关于整数边直角三角形的探讨

以任何大于2的正整数为直角边的整数边直角三角形都存在，且可以通过一定的数学表达式求出其各边边长。以任何大于2的素数为直角边的整数边直角三角形唯一存在。以任何大于2的正整数为直角边的整数边直角三角形的个数大于等于1，小于这个正整数的二分之一。整数边直角三角形的问题即为勾股弦数组问题。     

一类海伦三角形

三边为整数的三角形叫整边三角形，整边三角形的周长为整数但面积不一定为整数，面积为整数的整边三角形叫海伦三角形．一个自然的问题是：是否存在海伦三角形，其周长与面积在数值上相等？我们先来解决下面的问题．     

这样的直角三角形有几个？

马明老师在本刊2001年1、2合刊上发表了题为《边长为连续整数的三角形》一文．文中提出了一个古老的问题，“三边长为连续整数且面积也为整数的直角三角形存在吗?如果存在，有多少个?”文章指出只有一个，这就是边长为3，4，5的直角三角形，它的面积为6，也是整数，问题饶有趣味。     

伊万斯问题的一个充要条件及应用

R．J．伊万斯1977年在《美国数学月刊》中提出一个问题：“求出所有的整数边三角形，使它的某个高与底边之比为整数．”这一问题被P．K．盖伊收录在其著名的《数论中未解决的问题》一书中．盖伊指出，这个比不能为1和2，但可以为3，例如边长分别为4，13，15的整数边三角形，第一条边上的高为12，并提出问题：这个比能否取大于3的整数？     

无理数的发现及其启示

公元前6世纪，希腊数学家毕达哥拉斯发现了勾股定理，即在直角三角形巾，两条直角边的平方和等于斜边的平方．但这种发现，在当时仅局限于直角三角形的三条边是整数、分数的情形．但是他的学生希伯斯应用这个定理，研究了边长为1的正方形的对角线的长√2，发现它既非整数，又非分数。而是一个无限不循环小数1．414…，这是世界上最早的无理数．     

项链的L(1,2)-边标号(英文)

给定一个图G和2个正整数j和k,图G的一个m-L(j,k)-边标号是从图的边集到非负整数集合{0,1,…,m}的一个映射,该映射满足相邻的边所对应的整数相差至少为j,距离为2的边所对应的整数相差至少为k.在图G的所有m-L(j,k)-边标号中,最小的整数m称为图G的L(j,k)-边标号数,记为λ'j,k(G).项链是一类特殊的Halin图,研究了项链的L(1,2)-边标号,给出了项链的L(1,2)-边标号数的上界和下界,并且此上界和下界都是可达的.     

整数三角形

(此讲座适合高中一、二、三年级)“三角形三边均为整数,且最大边长为11的三角形共有多少个?”“三角形三边为三个连续整数,且有一个角是另一个角的两倍,求这个三角形的三边之长。”这些有趣的数学竞赛题所涉及的三角形三边均为整数.我们定义:一个三角形的三边均为整数,这样的三角形称为整数三角形.比如边长为2,3,4的三角形,边长为5,12,13的三角形都是整数三角形.整数三角形这个课题十分广阔,本文只择其中的要点作些简要介绍.     

图的实值距离二边跨度(英文)

图G的L(j,k) 标号是图的顶点集到非负整数集的一个映射, 使得相邻顶点所对应的整数相差至少为j,距离为2的顶点所对应的整数相差至少为k. 对于图G的一个L(j,k) 标号f, 定义其L(j,k) 边跨度为βj,k(G,f)=max{f(x)-f(y):{ x,y}∈E(G)}. 图G的L(j,k) 边跨度定义为βj,k(G),它是G的所有L(j,k) 标号f的L(j,k) 边跨度中最小的. 图G的实值L(j,k) 标号是整数L(j,k)标号的推广, 是满足相应的距离一条件和距离二条件的从顶点集到实数集的一个映射. 图G的实值L(j,k)标号的边跨度记为j,k(G). 研究了图的实值L(j,k)边跨度和整数L(j,k)边跨度的若干性质, 完全确定了所有圈以及完全t-部图的边跨度.     

海伦三角形

已知△ABC的三边长a=13,b=14,c=15,由海伦公式可以求得△ABC的面积S=84.这种三边长为连续整数,面积也是整数的三角形叫做"海伦三角形". 除上述三角形外,三边长a=3,b=4,C=5的三角形也是海伦三角形(面积为整数6). 要想再找出几个海伦三角形,这可能很困难.要找     

2002年第9期“数学创新月月练”答案

1.图(4)只是轴对称罔形,而不是中心对称图形.2加棚‘目因田困圈田囫团圆田△躯, 3.将两个边长都为3,4,5的直角三角形的相等的两直角边重合即可.若把为4的边重合,则得边为整数的锐角△A8c;若把为3的边重合,则得边为整数的钝角△|4’口’c’.如上图所示.南其他的勾股数构成的直角三角形也可画出若干个边为整数的三角形..铺仓夕阳西下 小木屋鱼(责任编辑赵平)2002年第9期“数学创新月月练”答案~~     

具有三个相异素因数的调和数

如果一个正整数n的因数的倒数之和是一个正整数,我们称这个正整数n是一个调和数。该文证明了,如果 n是一个具有三个相异素因子的调和数,则 h=120或 672。     

同余数的一个充要条件

通过运用初等数论的方法,给出同余数的一个充要条件,证明n是整同余数的充要条件,应用实例说明同余数的求解。     

行列式中的一个概率问题

设一个n阶行列式的每个元素以1/2的概率取偶数,1/2的概率取奇数,则该行列式的值只能是整数。 当n≥2时不难猜测行列式的值取奇数的概率较小,本文的目的在于精确地计算出这一概率。     

二次数域Q(s)的结构

对二次代数数s，本证明了Q(s)是一个二次数域，并且存在无平方因子的非零整数n，使Q(s)=Q(√n)，进而证明Q(√n)中的全体代数整数Q[√n]构成一个整环。     

奇素数幂中的孤立数

设P是奇素数,r是正整数.本文证明了:当P>19且r相似文献   

幂级数在无理数证明中的应用

根据sinx的幂级数展开式和莱布尼茨定理,利用反证法证明了当n为非零整数时,sin(1/n)为无理数。     

关于素数幂的一条表示定理

设ｑ为奇素数，ｐ为素数且ｐ３（ｍｏｄ４）．本文用完全初等的方法证明了：如果ｌ为使ｑｌ可表示成二次型ｘ２＋ｐｙ２，（ｘ，ｙ）＝１的最小正整数，ｍ为自然数，则ｑｍ有这种表示的充分必要条件是：ｌ｜ｍ     

整数的模n同因分类

在整数集Z上定义了模n同因关系,得到整数的模n同因分类Z（n）．证明了：Z（n）的元素个数是T（n）（其中T（n）是n的正因数个数）;Z（n）关予乘法[a][b]=[ab]作成以[0]为零元,[1]为单位元的交换半群,且除[1]外其余的元都没有逆元;在不等式T（n）＋φ（n）≤n＋1中,当且仅当n=1．4,p（p为素数）时等号成立,其中φ（n）是欧拉函数．     

路的最优3-pebbling数

图G的一个pebbling移动是从一个顶点移走两个pebble,把其中的一个pebble移到与其相邻的一个顶点上.图G的最优3-pebbling数f'3(G)是最小的正整数,使得把n个pebble恰当地放置在G的顶点上,总可以通过一系列pebbling移动把三个pebble移到任何一个指定的顶点上.本文给出了路的的最优3-pebbling数的结论及其证明.     

关于方程S_x(n)=S_y(3)

对于整数m、n(n≥ 3) ,设Sm(n)是第m个n角数 .本文证明了 :当n >6且n - 2是平方数时 ,方程Sx(n) =Sy( 3)无正整数解 ;当n >6,2 +n且n - 2非平方数时 ,该方程有无穷多组正整数解