第7届数学奥林匹克国家集训队选拔试题解答

第一天立生~…习:一!州州川州州州州州习川州州州二 。广、、一*}1}1}1{1{2}2}2}2}3}3一3!3一4}4}4}4婴户苦…一}一…一{一…一{一{一…一}一{一一一一’一…一…一}一的代亏{11“!”…二11{“__{三{二…生…“{3…41{“{“{4(按题目顺{一丁}_一万r_{—{二{_{{_卜丁)—1;一_一一厂}一—}— _、.,_,{l」Z一j{4一4」j{Z}1」j一4一l一Z一艺{l}4}3’予引「夕u’i一{一{一…一厂一!一{一…一{一{一}一…一…一…一…一}一 {上…立…二…二…主.…上1二…生{二…立…二…上1二阵}土…土_‘…1.二_二__「_~红立J_三‘{二工公生_{二轰)一生.j...二…     

第五届数学奥林匹克国家集训队选拔试题解答

一、设朋友最多的人有k个朋友,显然,k≥m.若k>m,设A有k个朋友B_1,B_2,…,B_k.并记S={B_1,B_2,…,B_k}.设B_(i1),B_i2 B_i2,…,B_i_(m-1)是从S中任取的m-1个元素,则A,B_(i1), …,B_i_(m-1)这m个人有一个公共朋友,记为C_i.因C_i是A的朋友,故C_i∈S.若且{A,     

第4届(1989)数学奥林匹克国家集训队选拔试题解答

1.边长为3/2,5~(1/2)/2,2~(1/2)的三角形纸片沿垂直于长度为3/2的边的方向折叠。问重叠部分面积的最大值是多少? 解一不妨设△ABC中a=3/2,b=2~(1/2),c=5~(1/2)/2。如图,设BC中点为D,AE⊥BC,且沿MN折叠时重叠部分面积取到最大值。则易知,     

第6届数学奥林匹克国家集训队选拔试题及解答

第一天(1991年4月17日8:00一12:30)一、设实系数多项式 了(x)二x” 。,x”一‘ … a。的根为实数吞,,bZ,…,乡。,其“},。)2· 试证:对干x>m ax(bl,…,石。),f(x十l)异 Zn之1二1二.,.二、1刀二0,1,2,…。 试证:对任意m任N,都存在厅〔N,使得 二If(f(、))合今d 1 0. 六、将凸多面体的每一条棱都染成红、黄两色之一两边异色的面角称为奇异而角.某顶点A处的奇异面角数称为该顶点的奇异度,记为S*.求证:总存在两个顶点B矛一IC,使得SB S。簇礴.男一乙1牙一瓦x一乡n 二、对i二i,2,…,1991,在圆周上任取”、个点,标上数f,每点只标一个数.要求作…     

第四届数学奥林匹克国家集训队选拔试题

第(4月21日7:30一12:00)边长为辱, 乙训了 2侧丁的三角形纸片1,I Jl重沿垂直于长度为普的边的方向折,.部分面积的最大值是多少? 厂、已知vo=0,尹,=1,u:十:‘8刀1一口。干,n二1,石·… 求证:在数列咬v。}中没有形如3“·53 (a,夕为正整数)的项. 三、求最大整数n,使方程 (z 1)”=之n 1的所有非零解都在单位圆上。 四、已知△ABc,在边AB、BC和cA上分别向三角形外作正方形ABEF,Bc‘H不llCA 11. 设AH自Bl二p:,Bl门CF=口、, CF口AH=R:,AG!一}C五=尸2. 召1门AG=Q:,CE{一{Bl二R 2. 求证:△p,口,R:竺△pZQ:R2. 第二天 六、已知AD是…     

第七届数学奥林匹克国家集训队选拔试题

第一天 (1992年4月17日8:00—12:30) 一、16名学生参加一次数学竞赛。考题全是选择题,每题有四个选择支。考完后发现任何两名学生的答案至多有一道题相同,     

第5届数学奥林匹克国家集训队选拔试题

第一天 (4月15日8:00—12:00) 一、在一个车厢中,任何m(m≥3)个旅客都有唯一的公共朋友(当甲是乙的朋友时,乙也是甲的朋友.任何人不作为他自己的朋友)问在这车厢中,朋友最多的人有多     

1988年全俄第三阶段中学生数学奥林匹克竞赛试题解答

八年级 1.将数1,2,…,8放置在正八边形的各个顶点上,是否可以使得放在任意三个连续顶点上的数之和:a)大于11;δ)大于13。解:a)可以。例如:按图1放置, δ)不可以,用反证法,假设有这样的方法:将数1,2,…,8放在正八边形的各顶点上,使得放在任意三个连续顶点上的数之和大于13,也就是不小于14。用a_1,a_2,…,a_8来记边形各个顶点上的数,(图2)它们的和用s表示,按假设,下列不等式成立。 a_1 a_2 a_3≥14; a_2 a_3 a_4≥14; a_3 a_4 a_5≥14; a_6 a_7 a_8≥14;     

