问题解答

问在解无理方程的过程中,如果未知数的允许值范围没有扩大,郡么原方程就一定无增根吗? 答人们通常采用将方程两边分别同次乘方的方法来解无理方程,此法实与把无理方程等号右边各项移到左边,让其右边为零,再乘以左式的有理化因式,化为有理方程来解无理方程的方法相同。由此可知,无理方程可能产生增根的原因有:(1)方程两边所乘的有理化因式可能等于零。(2)因去     

浅析无理方程的增根

初中《代数》第三册11.9,在解无理方程时指出:“为了把无理方程变形为有理方程,需要将方程的两边都乘方相同的次数,这样就有产生增根的可能。”怎样引导学生对上述这句话进行深化理解呢?我们从以下三个方面作了补充说明: 1.将方程的两边都平方或偶次乘方时,增根赤源于乘数的有理化因式的零点。例1 解方程(x-2)~(1/2)=8-x ①解:方程两边平方,得x-2=(8-x)~2 ②即x~2-17x+66=0,∴x_1=6,x_2=11。     

如何利用增根解题

解分式方程一般是在方程两边同乘以方程中各分式的最简公分母,去掉分母,转化为整式方程求解．无理方程则是通过乘方,转化为有理方程后再加以解答．去分母与乘方都有可能改变未知数的取值范围,从而产生增根．也就是说,增根主要源自于分式方程、无理方程向整式方程、有理方程的转化过程中     

换元法解无理方程

解无理方程的基本思想是将方程变形,使之转化为有理方程求解。在变形时,通常采用在方程两边同次乘方的办法,以消去方程中的根号。但这一方法对于某些无理方程因两边乘方,使方程出现高次,多项,给解方程带来困难,甚至无法求解。但若能,巧妙地应用换元则能使解法简单,并能迅速求得其解,本文将根据方程的各种不同特点,给出换元的各种方法。     

例说可化为一元一次(二次)方程的无理方程(组)

根号里含有未知数的方程叫做无理方程.例如等都是无理方程.无理方程是整个代数方程中非常重要的一类,解无理方程是在实数集里进行的,它的一般步骤是:①把原无理方程先经过适当的移项,然后按相同的次数把方程两边都乘方,使它变形成一个有理方程(这个过程也叫做把无理方程有理化);②解这个有理方程;③把解有理方程所得的根代入原方程中进行检验,如果这个根适合原无理方程,那么解有理方程所得的根就是所求的原无理方程的根,否则就不是原无理方程的根.但在具体求解的过程中有些无理方程(组)看起来似乎与一元一次(二次)方程(组)毫无关系,可是经过恒等变形以后就可化为一元一次(二次)方程(组).     

利用有理化因式解无理方程

无理方程的常见解法有:同次乘方法、换元法、因式分解法。此外,还有一些特殊的解法。在本文,将介绍利用有理化因式解无理方程。现举例说明:     

无理方程解的一种判别法

解无理方程,一般将无理方程两端进行同次乘方变形,或者直接引入辅助量简化过程。直到把无理方程转化为一个或几个容易求解的新方程,再求出所有新方程的解。所得的解必须一代入原无理方程进行验根。有时,验根计算繁琐且极易出错。从验根过程不难发现,产生增根或减根的原因是新方程的未知量取值范围有所变化。当范围扩大可能产生增根,缩小时可能出现减根。如果先将新方程未知量的取值范围限定在无理方程的取值范围内,则新方程与原无理方程是同解方程。只要观察新方程的解在原无理方     

与增根有关的求值问题

同学们知道,解分式方程的基本思路是在方程两边同乘以一个整式,将分式方程化为整式方程来解.解无理方程的基本思路是两边分别乘方,将无理方程化为有理方程来解.由于方程两边同乘以一个整式后一般不是原方程的同解方程(扩大了未知数的取值     

谈谈无理方程的解法和根的验算问题

无理方程一节,不易为中学学生所接受。教本中仅从无理方程的解法说明方程两端同次乘方可能引入增根,所以无理方程的根必须验算。一般的中学学生对此理解并不深入,本文想谈谈本人几年来教学的体会,以供参考。 (一)应从实际问题出发明确什么叫无理方程来说明无理方程的生产。例如,某人民公社有甲乙两个居民点,甲在公路旁,乙在距公路6公里之处,两个居民点的距离为10公里,要在公路附近办一农业中学,使到     

