从长方体对角线的性质定理谈起

高中《立体几何》(甲种本)第56页上有一个关于长方体对角线的定理:长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和。由这一定理可获得推论一若长方体的一条对角线与一个顶点上的三条棱所成的角分别为α、β、γ,则 cos~2α+cos~2β+cos~2γ=1。     

长方体内的三角不等式

我们先来看长方体的对角线与三个夹角的一个重要性质:定理:若长方体的对角线与三个面的夹角为α、β、γ,则sin~2α+sin~2β+sin~2γ=1……(1)cos~2α+cos~2β+cos~2γ=2……(2)证明:如图所示,长方体的对角线 BD_1,连 BD、BA_1、BC_1,那末 BD_1与三个面:面 BD、面 BA_1、面 BC_1的夹角分别为α、     

构造长方体 巧证不等式

对于长方体,教材给出了如下性质: 定理长方体一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和。性质1 长方体的一条对角线与一个顶点上的三条棱所成的角分别是α、β、γ,则 cos~2a cos~2β cos~2γ=1。性质2 长方体的一条对角线与各个面     

构造法解题几例

例1.若锐角α,β,γ满足cos~2α cos~2β cos~2γ=1,求证:tgαtgβtgγ≥2 2~(1/2)。联想到长方体对角线,于是构造棱分别为a,b,c的长方体,立即得解。是为构图法。     

构造长方体解有关问题

长方体有如下人们所熟悉的性质:定理长方体的长、宽、高为 a、b、c,则其对角线长 l=(a~2 b~2 c~2)/(1/2).推论长方体的一条对角线与一个顶点上的三条棱所成的角分别为α、β、γ,则 cos~2α cos~2β cos~2γ=1.     

“方程法”在三角中的应用

引入变量,将一些原本不是求解方程的问题转化为解方程,从而使原问题获解的方法,称为“方程法”。可应用在一些三角等式的证明中。 [例1] 已知cos~4α/cos~2β+sin~4α/sin~2β=1,求证:cos~8α/cos~6β+sin~8α/sin~6β=1。证:令cos~2α=x,sin~2α=y,则有,用代入消元方法可得到,x~2-2xcos~2β+cos~4β=0,即(x-cos~2β)~2=0, ∴x=cos~2β,y=sin~2β,即cos~2α=cos~2β,sin~2α=sin~2β。     

两组三角恒等式的应用

在平面三角中有与代数中的平方差公式a~2-b~2=(a+b)(a-b)形似的恒等式: sin~2α-sin~2β=cos~2β-cos~2α=sin(α+β)·sin(α-β),(1)与 cos~2α-sin~2β=cos~2β-sin~2α=cos(α+β)·cos(α-β)。(2) 这两组恒等式不妨叫做三角中的“平方差”公式。熟记这两组恒等式对于解答某些三角问题、几何问题或综合题会有所帮助。恒等式(1)证明如下: ∵sin~2α-sin~2β=1/2(1-cos2α)-1/2(1-cos2β)=1/2(cos2β-cos2α)=sin(α+β)sin(α-β),     

高中部分

1.如右图,设P是正方体ABCD-A_1B_1C_1D_1的上底面A_1B_1C_1D_1内任一点。BP与三条棱AB、BC、BB_1所成的角分别为α、β、γ,那么cos~2α cos~2β cos~2γ的值是( )。 A.2 B.1 C.1/2 D.与P点的位置有关 解法一:以BP为体对角线在正方体内“割”出一个长方体,即为《立体几何》(甲种本) P56例1     

对《一个公式的巧用》的一点补充

“数学教学通讯”85年第5期张山同志的文“一个公式的巧用”读后很受启发,公式(a b c)(a~2 b~2 c~2-ab-bc-ca)=a~3 b~3 c~3-3abc在解题中巧用之处不少。今就这个公式在三角恒等式的证明中巧用的一角补充几个例题,使该文更有说服力。例1.已知sinα sinβ sinγ=0, cosα cosβ cosγ=0 求证:(1)sin~3α sin~3β sin~3γ=3sinαsinβsinγ (2)cos~3α cos~3β cos~3γ=3cosαcosβcosγ证明:当a b c=0时,a~3 b~3 c~3=3abc令α=siaα,b=sinβ,c=sinγ,则sin~3α sin~3β sin~3γ=3sinαsinβsinγ。令a=cosα,b=cosβ,c=cosγ,则cos~3α cos~3β cos~3γ=3cosαcosβcosγ。利用例1的结论又得一题: 例2.已知:sinα sinβ sinγ=0, cosα cosβ cosγ=0 求证:(1)sin3α sin3β sin3γ     

用辅助问题法解题

我们常通过一个新颖、合适而有效的辅助问题,去帮助我们化简数学问题。下面我们通过若干例题介绍用辅助问题法解题。一、置换用一个形式简单或题型比较熟悉的等价问题去置换一个形式较为复杂或题型较为陌生的问题。例1 若锐角α、β、γ满足cos~2α cos~2β cos~2γ=1,求证:tgα·tgβ·tgγ≥2(2~(1/2))。分析:如果我们对长方体的一系列性质十分熟悉,那么就被下面一个直观性较强的辅助问题所代替,即,     

