可化为齐次线性递推关系的行列式一种解法

通过讨论齐次线性递推关系,介绍了递推关系在其特征方程的根出现两种情况时的求解方法,即特征方程有K个不同的根和有r的K重根,用例题给出了可化为齐次线性递推关系的行列式的解法,从而可以看出此种类型行列式的又一种简便的求解方法.     

特征根法求数列通项公式

<正>数列的通项公式是高考重点考查的知识点之一,求数列通项公式的方法也很多,在具体的问题中选择最适当的方法来解决是重中之重。本文主要介绍用特征根法求数列通项公式。若常系数齐次线性递归数列的递归关系为:a_(n+k)=c_1a_(n+k-1_+c_2a_(n+k-2)+…+c_ka_n,则称方程x^k=c_1xk=c_1x^(k-1)+c_2x(k-1)+c_2x^(k-2)+…+c_k为其特征方程,方程的根称为{a_n}的特征根。定理:如果x_1,x_2是递推关系a_n=     

线性方程组的一种解法

本文介绍将克莱姆法则予以演变,通过展开一个n+1阶行列式来求解n元线性方程组的方法。 [定理] 设线性方程组AX=B的系数行列式|A|≠0,而n+1阶行列式D_(n+1)=|(?)|=d(a_1x_1     

一道高考数列递推题的探究

<正>一、试题呈现(2014年广东高考题)设数列{an}的前n和为Sn,满足Sn=2nan+1-3n2-4n,n∈N*,且S3=15.(1)求a1,a2,a3的值;(2)求数列{an}的通项公式.本题通过Sn和an+1构造了一个递推关系,通过消去Sn,可将本题转化为求一阶线性递推数列的通项问题.但本题所得到的线性递推数列与我们日常所遇到的递推关系有所不同,巧妙在于这是系数为变量的线性递推关系.部分学生遇到此题时发现考题与解题     

浅谈由递推公式求通项公式的有效方法

<正>类型一:累加法形如:a_n=a_(n-1)+f(n)(其中f(n)不是常值函数)例1已知数列{a_n}满足a_1=3,2/a_n-a_(n+1)=n(n+1),则a_n=____。方法指导:先将递推公式变形为a_n-a_(n-1)=f(n),令n=2,3,4,…,n,再将这n-1个式子相加,得a_n-a_1=f(2)+f(3)+…+f(n)。所以,a_n=a_1+f(2)+f(3)+…+f(n)=a_1+     

待定系数法求一类递推数列通项公式

<正>求递推数列的通项公式的方法较多,技巧性很强.本文主要探究形如a_(n+1)=pa_n+f(n)(p为常数,n∈N*)的递推数列通项公式的求法.一、引例例1已知数列{a_n}满足a_1=3,a_(n+1)=2a_n+5n+1(n∈N*),求该数列的通项公式.解(辅助数列法)由a_(n+1)=2a_n+5n+1,得a_(n+1)+5(n+1)+6=2(a_n+5n+6).(1)     

某类递推公式通项的一种解法

1问题的提出在科学研究和生产实践中往往会碰到某些量之间存在着某种递推关系，其数学表达式即为递推公式，例如dn+2=b1(n)an+1+b2(n)an+b3(n)(n=0,1……）（1）其中bi（n）（i=1，2，3）是关于n的已知函数，就是一种H阶线性递推公式。递推公式具有形式简单、应用广泛等特点，但由递推关系求其通项却没有一般方法可循。本文仅就线性递推公式通项的求法作一些探讨，给出了一种一般解法。尤其对变系数递推公式求通项给出了比较实用的方法，此方法还可解决某种类型的非线性递推公式。2问题的解决我们用幂级数作为工具来求某类递推公式的通项，…     

用二阶递归数列的转化解题

由a_(n+2)=pa_(n+1)+qa_(n)+r(p,q,r是与n无关的常数,a_(1),a_(2)是已知数)确定的二阶递归数列{a}_(n)的各项容易用递推法求出,但有时把其中的一类等价变形为分式型二阶递归数列(见定理1)就不容易用递推法求出其各项了.如果读者能发现它们之间的联系,就可以解决后面这个困难的问题了.     

求递推数列通项的常用解法

我们把数列连续若干项之间的等量关系an+k=f(an+k-1,an+k-2,…,an)称为数列的递推关系.由递推关系和k个初始值可以确定一个数列,称数列{an}是递推数列.(如:等差数列满足an+2=2an+1-an是二阶线性递推数列,等比数列满足an+1=qan是一阶线性递推数列)     

乘法公式在行列式计算中的应用

众所周知,n阶行列式的计算,方法灵活,技巧性强,计算繁杂,要想达到熟练自如,并非易事。然而计算行列式的方法中有一个明确的原则,就是把较繁杂的行列式转化为比较简单的行列式来计算,从而可比较容易地得到它的值。本文讨论乘法公式在行列式化简中的一些应用。 设D_1=|a_(ij)|,D_2=|b_(ij)|是两个n阶行列式,则D_1与D_2的乘积是一个n阶行列式D=|C_(ij)|,其中     

