一个代数不等式的证明

《中学教学月刊》1999年第10期《一组三角形不等式的代数本质》一文中，有一个留待探讨的不等式，本文利用＜b，m＞0）给出其证明．若x，y，zR＋，xy＋yz＋zx=1，则8x2y2z2＞（1－x2）（1－y2）（1－z2）．证明（1）x＞0，y＞0，z＞0，xy＋yz＋Zx=1，x，y，z三个数中至多有一个数不小于1（若有两个数不小于1，则与xy＋yz＋zx=1矛盾）．从而原不等式左边＞0，右边＜0，不等式成立．（2）若0＜x＜1，0＜y＜1，0＜z＜1，由即4ZJ）r＞（1一人（1－Z勺．同理可证，勿’xz＞（1－X勺（1－X勺，4X’ry＞（1－X勺（1－y）三式相乘得4’X、‘X‘…     

涉及三角形和点的一个不等式及应用

1913—1914年，T.Hayashi建立了一个极为重要的不等式:当且仅当△ABC为锐角三角形且P为其垂心时或P为△ABC的一个顶点的等号成立．在探讨不等式（1）的推广形式的过程中，笔者发现了下述深刻而有用的．定理设x、y、z为满足x＋y＋z＞0，yz＋zx＋xy≥0的实数，a、b、c为△ABC的三边，则对△ABC平面上任一点P有当且仅当为锐角三角形且P为其垂心时或a~2x＝b~2y，z＝0且P＝C时等号成立．为证定理，我们尚需用到杨学枝1987年建立的一个代数不等式（参见文[2]），即引理设x、y、z、x’、y’、z’为满足x＋y＋z＞0，x'＋y'＋z'＞0，yz＋zx＋…     

利用Z·=|Z|~2=||~2及共轭复数性质解题

解复数题，一般先设z＝a＋bi（a，b∈R）或z＝r（cosa＋isin），但有时解的过程显得冗长，若利用z·z＝|z|～2＝|z|～2及共轭复数性质来解，则有简单明快之效.例1已知z1，z2∈C，且z1≠O，z2≠0，一定是纯虚数.分析只要证证明由亦即整理得一定是纯虚数.例2三个复数a，β，γ满足是实数.分析只要证共轭复数就是其本身即可.证明同样可得例3已知z1，z2∈C(z1·z2≠0），在复平面内对应的点为P、Q，又z—1～2-z1z2＋z—2～2＝0，试确定△OPQ的形状（O为坐标原点）.故△OPQ为正三角形.例4已知复数z和w，|z|≤1，|w|≤1.问A，B可比较大小否…     

关于亚纯函数的微分多项式的特征函数的研究

设f（z）是｜z｜〈R（0〈R〈＋∞）上的亚纯函数,ai（z）（i=0,1,2,…,n-1）为｜z｜〈R上的n个全纯函数,且｜ai（z）≤1,f（0）≠0,f（0）≠0,f（z）的每个零点的级大于或等于m,f（z）的每个极点的级大于或等于s;再设g（z）=f^（n）（z）＋an-1（z）f^（n-1）（z）＋…＋a1f＇（z）＋a0f（z）,其中g（0）≠0,g＇（0）≠0,g（z）-bj的级分别为nj（nj≥2）,g（0）≠bj（j=1,2,…,q）,且（q-1）n＋1/（q-1）m＋1/q-1∑j=1^q1/nj（1＋n/s）〈1.则对0〈r〈R,存在与n,l,m,s,q,bj,nj有关的正常数A、B和C,使得T（r,f）≤A（log^＋｜f（0）｜＋log^＋｜g（0）｜＋log^＋1/｜g（0）｜＋log＋1/｜g＇（0）｜）＋B（logR/R-r＋log＋1/R＋log^＋R）＋C.     