三棱锥中一个有用的结论

一、一个有用的结论三棱锥A-EFG的三条侧棱AE,AF,AG两两互相垂直,三侧面与底面所成二面角分别记为α,β,γ,则有cos~2α+cos~2β+cos~2γ=1．证明：如图1,O是A在底面EFG上的射影,连接EO,FO,GO并延长,分别交三边于P,Q,R,连接AP,AQ,AR．∵AE,AF,AC两两垂直,∴AE⊥面AFG,因此AE⊥FG．     

一类三角求值题的制作

如图:ABCD是由两个斜边是1的直角三角形组成,且∠BAD=∠BCD=90°,∠ADB=α,υ∠BDC=β,(0°<α,β<90°)则 AC=sin(α+β),AD=cosα,CD=cosβ。在△ACD中, AC~2=AD~2+CD~2-2AD·CDcos(α+β),即 cos~2α+cos~2β-2cosαcosβcos(α+β) =sin~2(α+β)。这时我们只要令α+β为     

联用sin~2θ+cos~2θ=1与二维柯西不等式解题

解数学题,学生是多么期盼掌握一些“战无不胜”的技法。本文联用sin~2θ+cos~2θ=1与二维柯西不等式解题,其构思别致,变换灵巧,可谓学生所盼的“阳春白雪”。二维柯西不等式是:ac+bd≤(a~2+b~2)~(1/2)·(c~2+d~2)~(1/2),a、b、c、d∈R当且仅当a/c=b/d时,等式成立。(现行高中《代数》课本下册P.14)。一求值(或证明条件不等式) 例1 若α、β∈(0,π),且cosα+cosβ-cos(α+β)=3/2,求α、β。解:已知即为(1-cosα)cosβ+sinα·sinβ+cosα=3/2,于是:(cos~2β+sin~2;xx2)[1-cosα)~2+sin~α]≥[(1-cosα)cosβ+sinα·sinβ]~2=(3/2-cosα)~2即(2cosα-1)~2≤0,cosα=1/2,α=π/3,同理知β=π/3。(α、β∈(0,π)) 例2 已知msinθ-ncosθ=(m~2+n~2)~(1/2) (1)sin~2θ/α~2+cos~2θ/b~2=1/(m~2+n~2) (2)     

Sin~(n+2)αSin~(-n)β+CoS~(n+2)αCoS~(-n)β≥1的证明与应用

本文给出两个三角不等式: [定理一] 设α、β为锐角,n为自然数,则 sin~(n+2)αsin~(-n)β+cos~(n+2)αcos~(-n)β≥1 (1) 当且仅当α=β时等号成立。 [定理二] 设n,k∈N,k≤n,则有     

一道三角题的引申

题目已知sinαcosβ=-1/2,求cosαsinβ的取值范围.引申1已知sinαcosβ=α,cosαsinβ=b,则|a|+|b|≤1,当且仅当sin~2α+sin~2β=1时等号成立.证明|a|+|b| =|sinα||cosβ|+|cosα||sinβ|≤(sin~2α+cos~2β)/2+(cos~2α+sin~2β)/2=1,     

长方体内的三角不等式链

命题(一) 如果长方体的对角线与共顶点的三条棱所成角为α、β、γ,那么(i)sin~2α sin~2β sin~2γ=2     

长方体内的三角代换及其应用

1 长方体内的三角代换 设a~(1/2),b~(1/2),c~(1/2)为长方体的三度,过同一顶点的三条棱和过该点的对角线的夹角为α,β,γ(α,β,γ均为锐角)。则称下列代换为长方体内的三角代换:     

巧解一道数学题

已知 (cos~4α)/(cos~2β) (sin~4α)/(sin~2β)=1,求证 (cos~4β)/(cos~2α) (sin~4β)/(sin~2α)=1。 这是一道数学竞赛题,公布的标准答案均较繁琐。本文将给出两种简洁的解法。 证法一: 设sin~2α=x,sin~2β=y,x、y∈(0,1),则由已知有:x~2/y (1-x)~2/(1-y)=1 ①变形为 x~2(1-y) y(1-x)~2=y(1-y),即 (x-y)~2=0,∴ x=y,由此,①可写为:y~2/x (1-y)~2/(1-x)=1,     

构造三角对偶式解三角题初探

本文将探求,具备什么样特征的三角式,可以构造相应的三角对偶式,以及施行怎样的运算顺序,就能达到化繁为易的目的。一、由公式sin~2α+cos~2α=1,cos~2α-sin~2α=cos~2α,cosα·cosβ±sing·sinβ=cos(α±β),sinα·cosβ±cosα·sinβ=sin(α±β)可以得出,具备上述特征的三角式,即为本文探求的第一类三角式。下面举例说明。     

“三角单位”Sin~2α+Cos~2α的应用

众所周知,对于任意实数α,恒等式sin~2α+cos~2α=1(Ⅰ)成立.等式(Ⅰ)是最基本的三角恒等式.其右端是实数单位1,左端是α的正弦与余弦的平方和——sin~2α+cos~2α,通常称为三角单位.三角单位在三角学中具有特殊的地位和作用.一、恒等变形中的三角单位在涉及正弦与余弦的方幂的三角恒等变形中,如能恰当地引用三角单位的如下特性:(sin~2α+cos~2α)~n=sin~2α+cos~2α=1,(Ⅱ)