一类双数列递推式之通项公式的求解

由两个数列{an}与{bn}所组成的递推式求其通项公式通常较为困难,在文[1]中作者给出了一道题的解如下:若数列{an}与{bn}满足a0=1,b0=0,且an+1=7an+6bn-3bn+1=9an+7bn-4(n∈N),试证an(n∈N)是完全平方数.导析:由初始条件和已知递推式,易求出a1=4,b1=4,且当n≥1时,(2an+1-1)+3bn+1=(14an+12bn-7)+3(8an+7bn-4)=(7+43)[(2an-1)+3bn]累次迭代,便得(2an-1)+3bn=(7+43)n-1[(2a1-1)+3b1]=(7+43)n请注意:这里是否有等比数列的模型呢?同样,我们还可建立上式的对偶式:(2an-1)-3bn=(7-43)n于是,将所得二式相加,得an=14(7+43)n+14(7-43)n+12因为7±43=(2…     

用待定系数法求一阶线性递推数列的通项公式

由一阶线性递推数列求数列的通项公式,在很多文章中都进行了研究,而且也得出了在不同情况下求通项公式很多方法,比如累加法,累乘法,构造法等.但是却很少有文章对所求通项公式结构进行探讨,关注问题的结构有利于清楚地研究问题.一、方法探究定理:若数列{an}满足a1=a,an+1=f(n)an+g(n),则an=(∏(n-1)(i=1)f(i))·a+∑(n-2)(j=1)(∏(n-1)(i>j)f(i))g(j)+g(n-1)     

一阶线性递推数列的通项公式

已知数列{a_n}的首项为a_1,并且有递推关系式a_(n+1)=qa_n+d其中q,d为常数,且q■0,则称此数列为一阶线性递推数列,简记为递推数列a_(n+1)=qa_n+d.现在,我们来讨论递推数列a_(n+1)=qa_n+d的通项公式,其推导方法有以下几种:     

浅议一类递推数列

<正>a(n+1)=pa_n+q(其中p,q均为常数,pq(p-1)≠0))是高中数列问题中常见的递推关系,可以利用待定系数法,设a(n+1)+x=p(an+x)推出x=q/(p-1),从而得到等比     

线性分式递推数列a n 1 =pa n s/qan r的通项公式及其周期存在的探究

形式为 a n + 1 =pa n + s/qa n + r , p,q,r,s ∈ R的线性分式递推数列是高中数学数列部分常见题型。本文从初等数学的角度:化归思想,取倒数,转化等差(或等比)数列,给出形式为a n + 1 =pa n + s/qa n + r的线性分式递推数列的通项公式及周期存在的判定,并举例说明其价值。     

关于二重递归数列{A_m~n}_(n=1 m=1)~∞的通项公式的两个定理

关于满足条件a_(m+k)=λ_1a_(n+k-1)+λ_2a(n+k-2)+…λ_ka_n的一元线性递归数列{a_n}的通项公式,已经有了很好的结论。本文对二重数列及满足简单条件A_m~n=λ_1A_(m-1)~n+λ_2A_(m-1)~(n-1)的二重线性递归数列的通项公式得到两个有用的定理。     

高等数学观下的递推数列通项公式的求解

概括分析递推关系形如an+1=aan+b/can+d、an+1=λan+f(n)(n≥1)的递推数列通项公式的求法,对于学习数列和教学具有一定的借鉴意义。这两类递推数列通项公式的求解,可以分别采用矩阵法、不动点法、代换法和求导与积分法、叠加法、线性代换。     

斐波那契数列与黄金比

黄金比(1+、5~(1/2))/2和斐波那契数列1,1,2,3,5,8,13,21,……之间有一个著名的关系。(如果我们用F_x.表示斐波那契数列的第n项,那么可以用F_1==1,F_2=1,F_(n+2)=F_(n+1)+F_n.(n≥1)(1)来递推地定义这个数列)。这个关系就是:     

递推数列已逐渐成为高考中的流行色

给定数列{a_n},若a_n k与a_n、a_(n 1)、a_(n 2)、…、a_(n k-1)之间满足关系式a_(n k)=f(a_(n k-1),a_n k-2,…,a_n),则称此关系式为k阶递推式.由此递推式及初始值a_1、a_2、…、a_k所确定的数列{a_n}称为k阶递推数列.若a_(n k)能表成c_1(n)a_n c_2(n)a_(n 1) … c_(n k)(n)a_(n k-1)的形式,则该递推关系为k阶线性递推关系(等差、等比数列是最简单的一阶线性递推数     

一类递归行列式的计算方法

所谓递归行列式D_n,是指D_n经变换或者依行依列展开能得到一个或几个与D_n具有形式相同但阶数较低的行列式。 联结原行列式D_n和其具有同一形式但阶数较低行列式的式子称为递推公式。 本文探讨一类可化为D_n=pD_(n-1) qD_(n-2)的递归行列式的计算问题。 设n阶行列式D_n由递推公式: