对"考分"的再认识

对于考分,通常的认识是:"谁教的学生考分高,谁的教学水平就高.""哪所学校的考分高,哪所学校的教学质量就高.""考分就是钱,一分能值好多钱.""考分是依据、是标准,考分最可靠、最公正,录用、选拔、奖励,检验等,都要凭考分."然而,这些看法,是否有似是而非之嫌,是否存在以偏概全之病,推理上是否有漏洞等问题,却很少有人去想.     

用x~2检验法检测彩票摇奖结果的公平性

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对“考分”的再认识

对于考分，通常的认识是：“谁教的学生考分高，谁的教学水平就高。”“哪所学校的考分高，哪所学校的教学质量就高。”“考分就是钱，一分能值好多钱。”“考分是依据、是标准，考分最可靠、最公正，录用、选拔、奖励，检验等，都要凭考分。”然而，这些看法，是否有似是而非之嫌，是否存在以偏概全之病，推理上是否有漏洞等问题，却很少有人去想。一、决定考分的因素知多少人们往往把学生考分的高低，完全归结于教师这个因素。考分高，认为教师教得好，教学有功（比如高考、中考学生考得好，学生参加学科竞赛获奖，校方则按学生的考分和获…     

幼儿教育科研方法——十、X~2检验

某幼儿园要求60名幼儿的家长,就是否应该在幼儿园培养幼儿劳动的习惯发表意见。35人赞成,14人不赞成,11人不置可否。这个结果能否说明全体家长真有不同的意见呢? 对以上资料只能用整数形式归类,不能像求平均数那样把数值划分得很细小,这种按类别计算的数据叫点计数据。它适合于用x~2(读作“卡方”)检验方法。我们用fo表示实际观测到的数据,fe表示理论数据,(?)表示总和,则: x~2检验的步骤与上讲中的t检验基本相同,现以上面调查为例来讲解x~2检验。 (1)建立虚无假设。假设持这三种意见     

一类无理方程的另一解法

解无理方程,通常是采用两边平方的办法。但这样做往往要进行两次以上的平方,出现高次方程,给解方程带来困难。本文介绍另一种解法——“平方差法”。先看例1 解方程(x~2+x-2)~(1/2)-(x~2+x-5)~(1/2)=1 (1) 解:由恒等式((x~2+x-2)~(1/2))~2-((x~2+x-5)~(1/2))~2=3 (2) (2)÷(1)得(x~3+x-2)~(1/2)+(x~2+x-5)~(1/2)=3 (3) (1)+(3)化简得(x~2+x-2)~(1/2)=2 (4) 两边平方整理得x~2+x-6=0 解得x_1=2,x_2=-3。经检验知,x_1=2,x_2=-3都是原方程的根。用这种方法解无理方程,虽然避免了高次方程的出现,但是有可能遗根。请看例2 解方程(x~2+5x-6)~(1/2)+2=(x~2+x-2)~(1/2)+22~(1/2) 解:将原方程变形为(x~2+5x-6)~(1/2)-(x~2+x-2)~(1/2)     

因式分解与三角式求值

以下一些多项式x~4+x~3+x~2+x+1;x~6+x~5+x~4+x~3+x~2+x+1;x~4-x~3+x~2-x+1;x~6-x~5+x~4-x~3+x~2-x+1;x~8+x~6+x~4+x~2+1等在实数范围内的因式分解间题如何处理。本文借助于复数的开方知识来解决这个问题,同时,得到了一些三角式的值。     

X~n X~(-n)的求值问题

在中学代数中常可见到这样的习题:已知x x~(-1)=p,求x~2 x~(-2)、x~3 x~(-3)、x~4 x~(-4)等的值。通常的解法是 x~2 x~(-2)=(x x~(-1))~2-2=p~2-2; x~3 x~(-3)=(x x~(-1))~3-3(x x~(-1))=p~3-3p; x~4 x~(-4)=(x~2 x~(-2))-2=(p~2-2)~2-2=p~4-4p~2 2 现在要问:一般情况下,已知x x~(-1)=p,(x≠0,p∈R),x~n x~(-n)(n∈Ⅳ)的值如何求?本文给出两种递归方法,介绍一个计算公式,并对其中一些情形进行讨论。     

