一个数学竞赛题的推广和背景剖析

近期,有学生向笔者请教两道老题：（1）已知实数a、b、c互不相同,满足a＋1/b=b＋1/c=c＋1/a=k,试求k的值.（2）（2003年全国初中数学联合竞赛试题）已知实数a、b、c、d互不相同,满足a＋1/b=b＋1/c=c＋1/d=d＋1/a=k,试求k的值[1].很显然,题（1）和题（2）是同一类型的两个问题,两题的做法也极为相似.笔者用如下方法给学生做了解答.     

利？用特征根，求数列an＋1=c·an＋b/a·an＋b的通项公式

数列an＋1=c·an＋b/a·an＋b的特征方程是x=c·x＋d/a·x＋b（把递推关系中的an和an＋1换成x）．利用特征方程的根，可以求数列an＋1=c·an＋b/a·an＋b的通项公式．     

＂1＂在解分式方程中的运用

1．加“1” 例1解方程：x＋a＋b/c＋x＋b＋c/a＋x＋c＋a/b=-3     

丢番图方程|(εn--εn)/(ε--ε)|=1的解数

设a,b,c,k是适合a+b=ck,gcd(a,b)=1,∈｛1,2,4｝,k&;gt;1,而且k在c=1或2时为奇数的正整数；又设ε＝（√a+√-b）／√c,-/ε=√a-√-b)/√c。证明了：当（a,b,c,k）≠（1，7，4，2）或（3，5，4，2）时，至多有1个大于1的正奇数n适合|ε^n--/ε^n)/(ε--/ε）|＝1，而且如此的n必为满足n＜1＋（2logπ)/logκ+2563.43(1+21.96π/logκ）的奇素数。     

一道联赛题的推广

题1 已知实数a、b、c、d互不相等，且n＋1/b=b＋1/c=c＋1/d=d＋1/a=x．     

含条件＂abc=1＂的赛题六则

例1设a,b,c∈R^＋,abc=1,求证：1/1＋a＋b＋1/1＋b＋c＋1/1＋c＋a≤1     

剩余问题的一种解法

问题已知一数N除以a余c，除以b余d，这个数是几？ 设N除以a、b的商分别为m、k，则 N=ma＋c=kb＋d． 不妨设a〉b，则k≥m，故可设k=m＋n（n≥0）．于是N-c=ma=（m＋n）b＋（d-c）。     

条件式abc=a＋b＋c＋2的几个等价式与应用

本文谈谈条件式：abc=a＋b＋c＋2（a,b,c〉0）①下的不等式证明题.1①的等价式一与应用①式等价于1/（a＋1）＋1/（b＋1）＋1/（c＋1）=1（a,b,c〉0）②例1已知正数a、b、c满足abc=a＋b＋c     

例析解题中应用参数的妙招

例1a、b、c是非零实数,且a＋b-c/c=a-b＋c/b=-a＋b=c/a,     

cr+1=t,ar+1=(t+1)(s-1)序为(s,t)的距离正则图

设Г是序为（s，t）直径为d的距离正则图，讨论了l（c，a，b）表示在交叉阵列t（Г）中列（c，b，c）的个数，记r=r（Г）=l（c1，a1，b1），s’=s’（Г）=l（c（r＋1），a（r＋1），b（r＋1），t’=t’（Г）=l（c（r＋s＇＋1），a（r＋s＇＋1），b（r＋s＇＋1）．所得结论如下：设Г=（X，E）是一个序为（s，t）的直径为d的距离正则图，如果c（r＋1）=t，a（r＋1）=（t＋1）（s-1），则d=r＋t’＋2．     

由递推式an＋1=（aan＋b）/（an＋c）求通项an的几个结论

已知数列{an}满足an＋1=aan＋b/an＋c,其中a1已知,a,b,c为实常数,求通项公式an.根据递推式an＋1=aan＋b/an＋c（Ⅰ）的结构特征,可将它转化为等比关系：     

一道数学竞赛试题的多解及推广

题目设a,b,c为正实数,且a＋b＋c=1,求证：（a2＋b2＋c2）（1/b＋c＋b/a＋c＋c/a＋b）≥1/2.     

一道IMO预选题的简证

题目设a、b、c〉0，且ab＋bc＋ca=1．证明：不等式^3√1/a＋6b＋^3√1/b＋6c＋^3√1/c＋6a≤1/abc.[第一段]     

一个不等式的初等证明

题目设a,b,c是正实数,且a＋b＋c=1,则有（1/b＋c-a）（1/c＋a-b）（1/a＋b-c）≥（7/6）^3（1）当且仅当a=b=c=1/3时取到等号．     

例说条件“非负数a＋b＋c=1”的应用

文献[1]构造了许多不等式，例如： 若a，b，c≥0，且a＋b＋c=1，则 （1）a^2＋b^2＋c^2≥1/3；     

瓦西列夫不等式的推广再探

文[1]将俄罗斯《中学数学》杂志刊登的瓦西列夫不等式：设a,b,c〉0,a＋b＋c=1,证明a^2=b/b＋c＋b^2＋c/c＋a＋c^2＋a/a＋b≥2,推广如下：     

从一个问题开始，以一个问题结束

《数学教学》2009年第6期数学问题与解答第768题：已知a、b、c是满足a2＋b2＋c2=1的正数，求证：1/a2＋b＋1/b2＋c＋1/c2＋a≥9/2（／3-1）.     

一类分式不等式的一般推广

文[I]提出了如下分式不等式： 命题1设a,b,c∈R＋,且a＋b＋c=1,则a2＋b3/b＋c＋b2＋c3/c＋a＋c2＋a3/a＋b≥2/3（1）     

一个算术—几何—调和平均值不等式的加细

题目已知a、b、c为正实数,且abc=1．证明： 1/a＋1/b＋1/c＋3/a＋b＋c≥4.     

与a3＋b3＋c3-3abc有关的恒等式及其应用

我们可以验证,若a、b、c∈C则关于a3＋b3＋c3-3abc有以下恒等式成立：（1）a3＋b3＋c3-3abc=（a＋b＋c）（a2＋b2＋c2-ab-bc-ca）.（2）a3＋b3＋c3-3abc=1/2（a＋b＋c）[（ab）2＋（b-c）2＋（c-a）2].（3）设w2＋w＋1=0（即w=（（-1＋（3i）（1/2））/1）