等差海伦数组的公式

所谓海伦三角形,就是边长与面积都是整数的三角形,这种三角形的三边长所构成的数组(a,b,c)叫做海伦数组。 本文讨论海伦数组中成等差数列的情形(简称等差海伦数组),得到了如下 定理 等差海伦数组的一般公式为: 其中p,q,l,r均为正整数,且(p,q)=1,(l,r)=1,r能整除p~2-3q~2、2pq、p~2 3q~2的最大公约数。     

一类美妙的海伦数组

请看下列三角形: 它们有两个特征: (1) 各边长都是整数; (2) 面积也是整数。这种三角形称为海伦(Heron)三角形。其边长构成的数组,如 (5,5,6),(13,20,21),(25,51,52),(41,104,105),…(*)称为海伦数组。将三角形三边由小到大依次记为a_n、b_n、c_n。△_n表示面积,s_n为半周长,h_n为c_n边上的高,p_n为a_n在c_n边上的射影,q_n为b_n在c_n边上的射影。     

关于连续海伦三角形的研究

本文提出连续海伦三角形的概念.并通过一类线性递推关系确定连续海伦三角形,同时给出连续海伦三角形的两个性质。 定义1 三边和面积的数值都是整数的三角形叫做海伦(Heron)三角形.也叫双整     

从海伦公式谈起

众所周知 ,每个数学分支的形成 ,都有其深刻的数学背景 ,每个数学结论的给出 ,都有其坚实的数学依据 ,数学公式的产生当然也不例外 .海伦 (Heron)公式公元 1世纪 ,希腊数学家海伦在其所著《度量论》一书中给出一个用三角形三边表达三角形面积的著名公式———海伦公式 :若a、b、c为三角形三边长 ,则该三角形面积为S =p(p-a) (p -b) (p -c) .这里 ,p=12 (a +b +c)表示三角形半周长 .这个公式简洁、对称 ,极具美感 ,深深揭示数学之美、数学之妙[1] .据称《度量论》一书曾一度失传 ,直至1 896年舍内 (R .Sch ne)在土耳其发现了它的手抄本后 ,…     

海伦三角形

已知△ABC的三边长a=13,b=14,c=15,由海伦公式可以求得△ABC的面积S=84.这种三边长为连续整数,面积也是整数的三角形叫做"海伦三角形". 除上述三角形外,三边长a=3,b=4,C=5的三角形也是海伦三角形(面积为整数6). 要想再找出几个海伦三角形,这可能很困难.要找     

三角形中与海伦公式类似的两个公式

<正>在人教版高中数学必修5的解三角形中,提到海伦公式,S=[p(p-a)(p-b)(p-c)]^(1/2),其中p=1/[2(a+b+c)].利用它可以解决已知三角形三边直接求其面积的问题这个公式最早出现在海伦的著作《测地术》中,并在海伦的著作《测量仪器》和《度量术》中给出证明(据说这个问题最早是由古希腊数学家阿基米德解决).此公式结构简单、形式漂亮、便于记忆,堪称数学中的经典公     

海伦(Horon)公式的探究与拓展

<正>在现行(苏教版)普通高中课程标准实验教科书数学(必修5)第一章"解三角形"复习题中"探究.拓展"里,我们阅读和欣赏了海伦——秦九韶公式.教材是这样叙述的:在数学3(必修)中,我们曾介绍过南宋时期的数学家秦九韶发现的求三角形面积的"三斜求积"公式     

海伦公式及其应用

海伦公式及其应用兰州通用机器厂中学李铎初中代数第四册复习参考题十五第１７题给出了一个三角形面积公式式中ａ、ｂ、ｃ表示△ＡＢＣ的三边，Ｓ△表示三角形的面积，Ｓ表示三角形的半周长，即。这个公式首先由希腊数学家海伦发现，因此一般叫做海伦公式。我国南宋数学家...     

关于完美海伦三角形的存在性

海伦三角形是边长和面积均为整数的三角形．若海伦三角形的三边长互素，称为本原海伦三角形．我国著名数学史学家沈康身先生在其出版的新著《数学的魅力（1）》一书的第十章，分析了海伦三角形及其性质，其中提出了完美海伦三角形的定义：外接圆半径、内切圆半径均是整数的本原海伦三角形称为完美海伦三角形．沈先生证明了直角三角形不可能是完美海伦三角形，并提出问题：完美海伦三角形是否存在呢？     

海伦和秦九韶

古希腊的数学发展到亚历山大里亚时期,数学的应用性得到了很大的发展,其突出的一点就是三角术的发展.三角术的发展是由于人们建立定量的天文学,以便用来预报天体的运行路线和位置以帮助报时,计算日历,航海和研究地理而产生的.在解三角形的问题中,其中一个比较困难的问题是如何由三角形的三边a、b、c直接求出三角形的面积.据说这个问题最早是由古希腊数学家阿基米德解决的,他得到了公式S=p(p-a)(p-b)(p-c)姨,这里p=12(a+b+c).但现在人们常常以古希腊的数学家海伦(Heron)命名这个公式,称此公式为海伦公式,因为这个公式最早出现在海伦的著作《…     

