ABC内的任意一点,作直线AO,BO,CO与边BC,CA,AB,分别交于点D,E,F则BD/DC·CE/AE·AF/BF=1.证明:过A点作AN∥BE,AM∥CF分别交BC的延长线     

一道集训队选拔考试题的推广

题目已知A为圆Γ外一点,直线AB、AC分别与圆Γ切于点B、C设P为劣弧BC(不含点B、C)上的一个动点.过P作圆Γ的切线,与AB、AC分别交于点D、E,直线BP、CP分别与∠BAC的平分线交于点U、V.过点P作AB的垂线,与直线DV交于点M;过点P作AC的垂线,与直线EU交于点N.证明:存在一个与点P无关的定点L,使得M、N、L三点共线.     

一道平面几何竞赛题的简证

题目一个圆通过△ABC的顶点A、B,分别交线段AC、BC于点D、E,直线BA和ED交于点F,直线BD和CF交于点M.证明:MF=MC的充要条件为     

数学奥林匹克问题

本期问题 初299如图1,已知△ABC的内角平分线AD与BC交于点D,点E在AB上,且AE=AC,点,在AC的延长线上,且AF=AB,过点E、F分别垂直于AB、AC的直线与过点D垂直于AD的直线分别交于点P、Q,PG⊥BC于点G,QH⊥BC于点H.求证：BG=CH．     

一道几何题的简证

笔者看到一道几何题,原解答利用的是牛顿定理.本文给出另一个证法. 题目 已知圆内接四边形ABCD,两组对边AB和DC、AD和BC分别交于点E、F,M、N分别是AC、BD的中点.证明: 2MN/EF=|AC/BD-BD/AC|. 证明 如图1,以B、C、D为顶点作(◇)BCDR,DR与AB交于点P,BR与AD交于点Q.联结AR、PQ、CR.     

数学奥林匹克问题

本期问题 初327 如图1,在△ABC中,AB〉AC,Go与边BC及AC、AB的延长线分别交于点D、E、F,M是边BC的中点,AH⊥BC于点H,AO分别与直线DE、DF交于点K、L.证明：四边形MLHK内接于圆．     

2011年全国高中数学联赛加试(B卷)几何题的简解及推广

2011年全国高中数学联赛加试(B卷)试题:如图1,过⊙O外一点A作⊙O的两条切线,切点分别为B,C.点D在线段BC的延长线上,CD=1/2BC.P为AD的中点,过点P作⊙O的两条切线,切点分别为Q,R,QR与BC交于点E.点M在线段CB的延长线上,BM=BC.N为AM的中点,过N点作⊙O的两条切线,切点分别为K,J,JK与BC交于点L.证明: (1)四点A,R,Q,D共圆;(2)MC/CL=BE/CE.     

求解一道几何竞赛题的心路历程

问题（第十届西部数学奥林匹克试题）如图1，AB是圆O的直径，C、D是圆周上异于A、B且在AB同侧的两点．分别过点C、D作圆的切线，它们相交于点E，线段AD与BC交于点F，直线EF与AB相交于点M．求证：E、C、M、D四点共圆．     

以点带面 巧思转化——一道数学中考压轴题的分析与思考

<正>一、试题呈现（2022年徐州市数学中考第28题）如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=12，点P在边AB上，D,E分别为BC,PC的中点，连结DE．过点E作BC的垂线，与BC,AC分别交于点F,G两点．连结DG，交PC于点H.     

数学奥林匹克问题

本期问题 初73.△ABC为⊙O内接三角形,AB>AC>BC.点D在BC上,从O点分别作AB、AC的垂线交AD于E、F,射线BE、CF交于P点.当PB=PC PO时,试问∠BAC     

2009中国数学奥林匹克

第一天 1.给定锐角△PBC,PB≠PC.设A、D分别是边PB、PC上的点,联结AC、BD交于点O.过O分别作OE⊥AB于E,OF⊥CD于F,线段BC、AD的中点分别为 M、N.     

数学问题与解答

731．如图1，点O是△ABC的外接圆圆心，点P是AB上一点，过点P分别作半径OA、OB的垂线，与AC、BC交于D、E，与AB交于点M、N，求证：PM=MD的充要条件是PN=NE。