两数和的完全平方及其应用

早在初中代数课上,就已经知道了两数和的平方公式 (x y)~2=x~2 2xy y~2(1)、这一公式的应用是极其广泛的。在这里,我们介绍它的部分应用。 一、推证公式问题 以下乘法公式 (x-y)~2=x~2-2xy y~2 (x y)(x-y)=x~2-y~2 (x y)~3=x~3 3x~2y 3xy~2 y~3 (x-y)~3=x~3-3x~2y 3xy~2-y~3 (x-y)(x~2 xy y~2)=x~3-y~3 (x y)(x~2-xy y~2)=X~3 y~3等都可运用公式(1)来推导 例1、求证:(x y)(x-y)=x~2=y~2 证:令a=(x y)/2,b=(x-y)/2, 则两数x、y的平方差,x~2-y~2=(a b)~2-(a-b)~2运用公式(1)有x~2-y~2=4ab据假设条件,得x~2-y~2=4(x y)/2·(x-y)/2,即x~2-y~2=(x y)(x-y) 例2、求证:(x-y)~3=x~3-3x~2y 3xy~2-y~3 证:将上式右端进行配方变换即得证 x~3-3x~2y 3xy~2-y~3 =x~3-2x~2y xy~2-x~2y 2xy~2-y~3 =x(x-y)~2-y(x-y)~2 =(x-y)~3 类似地,乘法公式都可用公式(1)来推导,此外,还可推证一些多项因式的乘法     

在积分中有理函数的分解

一、有理函数的积分法 设p(x)和q(x)是有理数域上的多项式,形如p(x)/q(x)的函数称为有理数,∫(p(x)/q(x))dx的积分称为有理函数的积分。 例∫(2x~2 1/x~2(x~2 1))dx为有理数函数的积分 由(2x~2 1/x~2(x~2 1))=(1/x~2) (1/x~2 1) 得∫(2x~2 1/x~2(x~2 1))dx=∫((1/x~2) 1/(x~2 1))dx=∫(1/x~2)dx ∫(1/(x~2 1))dx=-(1/x) arctgx c 与上例类似,有理函数的积分,一般都是将有理函数分     

巧用字母换常数解题

有一些数学题,如果我们用字母替换常数进行计算,常能得到巧解.一、求值例1若x~2-x-2=0,则x~6-2x~4-2x~3-3x~2-2x+2009的值等于     

反三角方程几何解法两例

例1 解方程 arcsec|(x~2+1)/(x~2-1)|+arc csc|(x~2+1)/2x| +arcctg|(x~2-1)/2x|=π解:∵ |2x|~2+|x~2-1|~2=(x~2+1)~2 构造Rt△ABC(图1) 令a=arc csc|(x~2+1)/2x|,则 arcsec|(x~2+1)/(x~2-1)|=a, arcsec|(x~2+1)/(x~2-1)|=a, arcctg|(x~2-)/2x|=a, a+a+a=π,     

类比数的运算探究单项式的除法

问题与情境计算:(1)(x~5y)÷x~2; (2)(8m~2n~2)÷(2m~2n); (3)(a~4b~2c)÷(3a~2b)．在进行数的运算时,我们知道乘法和除法互为逆运算,这同样适用于整式的运算,我们可以把(1)想象成x~2·(___)=x~5y．根据单项式与单项式相乘的法则,可以推知所求单项式系数为1,所求单项式字母部分应包含x~5÷x~2,即x~3,还应包含y,由此可知应填x~3y,即(x~5y)÷x~2=x~3y．同理     