海伦

已知三角形三边边长a,b,c,你会求此三角形的面积S吗?老师可能会告诉你用“海伦公式”:S=s(s-a)(s-b)(s-c),其中s=21(a+b+c).海伦公式是因其为古希腊数学家海伦发现而得名,关于海伦的出生年代,争议很大,前后跨几个世纪,比较一致的意见是海伦活跃在公元一世纪的亚历山大.现在有人认为,海伦公式其实最早为阿基米德所发现,因为“海伦公式”的名字已经被人们习惯使用而没有改变过来.其实海伦多才多艺,善于博采众长,在其著作中大量引用前人的成果,阿基米德,柏拉图等人的名字在其著作中多次出现.海伦的代表作有《度量论》、《测量仪器》等,“海伦…     

海伦-秦九韶公式与一类几何不等式

古希腊数学家海伦(Heron,约公元一世纪)在《测量仪器》一书中首先提出求已知三角形三边的面积公式: 设△ABC的三边为a、b、c,半周长为p,面积为△,则我国南宋秦九韶(约公元十三世纪初叶至中叶)在《数书九章》一书中也提出了类似的面积公式: ①和②式形异实同,所以我们把它们叫做海伦—秦九韶公式。本文将利用海伦—韶九韶公式来证明一类涉及三角形的边、面积的几何不等式。读者将看到,利用海伦—秦九韶公式来证明一些著名的不等式,如魏琴伯克不等式、费恩斯列尔—哈德维格尔不等式、匹多不等式等,不仅简捷自然,而且还会得到它们的一些推广和加强式。为此我们先约定:a、b、c、p.△分     

中国的海伦公式

提到海伦公式S_△=(s(s-a)(s-b)(s-c))~(1/2),我们并不陌生。初中代数第四册166页,有关于它的习题:《教学参考书》157页,有关于它的证明。但提到中国的海伦公式——秦九韶公式,由于中学教材没有作介绍,恐怕就没那么熟悉了。秦九韶公式,是我国南宋时期的数学家秦九韶,在他的著作《数书九章》中独立提出来的(距今有740多年)。在这部书中,他详尽地叙述了利用“三斜”(即三边)求三角形面积的方法:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上;以小斜幂乘大斜幂,减上,余四约之,为实;一为从隅,开平方得积。”这段文字用现代公式表示,就是 S_△=(1/4[c~2a~2-((c~2+a~2+b~2)/2)~2])~(1/2) 秦九韶公式与海伦公式都是已知三边求三角形的面积,形式各异而实质相同。虽然它较海伦公式提出得晚一些,但却是秦九韶独立发现的,这就十分可贵了。所以人们亲切地称秦九韶公式是“中国的海伦公式”,还把它与海伦公式合并称为“海伦——秦九韶公式”。     

海伦——秦九韶公式推导的多样性

人们熟知的三角形面积与三边的关系,即现存的海伦公式 ：Δ=√s（s-a）（s-b）（s-c） 其中s=（1）/（2）（a＋b＋c）,a,b,c为三角形边长,Δ表示三角形面积,是希腊数学家海伦提出的,又据阿拉伯数学家比鲁尼称,该公式源于阿基米德,这个考证也得到了公认.尽管如此,人们还是习惯地叫该公式为海伦公式.     

等差数列与几何的关系

等差数列的通项公式an=a1 (n-1)d与前n项和公式sn=na1 n(n-21)d可以看作是定义域为N*的一次函数和二次函数。根据等差数列的定义、直线方程、函数的图象和性质,很容易知道等差数列的通项公式、前n项和公式与几何的关系,并且可以利用它解答一些等差数列的题目。一、等差数列的通     

用向量法证明初等几何中的几个公式

用向量法证明正弦定理、余弦定理,三角形面积的海伦公式、中线公式及三角公式.     

求一类四边形的面积公式

大家知道,已知三角形的三条边的长a、b、c,应用海伦公式: S=(P(P-a)(P-b)(P-c))~(1/2) (Ⅰ) 其中P=1/2(a+b+c),就可以求出它的面积S。本文的目的,是试想把海伦公式的“构造”推广到四边形中去。换句话说,就是探讨在什     

用向量法证明初等几何中的几个公式

用向量法证明正弦定理、余弦定理、三角形面积的海伦公式、中线公式及三角公式。     

数列方法与解题

数列是中学数学教材的重要组成部分。数列的核心问题是数列的通项公式,许多问题可以通过求通项公式而解决。中学数学课本中介绍的等差数列与等比数列的定义、性质和公式是研究数列问题的基础,务必掌握。递推数列也进入了数学教材以及历年高考试题,它本身也有着广泛的应用,所以也应当而且已经引起足够重视。对于数列的通项和通项公式,要明确以下几点:(1)不是每一个数列都可以写出它的通项公式的;(2)有的数列的通项公式可     

求数列通项公式的基本策略

<正>数列的通项公式是研究数列性质的前提,求数列的通项公式是数列的基本问题之一,求数列的综合题是高考的热点问题.求数列通项公式的方法灵活多变、形式灵活多样,这些解题技巧最终都可以归结为几种基本方法.只要掌握了这些方法,便可以以不变应万变.为帮助同学们系统复习,下面以2014年高考真题为例对数列通项公式的常用求法进行归纳总结.一、基本量法求等差(比)数列通项公式是最基本的方法基本量法即先判断数列是等差(或等比)数列,根据题目条件求出a_1,d(或q),再由等差数(或等比)数列的通项公式写出其通项公式.