2001年中国数学奥林匹克国家集训队选拔考试

解:如图1,约定将凸四边形对角线AC与BD的交点记为G,并记∠EAB=∠ABE=θ,∠FAD=∠ADF=ψ。 因为△AEC可通过绕E点的旋转与△BDE重合,所以∠GAE=∠GBE,有     

第28届国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题解答

(试题见上期)必1.十一XZ卜·’+‘x。{毛侧几.1.解乙p。(无)=nl,a IXI十aZXZ十‘”十a”劣朴惫=O劣2}十…+.x:’)P。(论)=C井·P,_*(o) 儿l无!(n一k)!P。_、(0), 石(无一1川:,}+ 镇(无一l)了”. 把区间〔o,(忍一1)份,每一小区间之长为杯介〕等分成沦’‘一1等 (无一1)了几 无”一1仙兄无尸。(无)。=0习k.丽而二丽了尸一,(o)刀!自=1 由于a‘二0,1,…,无一1“=1,所以一共有犷一l个数 口1劣1+口2劣么+二’+口。x.。根据抽屉原则,总有两个数 ”一1 云 七一1=----兰-----一,下一~(。一卫灭而一1)!(。一k)!Uaf:,一卜a茵二:十…+a二劣。一P(…     

第19届美国数学奥林匹克试题解答

1.至多可以发行10~5个.我们可以造出10~5个互不相同的五位数证号 a_1a_2a_3a_4a_5.第6位数字 a_6规定为和a_1 a_2十a_3 a_4 a_5的个位数字.这时,如果两个号码的前5位数字 a_1a_2a_3a_4a_5与a_1~′a_2~′a_3~′a_4~′a_5~′中仅有一处不同,那么第6位     

1991年中国数学奥林匹克(第六届冬令营)试题及解答

一、平面上有一个凸四边形 ABCD.(1)如果平面上存在一点 P,使得△ABP,△BCP,△CDP,△DAP 面积都相等,问四边形 ABCD 应满足什么条件?(2)满足(1)的点 P,平面上最多有几个?证明你的结论.     

第54届莫斯科数学奥林匹克试题解答

八年级 1.略。 2.都可以。注:本题应将分规理解为两脚间距离l固定的圆规,因而可用其作弧。按题意要求,需求作点A关于点B的对称点A'(亦即点C)。为方便计,将点X关干点B的对称点记作X'。首先,若XB=l,则先以点B为同心,以l为半径作圆,再在圆周上自点X开始相继截3段长为l的弦,即得点X'。以下所作     

第19届(1993)全俄数学奥林匹克试题与解答

9年级(最后一轮第一天) 对第二种操作,有 1.设自然数二使2,+1及3n+l都是平方数,间5二+3是否能为质数. 解设Zn+1=几2.3,+1=,:(泛,,〔N),则sn+3=4(加+1)一(3n+1)二4泛.一.盆~(幼+琳)(2汤一邢)是合数,选是由于2泛一,笋1,事实上,若2盛一,=1,即2盛二。+1,从而5,+3=2。+1,于是(,一1).=.一(2爪+1)+2二(3月+1)一(5月十3)十2=一2”<0,这就导致矛盾. 2.设两条单位长的线段AB和C刀相文于点O,且匕月OC二60’.求证:AC+BD》1. .,、。,,l‘二一二少,J’于二万, 证如图l作CBI//月B,且CB,=AB,则四边形ABBIC是平行四边形.从而月C二BB、,由△BB,D,…     

第19届(1993)全俄数学奥林匹克试题与解答

（最后一轮第一天）见我刊1993年第5期。     

第21届俄罗斯数学奥林匹克决赛试题解答

9.1.x可为0或12。 注意抵达时刻中的分钟数z或为x y,或为x y-60,但因x y<24 24<60,所以仅可能为z=x y。 假定火车在行走途中共经历了k次昼夜更替(即在第k 1天抵达目的地),则抵达时刻中的时钟数y=x z-24k。     

第20届美国数学奥林匹克试题及解答

1.对于满足匕A=2艺B,匕C是钝角,三边长a,b,。是整数的△月BC,求周长的最小值并给出证明. 2.对任何非空数集S,令a(S)和二(S)分别表示S中所有元素的和与乘积.求证: ~口(S)_/_,,,_、2.,1,1 、,二粤笔李=l称2+2件l一tl+今+李 ‘曰兀(S)、一/、一23a_b+e乙a+…十令)(·+,),其中“兄”表示对{1,2,…,,}的所有非空子集求和. 5.对于任意固定的整数n)1,求证数列 2 2,22,22,…(modn)自某项后是常数.4.设a==mm+1+”n+1爪m+n其中二,”是正整数.求证: am+a”)mm+n”. 5.设D是已给△ABC的边AB上的动点,E点在该三角形的内部且是△ACD和△BCD内切…     

第18届美国数学奥林匹克试题及解答

1.对每个正整数n,令试求整数0相似文献