你会解答吗?

初一年级1.已知求x＋y＋z的值．2.9个纸盒装乒乓球的个数分别是12、17、18、24、29、33、36、45、52，甲拿走若干盒，乙也拿走若干盒，且甲、乙共拿走8盒．若甲拿走的球数是乙的3倍，则乘下的一盒内装乒乓球只．3．已知a、b、c都是自然数，且b＞c，a＋29＝b2，a－60＝c2．求a、b、c的值．4．在解方程组时，王彬同学求得其解是李琳同学由于将c看成d，求得的解是求a、b、c、d的值．初二年级1．已知x、y、z都是正整数，求x、y、z的值．2．已知a、b、c都最正数，且a（b＋c）一27，b（c＋a）一32，c（a＋b）一35．求证；以a、b、c为三边长的三角…     

二次函数图象与系数的关系

二次函数y=ax2 bx c的图象与其系数a、b、c之间的关系可归纳总结如下.1.a决定抛物线的开口方向:当a>0时,抛物线开口向上;当a<0时,抛物线开口向下.2.a决定抛物线的开口大小:a越大,抛物线开口越小;a越小,抛物线开口越大.3.a、b的符号决定抛物线的对称轴:a、b同号,抛物线的对称轴在y轴的左侧;a、b异号,抛物线的对称轴在y轴的右侧.4.c的符号决定抛物线与y轴的交点:当x=0时,y=c,即抛物线与y轴的交点是(0,c),当c>0时,抛物线与y轴的正半轴相交;当c=0时,抛物线经过坐标原点;当c<0时,抛物线与y轴的负半轴相交.5.Δ=b2-4ac决定抛物线y=ax2 bx c与x轴交…     

((a-b c)/a)~(1/2) ((b-c a)/b)~(1/2) ((c-a b)/c)~(1/2)的一个下界

安振平先生在《中学数学月刊》2 0 0 3年第 7期《一个三角形中的不等式》一文中给出了不等式 :命题 1　在△ ABC中 ,三边长 a,b,c,则a - b ca b- c ab c - a bc ≤ 3. ( 1 )现在给出 ( 1 )左式的下界 :命题 2　在△ ABC中 ,三边长为 a,b,c,则 a - b ca b- c ab c - a bc >2 . ( 2 )证明　设2 x =a - b c,2 y =b- c a,2 z =c- a b则a =x y,b =y z,c=z x,且 x,y,z >0 .∴ a - b ca b - c ab c - a bc=2 xx y 2 yy z 2 zz x= 2 ( xx y yy z zz x)>2 ( xx y yy z zz x)>2 ( xx y z yy z x zz x y) =2 .这个…     

利用单调性求给定区间上函数y=a1x2+b1x+c1/a2x2+b2x+c2值域的方法及应用

分式函数y=a1x2 b1x c1/a2x b2x c2,∈[m,n](a1,a2不同时为0)中,视常数a1,b1,c1和a2,b2,c2是否为零,可分为几种不同的形式.且各种形式的值域都有其独特的求解方法,只是有的局限性较大,不具普遍意义.本文介绍一种利用单调性求给定区间上分式函数y=a1x2 b1x c1/a2x b2x c2值域的通法并例举其应用,与大家共磋.     

一道最值题的错解通解与推广

题　已知a、b、c ,x、y、z是实数 ,a2 +b2 +c2 =1 ,x2 +y2 +z2 =9,求　ax +by +cz的最大值。1　错解解　由均值不等式可得ax≤ a2 +x22 ,by≤ b2 +y22 ,cz≤c2 +z22 ,各式相加得 :ax +by +cz≤ a2 +x2 +b2 +y2 +c2 +z22=a2 +b2 +c2 +x2 +y2 +z22=1 +92=5 ,即　ax +by +cz≤ 5 ( )故　ax +by +cz的最大值为 5。错因　在用均值不等式求最值时忽略了等号成立的条件 ,因为要使 ( )等号成立 ,当且仅当a =x ,b =y ,c=z ,这与已知条件矛盾。所以ax +by +cz <5 ,即ax +by +cz的最大值不可能为 5。2　通解分析　该题的问题是由于a2 +b2 +c2 ≠x2 +y…     

y=ax~2+bx+c 中的 a、b、c

一、y=ax~2+bx+c中a、b、c的几何意义 1.抛物线开口向上,则(a>0,抛物线开口向下,则a<0;2.抛物线与y轴交于x轴上方,则c>O,与y轴交于x轴下方,则c<0.3。抛物线的对称轴位于y轴左侧,则a、b同号,对称轴位于y轴右侧,则a、b异号。例1 二次函数y=ax~2+bx+c图象如图所示,试决定a、b、c符号。解∵抛物线开口向上,∴a>0,抛物线与y轴交于x轴上方,∴c>0,又对称轴位于y轴左侧,故a、b同号,由于a>0,∴b>0,∴a>0,b>0,c>0。     

“错误”的条件

有这样一道题:在解方程组{ax+2y=b bx+3y=c 时,甲求得其解是 x=2,y=-1;乙由于将 c 看错成了 c′.而求得 x=-4,y=8.求 a、b、     

二次函数图象平移有妙法

思考步骤(1)把y=ax2看成y=a(x+0)2+0,从中可直观地看出此函数的对称轴为直线x=0(即y轴),y最值=0.(2)把给出的二次函数y=ax2+bx+c通过配方变成y=[a(x+b/(2a))~2]+(4ac-b~2)/(4a),然后找出对称轴方程为x=-b/2a,y最值=(4ac-b~2)/4a.     

寻找等式与不等式的桥梁--探讨一道竞赛题的典型解法

2005年湖南省数学竞赛压轴题为:若正数a,b,c满足b+a c=a+b c-ca+b,求证:a+b c≥174-1.这是从等式开始的解证多元分式不等式的问题,较新颖.考生的得分率很低,而且标准答案也不易,因而值得探讨其典型解证方法.证法1(标准答案)由条件有a+b c=ca+b+b+a c,令a+b=x,b+c=y,c+a=z,则a=x+z2-y,b=x+y2-z,c=z+y-x2,从而原式变为x+2yz-z=y+z-x2x=x+2 zy-y,即x+z y=y+x z+z+y x-1≥xz+zy+1≥x 4+z y+1.令x+z y=t,则t≥4t+1,可得t≥1+2 17或t≤1-2 17(不合要求,舍去),故a+b c=x+2 yz-z=2t-21≥17-14.证法2由条件有a+b c=b+a c+ca+b=ab+a2 ac+bc+c2 ac≥(a+…     

一个定理及其应用

定理:a(x)、b(x)、p(x)都是x的函数,且a(x)、b(x)的值皆大于零,那么有: <1> 若a(x)·b(x)=d(常数),且当a(x)=b(x)时,p(x)有最小值c,则函数y=a(x)+b(x)+p(x)有最小值2√d+c。 <2> 若a(x)+b(x)=e(常数),且当a(x)=b(x)时,p(x)有最大值f,则函数y=a(x)·     

与反函数有关的图象平移(高一)

本文从定理入手,探讨与反函数有关的图象平移问题,与大家共同学习. 1.定理若函数y=f(x)的反函数为y=g(x),则函数y=f(x c)(c∈R)与y=g(x)-C的图象关于直线y=z对称. 证明设P(a,b)是函数y=f(x c)上任意一点,则b=f(a c) ①而点P(a,b)关于直线y=x的对称点为Q(b,a).因为函数y=f(x)的反函数为y=g(x),由①,得 a c=g(b),a=g(b)-C,所以点Q(b,a)在函数y=g(x)-c的图象上.     

函数对称性的探究

函数是中学数学教学的主线,是中学数学的核心内容,也是整个高中数学的基础。本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质。一、函数自身的对称性探究定理1.函数y=f(x)的图像关于点A(a.b)对称的充要条件是:f(x) f(2a-x)=2b推论:函数y=f(x)的图像关于原点O对称的充要条件是:f(x) f(-x)=0定理2.函数f=f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是:f(a x)=f(a-x)即f(x)=f(2a-x)推论:函数y=f(x)的图像关于y轴对称的充要条件是:f(x)=f(-x)定理3①若函数y=f(x)图像同时关于点A(a,c)和点B(b,c)成中心对称(a≠b),则y=f(x)是周期函数,且2｜a-b｜是其一个周期。②若函数y=f(x)图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称(a≠b),则y=f(x)是周期函数,且2｜a-b｜是其一个周期。③若函数y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称又关于直线x=b成轴对称(a≠b),则y=f(x)是周期函数,且4｜a-b｜是其一个周期。二、不同函数对称性的探究定理4.函数y=f(x)与y=2b-f...     

一类有关三角形不等式的代数证明

一、转化方法任何三角形总存在内切圆。为此，将三角形三边a、b、c施行如下变换（如图）：a＝y＋z（＊）b＝z＋x（x，y，z∈R＋）c＝x＋y就可以把关于三角形各元素的不等式转化成关于正数x、y、z的代数不等式。（Ⅰ）设p＝１２（a＋b＋c）则p＝x＋y＋zx＝p－ay＝p－bz＝p－c我们用x、y、z来表示时，关于三角形各边长度的限制条件：b＋c＞a，c＋a＞b，a＋b＞c可以转换为如下的表述：p－a＞０，p－b＞０，p－c＞０。因而，对任何x、y、z∈R＋，不等式有G（x，y，z）≥０G（p－a，p－b，p－c）≥０。（Ⅱ）为下面叙述方便起见，列出三角形中…     

两个对称式的不等式的推广

本文推广了如下两上关于对称式的不等式：x^2y/z y^2x/y≥x^2 y^2 z^2(x,y,z∈R，x≥y≥z＞0），√ab(a b) √bc(b c) √ca(c a)≤3/2√(a b)(b c)(c a),(a,b,c∈R^*)     

绝对值问题的解题策略与方法

<正>策略一去掉绝对值符号根据绝对值的基本性质去掉绝对值符号,是解决绝对值问题的常用策略方法.例1三个有理数a、b、c的积是负数,它们的和是正数,且x=|a|/a+|b|/b+|c|/c时,求代数式-x⁽²⁰¹⁶⁾+2x+2016的值.分析由三个有理数a、b、c的积是负数,它们的和是正数,确定出负因数的个数,然后可以把x=|a|/a+|b|/b+|c|/c中的绝对值去掉,求出x,再代入代数式求值.     

a、b、c的符号与抛物线

我们知道,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象叫做抛物线,它的顶点坐标是(-2ba,4ac-b24a),对称轴是平行于y轴的直线x=-2ba·而a、b、c的符号与抛物线在坐标系中的位置关系有以下三条规律:1·a的符号与抛物线开口方向的关系:(1)a>0抛物线开口向上;(2)a<0抛物线开口向下·2·a、b的符号与抛物线的对称轴的位置的关系:(1)ab>0对称轴位于原点左侧;(2)ab<0对称轴位于原点右侧;(3)b=0对称轴是y轴(直线x=0)·3·c的符号与抛物线和y轴交点的位置的关系:(1)c>0抛物线和y轴的正半轴相交;(2)c<0抛物线和y轴的负半轴相交;(3)c=0抛物线和y轴的交点就是顶点·…     

一个不等式证法的优化

本文给出不等式x/(1 x xy) y/(1 y yz) z/(1 z zx)≤1(其中x,y,z∈R_ )的一种最简单的证法。这种证法只需引用不等式(a b c)(1/a 1/b 1/c)≥9 (*)其中a,b,c∈R~ 。 令a=x/(1 x xy),b=y/(1 y yz),c=z/(1 z zx)易知 1/a 1/b 1/c=1/x 1 y 1/y 1 z 1/z 1 x=3 (x 1/x) (y 1/y) (z 1/z)≥3 2 2 2=9,当且仅当x=y     

两个对称式的不等式的推广

本文推广了如下两个关于对称式的不等式 :x2 yz +y2 zx +z2 xy ≥x2 +y2 +z2 　 (x ,y ,z∈R ,x≥y≥z >0 ) ,ab(a +b) +bc(b +c) +ca(c +a)≤ 32 (a +b) (b +c) (c +a) ,(a ,b ,c∈R+ )     

2014年高考数学必做创新题

第1点运算定义型()必做1定义平面向量的一种运算:ab=|a|·|b| sin〈a,b〉,则下列命题:1ab=ba;2λ(ab)=(λa)b;3(a+b)c=(ac)+(bc);4若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=|x1y2-x2y1|.     

你会解答吗?

初一年级1．试比较1412与716的大小．3．已知，求1995x3＋3990x2＋5的值．4．求的最小值．初二年级1．已知Z、y、Z满足关系式试确定Z、y、Z的值．2．已知a、b、c都是正数，且b＞c．求证：4．已知△ABC的三边a、b、c满足关系式a2＋b2＋c2＋50≤6a＋8b＋10c，试判断△ABC的形状．你会解答吗?