无理方程解法九种

解无理方程,历来是教学中的难点之一。实践表明,适当总结一些解题方法,是克服这一难点、提高学生解题能力的一个有效途径。为此,本文特举出无理方程的九种初等解题方法如下: 一、乘方法这是一种基本方法,其思路是将无理方程的两边乘方若干次后转化为有理方程,进而转化为整式方程来求解。例1.求下面方程的实数根(以下各例都是指求实数根,不再声明)     

解无理方程时应注意的几个问题

解无理方程可能产生增根的原因，在教学中有时只把它归结为使得该方程的有理化因式等于零的根，而把方程有理化后，由于未知数允许值范围的扩大因而有产生增根的可能性漏掉．本文就此作一点阐述．     

特殊法解无理方程例析

解无理方程的思考途径是把无理方程转化为有理方程,一般的转化方法是两边同次乘方。但我们常会遇到一些特殊的无理方程,这时,就必须掌握无理方程的一些特殊解法。     

换元法解分式方程、根式方程的检验问题

初中学生在学习分式方程(方程组)时,课本强调指出;用同一个含有未知数的整式去乘方程的两边,约去分母化为整式方程时,有可能产生增根(增解),因此解分式方程(方程组)必须进行检验。同样,在学习根式方程时,课本明确指出:为把根式方程变形为有理方程,须将方程的两边都乘方相同的次数,就有产生增根的可能,因此解根式方程也必须进行检验。我们知道,解分式方程(方程组),根式方程,有     

浅析无理方程的增根

我省高师院校(师院、师专、教育学院)数学系(科)初等代数课程试用教材《初等代数研究》(江苏省高师数学教育研究组编,江苏教育出版社 1988年4月第1版)一书第189页,在定义了根式方程f(x)=0(或无理方程)后,指出:“解根式方程时,一般把方程两端同乘以f(x)的有理化因式变形为有理方程而后求解,在实际演算时,常用方程两端乘方的方法化去根式。     

巧解几类无理方程

无理方程的常规解法是首先将无理方程化归为有理方程,而化归的方法是通过移项、把根式尽可能地均匀分布在方程两边,对两边同次乘方。若化归后仍是无理方程,则按上法再进行,直至化为有理方程求解,最后验根。 常规角法尽管是通法,但常使方程的次数增高、运算量增大。本文对几类无理方程给以巧妙的解法,使解题效率大大提高。 本文以下用f(x),g(x),h(x)等表示x的有理函数、用a,b,c,d等表示常数。     

平方差公式活用举例

平方差公式是初中代数中的一个重要公式，其应用极为广泛，下面举例说明它在解题中的妙用。 一、解无理方程 经检验：它们都是原方程的根。 评注：把无理方程化为有理方程，一般要经过两次平方，而平方时就有可能扩大未知数的定义域，这样就很有可能产生增根。如果能恰当地用ａ２－ｂ２＝（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）解此类无理方程，既可避免两边平方时较复杂的无理式运算，又可大大减少产生增粮的可能性。 评注：像此类议程，如果两边同时开方就有可能破坏方程的同解性（即有可能产生失根），就例２而言，如果两边同二、简便计算三、化简代数式 …     

无理方程的几种特殊解法

解无理方程的基本思路是把无理方程转化为有理方程来解,一搬方法是将方程两边乘方相同次数.但也有一些比较常用的特殊解法,以下举例予以说明,供参考.……     

无理方程的几种特殊解法

解无理方程的基本思路是把无理方程转化为有理方程来解,一搬方法是将方程两边乘方相同次数.但也有一些比较常用的特殊解法,以下举例予以说明,供参考.……     

几类无理方程的简捷解法

在实数范围内(以下同)解无理方程的常规办法是:①通过几次适当的移项,两边乘方,把求解无理方程的问题转化为有理方程的求解问题;②解对应的有理方程;③将有理方程的每一个根代入原无理方程验根·并舍去增根.用常规办法解无理方程,通常有以下不足:①通过移项和乘方.化无理方程为有理方程的计算量一般都比较大;②对应的有理方程的次数一般都比较高,因     

例谈无理方程的解法

解无理方程的基本思路是把无理方程转化为有理方程（分式方程或整式方程）,转化的一般方法是把方程的两边乘方,去掉根号．对有些特殊类型的无理方程,如果依然采用一般乘方的方法处理