一类高阶齐次线性微分方程解的超级

本文研究了高阶齐次线性微分方程f（k）＋Ak-1（z）e^pk-1（z）f^（k-1）＋Ak-2（z）^e^pk-2（z）f（k-2）＋…＋A0（z）e^pk（z）f=0和f（k）＋（Ak-1（z）e^pk-1（z）＋D（k-1）（z））f（k-1）＋…＋（A0（z）ep0（z）＋D0（z））f=0解的增长性问题,其中Pjk（z）=ajz^n＋bj,lz^n-1＋…bj,n,Aj（z）和Dj（z）是有限级整函数。针对Pj（z）中aj（j=0,1,…k-1）的幅角主值不全相等的情形。得到了σ2（f）=∞。     

一类柯西变换的罗朗系数估计

假设{Sj}j=0^m-1是由压缩映射Sj（z）=εj＋ρj（z-εj）,组成的迭代函数系（IFS）,0〈Pj〈1,｜εj｜≤1,且至少有一个εj满足｜εj｜=1,K是{Sj}j=0^m-1的吸引子,μ是支撑在K上的Hausdofff测度,最近,文献[1]中讨论了自相似测度的柯西变换F（z）=∫k（z-w）^-1dμ（w）在｜z｜〉1在内的罗朗系数．主要研究G（z）=∫k（λz-w）^-1dμ（w）在｜z｜〉1/｜λ｜（｜λ｜≥1）内的罗朗系数,得到了一些结果．     

一类高阶齐次线性微分方程解的复振荡

研究了高阶齐次线性微分方程f（k）＋（Ak-1（z）e^pk-1（z）＋Dk-1（z））f^（k-1）＋…＋（A0（z）e^p0（z）＋D0（z））f=0解的增长性问题,其中pj（z）=ajz^n＋bj,1z^n-1＋…＋bjn,,Aj（z）,Dj（z）是有限级整函数。针对pj（z）中aj（j=0,1,…,k-1）的幅角主值不全相等的情形,得到了方程解的增长级的精确估计。     

比较复变函数与二元函数的分析性质

设z=x＋iy,w=u＋iv,则w=f（z）=u（x,y）＋iv（x,y）,所以一个复变函数w=f（z）相当于定义两个二元函数u=u（x,y）和v=v（x,y）,讨论一个复变函数的极限与连续性就相当于讨论两个二元函数的极限与连续性.所以复变函数与二元函数在某些概念、结论上有一定的相似之处,因此有必要比较复变函数与二元函数的某些分析性质.     

构造一等式证明一类不等式

我们知道,利用等式证明不等式是证明不等式的一种重要思想方法.在不等式中,对于可化为（a/（b＋c））、（b/（c＋a））、（c/（a＋b））（其中a、b、c〉0）的一类对称不等式,若令x=（a/（b＋c））,y=（b/（c＋a））,z=（c/（a＋b））（x、y、z〉0）,则x、y、z满足等式（x/（x＋1））＋（x/（y＋1））＋（z/（z＋1））=1（）（1/（x＋1））＋（1/（y＋1））＋（1/（z＋1））=2（）xy＋yz＋zx＋2xyz=1（以下记此三式依次为①、②、③式）,这样,利用这几个恒等式.     

泛函微分方程x'(t)=f(x~(n)(t))单增解的存在性

在条件f：R→R连续，单调递增，当z=0时，zf（z）＞0，limf（z）=M，z→＋∞其中M＞1，研究了过t-X上半平面上任意一点方程X’（t）=f（x（n）（t））解的存在性及其性质，得出了解曲线可以“填满”整个上半平面的结论．     

某类柯西变换的零点分布情况

假设{Sj}m-1 j=0是由压缩映射Sj(z)=εj+ρ(z-εj)组成的迭代函数系(IFS),其中ρ为压缩比,且满足0<ρ<ρm(m ≥4,ρm的定义见[1]),εj=e2πji/m,K是{Sj}jm=-01的吸引子,μ是支撑在K上的Hausdorff测度.最近,文[1]中讨论了自相似测度的柯西变换F(z)=∫K(z-w)-1dμ(w)在|z|>1内的罗朗系数.文章主要研究G(z)=∫K(1-zw)-1dμ(w)在其解析范围内的零点分布情况.     

