成果集锦

成果集锦本栏短文由中国初等数学研究工作协调组杨世明老师摘编，凡摘录较少的，当不影响全文发表．杨老师地址：天津市宝坻县教研室．邮码：３０１８００．方程２｜ｘ｜＋２｜ｙ｜＝ｘ２ａ＋ｙ２ｂ＋ｃ的图形在杨之先生倡导下，我们对一次绝对值方程作了比较深入地研究，...     

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成果集锦摘编：天津市宝县教研室杨之复数域上含模的二次方程根的初步研究当ｍ，ｎＥＲ时，对方程ｚ’＋ｍｌｚｌ＋ｎ—０（ｌ）的根的情形已研究得到性质１当且仅当ｎ＜０或ｍ’一４。一０时，（１）有一对非零的相反数实根．性质２当且仅当ｍ’一４。＜０且ｍ＜０时，（...     

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一个有趣的同期数阵设ｎ1 为自然数ｎ的各位数字之和 ,ｎｋ 为ｎｋ -1 的各位数字之和 ,ｋ =2 ,3,… .若 0 <ｎｋ<9,则记Ｔ (ｎ)=ｎｋ,于是有ｎ≡Ｔ (ｎ) (ｍｏｄ9) ,0 <Ｔ (ｎ) <9,易证[1 ] :引理 1　若ｍ≡ｎ(ｍｏｄ9) ,则Ｔ(ｍ) =Ｔ(ｎ) .引理 2　设ｋ ,ｌ∈Ｚ-,ｕ ,ｖ∈Ｎ ,ｖ≥ 2 ,则Ｔ( ( 9ｋ ｕ) 6ｌ ｖ) =Ｔ(ｕｖ) .记Ｔ(ｎｍ 1 ) =ｘｍｎ(ｍ ,ｎ =1,2 ,3,4 ,… ) ,则称{ｘｍｎ}为“自然数方幂的数码和数阵 ,它有如下有趣的性质 (请读者自行写出观察 ) :定理 1　数阵 {ｘｍｎ}的行、列数列都是周期数列 ,周期分别是 9和 6 .由此 …     

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成果集锦关于正规闭折线的几个等周定理如果一个点位于一条闭折线所有顶角的内部，就称其为正规内点．有正规内点的单折边封闭折线，称为正规闭折线，ｋ环正规闭折线Ａ１Ａ２…Ａｎ论证Ａｋ（ｎ），任一Ａｋ（ｎ）总可看成ｋ个大小不同的多边形连结而成，其中较小的含在较...     

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对一道几何极值问题的辨析有一道流行很广的几何极值应用问题,又被现行几何课本选为例题：图１如图１,要在河（直线ａ）边修建一个水泵站,分别向张村（Ａ）、李庄（Ｂ）送水,修在河边什么地方,可使所用的水管最短？（人民教育出版社,初中《几何》第二册第９１页）其...     

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成果集锦凸六边形的方程定义在凸六边形ＡＢＣＤＥＦ中．ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ称为主对角线．若ＡＢＤＥ，ＢＣＥＦ，ＣＤＡＡ．则称ＡＢＣＤＥＦ为平行六边形．程为其而占的坐标为边的方程为主对角线的方程是略证：不妨设ａｉ＞０，则Ｌｉ（ｉ＝１，２，３）将平面分成７个区...     

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ｍ次方后末ｎ位数不变的自然数计算表明 ,当且仅当ｋ的个位数为 0 ,1 ,5和 6时 ,ｋｍ 个位数亦然 ;当且仅当ｋ的末 2位数为 0 0 ,0 1 ,2 5和 76时 ,ｋｍ 末 2位数亦然 ,若以 {ｘ}表示ｘ的小数部分 ,则一般地 ,有定理　设ｋ ,ｍ∈Ｎ ,ｍ≥ 2 ,则ｋｍ 与ｋ末ｎ位数相同的充要条件     

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本刊 2 0 0 2年第 7期发表了贾功青的《两个猜想》一文后 ,相继收到如下作者的来稿 (以时间先后为序 ) :刘才华 (山东 ) ,徐彦明 (山东 ) ,邹宁文 (安徽 )、张定胜 (安徽 ) ,彭宝义 (山西 ) ,涂令标 (安徽 ) ,张斌贝(甘肃 ) ,吴善和 (福建 ) ,公宽让 (陕西 ) ,潘开刚 (贵州 )的来稿 ,或举例证伪两个猜想 ,或证明 (2 )的逆向 .仅摘发最早的两篇     

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成果集锦一类分式方程的解初中代数中有很多分式方程都可归结为１ｘ－ｍ－１ｘ－（ｍ＋ｋ）＝１ｘ－ｎ－１ｘ－（ｎ＋ｋ）．（１）通分、求解,可知当ｍ≠ｎ,且ｋ≠０,ｋ≠｜ｍ－ｎ｜时,方程（１）有唯一解ｘ＝１２（ｍ＋ｎ＋ｋ）．例如,方程１ｘ－１－１ｘ－４＝１ｘ...     

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成果集锦编者按本刊１９９７年第１～２期发表了赵临龙老师推广斯坦纳关于“三角形具有等平分线的角对等边”的定理作出的如下猜想（以下简称赵－猜想）：图１在△ＡＢＣ中,等长分角线ＢＤ、ＣＥ交于Ｐ,延长ＡＰ交ＢＣ于Ｑ（图１）．１．若ＡＢ·ＰＣ＋ＡＣ·ＰＢ,则Ａ...     

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一个不等式的加强在△ＡＢＣ中,设ｈａ、ｈｂ、ｈｃ分别为三边长的高,则Ｃｏｒｄｏｎ证明了［１］∑ａ２ｈｂ２＋ｈｃ２≥２．（１）杨晋［２］以角平分线取代其中的高,证明了它仍成立,这里把（１）加强为定·理·在△ＡＢＣ中,成立ａ２ｈｂ２＋ｈｃ２·ｂ２ｈｃ２＋...     

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等差数列一个性质的再推广对等差数列｛ａｎ｝,记Ｄｍ（ｐ）＝ａｐｎ＋ｍ－１ａｐｎ＋ｍ－２…ａｐｎａｐｎ＋２ｍ－１ａｐｎ＋２ｍ－２…ａｐｎ＋ｍ…………ａｐｎ＋ｍ２－１ａｐｎ＋ｍ２－２…ａｐｎ＋（ｍ－１）ｍ,则文［１］的结果是Ｄ２（１）＝ｐｑｄ２（ｐ、ｑ∈...     

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直角三角形的一个充要条件黑龙江省绥化市北林区五中　王　航　　定理　在△ABC中,CD平分∠C ,则∠C =90°的充要条件是1AD2 1BD2 =2CD2 .①证明:如图,作BE∥AC ,AF∥BC ,分别交CD的延长线于点E、F ,则有CDDE =ADDB =DFCD .若∠C =90°,则∠CBE =∠CAF =∠C =90°,∠BCE =∠ACF =45°,BC =BE ;AC =AF ,于是由DF =ADDB·CD知2AC2 =AC2 AF2 =CF2 =(CD ADDB·CD) 2 ,类似得　2BC2 =(CD DBAD·CD) 2 .以上两式相加,注意到AC2 BC2 =AB2 ,AD DB =AB ,即得2AB2 =CD2 ·AB2 ( 1AD2 1BD2 ) ,即…     

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成果集锦本栏短文由中国初等数学研究工作协调组杨世明老师摘编，凡摘录内容较少的，当不影响全文发表．杨老师地址：天津市宝坻县教研室，邮编：３０１８００．自然数集的一个有趣性质我校数学竞赛曾出过这样一道题：把数１，２，…，１６分成两组，使每组的８个数中任两...     

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初等数学问题 (续 ) 1 7的解决杨之在“第四届全国初数会议”上所作“初等数学问题 (续 )”的报告中 ,提出的无限棋盘上最小图形问题(问题 1 7)是 :在无限棋盘上 ,求一个由 1 0 0个正方形 (棋盘格 )组成的图形 ,使其直径 (图形任两点间的最大距离 )达到最小 ,这最小直径是多少     

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球体积公式的极限法推导本文的目的在于使学生明白 ,球体积公式不只有应用祖日恒原理这一种推导方法 .定理　半径为Ｒ的球 ,其体积Ｖ =43πＲ3 .证明 :考虑半球 ,将其大圆弧分为 2ｎ等份 (如图 ) ,过分点作球大圆的平行截面 ,设第ｉ个截面 (自下而上 )的半径为ｒｉ,其圆周上一点与球心连线与大圆面所成角θｉ=ｉπ2ｎ,ｉ=0 ,… ,ｎ(ｒ0 =Ｒ ,ｒｎ=0 ) .第ｉ- 1与第ｉ个截面间的距离为ｈｉ,以其为上、下底构成的圆台体积记为Ｖｉ,则可以证明Ｖ =2ｌｉｍｎ→∞ ∑ｎｉ =1Ｖｉ.我们来计算Ｖｉ.由于ｒｉ=Ｒｃｏｓθｉ,ｒｉ-1 =Ｒｃｏｓθｉ-1 ,…     

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多项式幂展开式的再发现唐志华江苏省宜兴市丁蜀高中编者按：学完“二项式定理”之后,如果我们懂得一点类比、推广等合情推理方法,自然会想到去研究（a＋b＋…＋d）”展开式,但往往走入误区．以下是唐志华老师再发现多项式定理的真实（大大减缩叙述）的过程．（a＋b）”展开式的系数可排成“杨辉三角”,且有一系列美妙的性质,这促使我研究（a＋b＋…＋d）”展开式的系数．先从（a＋b＋c）”研究起,命n＝1,2,3,4等,观察,看不出任何规律性．这时,有两条路：一是类比于（1＋x）”,考虑（1＋x＋x2）”,发现有类似的系数三角：有类…     

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ｗｈｃ１３６的证明文［１］第２２９页列出杨学枝的如下猜想：ｗｈｃ１３６设Ｐ、Ｑ、Ｒ分别为△ＡＢＣ的边ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ上的点,记ＡＱ＋ＡＲ＝ｕ,ＢＲ＋ＢＰ＝λ,ＣＰ＋ＣＱ＝ｖ,则ｐ＋ｑ＋ｒ≥（μ＋λ＋υ）－１２（λυμ＋υμλ＋μλυ）,其中ＱＲ＝ｐ,...     

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成果集锦关于三角形ｎ等分线的三个命题定理１［１］设△ＡＢＣ的的ｎ（ｎ≥２）等分线交对边ＢＣ于Ｄ１、Ｄ２、…、Ｄｎ－１，则该定理应用面积法易证，此处略．定理２条件同定理１，则特别，当ｎ＝２时，得角平分线公式定理３条件同定理１，则证明：设，则．在△ＡＤＣ...