某类柯西变换的一点注记

假设{Sj}jq=-10是由压缩映射Sj(z)=εj+ρ(z-εj)(1.1)组成的迭代函数系(IFS),其中0<ρ<ρq(q4,ρq的定义见[1]),εj=e2πqji,K是{Sj}jq=-10的吸引子,μ是支撑在K上的Hausdorff测度.主要研究G(z)=∫K(1-zw)-1dμ(w)在其解析区域内的一些特殊的性质,得到G(n)(t)(0相似文献   

关于Briot—Bouquet型微分方程的解析解

本文在一定条件下研究Briot—Bouquet型微分方程的解析解及其在λ——螺形函数中的应用。     

中继信道Chong-Motani-Garg容量界的前向解码可达性(英文)

为了解决基于后向解码的三节点中继信道Chong-Motani-Garg容量界可达通信方案的解码延时过长问题,提出了一种新型的基于前向解码的三节点中继信道通信方案.在该方案中,假定在第b个分组中的发送消息为W=(w1,w2),则中继需要在第b个分组结束时对消息w1进行解码并生成一个新的消息z,而接收机需要在第b+1个分组结束时对消息W1进行解码,然后在第b+2个分组结束时对消息Z和w2进行解码.分析结果表明,该通信方案也可以达到Chong-Motani-Garg容量界,并且该方案的解码延时只有2个分组长度,大大短于基于后向解码的通信方案的解码延时.因此,三节点中继信道Chong-Motani-Garg容量界可以通过基于解码延时短的前向解码的通信方案达到.     

圆内亚纯函数的特征函数

假设f(z)是单位圆的半纯函数,且f(0)≠0,∞。那么有如下结论: (ⅰ)对00,和任给的实函数h(r)≥1,存在常数c,满足: T(r,f)≤cA~(1+ε)(r)(1-r)~(-1+ε)·T(R,f') 其中R=[1+rh(r)][1+h(r)]~(-1)     

一类Pythagoras问题的推广

设x,y,z是正整数.若x2+y2=z2,则称(x,y,z)是一组Pythagoras数.本文运用初等方法证明了:(1)恰有12组Pythagoras数(x,y,z)满足2p(x,y,z)=xy,其中p为奇素数;(2)恰有36组Pythagoras数(x,y,z)满足2pq(x+y+z)=xy,其中p,q均为奇素数,且p相似文献   

Attractor behavior in dilatonic （phantom） dark energy model with an especial potential

The dilaton in Weyl-Scale induced gravitational theory is regarded as a candidate of dark energy. When the potential of dilaton field is taken as the form Wσ ＋ σ^2e^-βσ2, that there exist attractor solutions to the canonical dilatonic dark energy model and the phontam model, and these attractors correspond to an equation of state ω = -1 and a cosmic density parameter Ωσ = 1, which are important features for a dark energy model and can fit with the current observations. We find a sufficient condition of the existence of a late time de Sitter attractor. The attractor behaviors, the evolutions of the state parameter ω and the cosmic density parameter Ω, the evolution of X （σ/σ0） and Y （σ/σ0^2） with respect to N（ln a）are shown numerically.     

星象函数的d*/d的估计

设S是单位园盘D={z;||z|<1}内的单叶解析函数族,其中的函数f(z)映射D为关于w=0的星象区域用r=r(f)表示f(z)的凸性半径. 本文中证明了,其中     

全纯函数与其微分多项式分担函数的正规性

研究全纯函数与其微分多项式分担函数,得到了如下的正规定则：设F是区域D内的全纯函数族,k是一正整数,h1（z）,h2（z）在区域D内的解析,满足｜h1（z）｜2＋｜h2（z）｜2≠0。若f∈F,f的零点重级至少为k,且f（z）=0｜f（k）（z）｜≤M（常数M〉0）,（z）=αi（z）L（Z）=αi（z）,i=1,2,其中L（z）=f∞（z）＋α1（z）f（k-1）（z）＋…＋αk（z）f（z）为f的微分多项式,αi（z）（i=1,2,…,k,k≥1）在D内解析,那么F在D内正规。