一道课本例题的变式教学

正随着新课改的不断深入,很多教师越来越重视课本中的例题教学了.大家的共识是:对课本中的例题进行变式教学,有利于提高数学课堂的教学效益.现举一例,说明如下.例题计算:(x-3)(x+3)(x~2+9).(苏科版七年级(下).解原式=(x~2-9)(x~2+9)=x~4-81.变式1计算:(1)(xy-3)(xy+3)(x~2y~2+9);(2)(x-3y)(x+3y)(x~2+9y~2);解(1)原式=(x~2y~2-9)(x~2y~2+9)=x~4y~4-81;     

错在哪里

1、江苏省盐城市二中王彦威来稿 (邮编:224002) 题若x>0,求函数y=x~(1/2) 1/(x~(1/2) 3)-1的最小值。解由函数y=x~(1/2) 1/(x~(1/2) 3)-1得 y=x~(1/2) 3 1/(x~(1/2) 3) -4。因为 x>0,所以x~(1/2) 3>0,因此 x~(1/2) 3 1/(x~(1/2) 3)≥2((x~(1/2) 3)·1/(x~(1/2) 3))~(1/2)=2,因此可知, x~(1/2) 3 1/(x~(1/2) 3)的最小值为2,所以函数y的最小值为-2。     

注意隐晦条件

因忽略题中的隐晦条件而造成解题失误,是许多同学解题时易犯的一种错误。例 已知实数x,y满足等式x~2 4y~2-4x=0,求x~2-y~2的最大值和最小值。 有的同学求解如下: 解:∵ x~2 4y~2-4x=0, ∴ y~2=x-1/4x~2。 (1) ∴ x~2-y~2=x~2-(x-1/4x~2) =5/4x~2-x=5/4(x-2/5)~2-1/5 (2) 由(2)式可知,x~2-y~2没有最大值;当x=2/5时,x~2-y~2有最小值,其最小值为-1/5。     

构造完全平方式求值

例1 x为实数,求x~4+4x+4的最小值.解原式=(x~4-2x~2+1)+(2x~2+4x+2)+1 =(x~2-1)~2+2(x+1)~2+1.因为(x~2-1)~2≥0,(x+1)~2≥0,     

奥林匹克数学技巧四则

一、代换代换是一种常用的解题方法,灵活代换,可以避开繁琐的运算,使复杂的问题得到简捷巧妙的解答.例1 已知 x~2+x-1=0,求代数式1997x~3+3994x~2的值.解由 x~2+x-1=0,得 x~2=1-xx~3=x·x~2=x(1-x)=x-x~2=x-(1-x)=2x-1     

斐波那契多项式的若干性质

(x 1)~n(x≠1)当n=0,1,2,3…n的展开式为: (x 1)~0=1 (x 1)~1=x 1 (x 1)~2=x~2 2x 1 (x 1)~3=x~3 3x~2 3x 1 (x 1)~4=x~4 4x~3 6x~2 4x 1 (x 1)~5=x~5 5x~4 10x~3 10x~2 5x 1 (x 1)~6=x~6 6x~5 15x~4 20x~3 … (x 1)~7=x~7 7x~6 21x~5 35x~4 … (x 1)~8=x~8 8x~7 28x~6 56x~5 … (x 1)~n=C_n~0x~n … C_n~mx~(n-m) … 1 以上面展开式中斜上方向上的各项构成新的多项式:     

一个不等式的推广

文[1]证明了一个不等武:0≤x,y,x_1,y_1≤1,x x_1=1,y y_1=1,则L_2=(x~2 y~2)~(1/2) (x~2_1 y~2)~(1/2) (x~2 y~2_1)~(1/2) (x~2_1 y~2_1)~(1/2)≤2 2~(1/2),并根据L_2的几何意义提出了猜想.设0≤z,y,z,x_1,y_1,z_1≤1,x x_1=1,y y_1=1,z z_1=1,则L_3=(x~2 y~2 z~2)~(1/2) (x~2_1 y~2 z~2)~(1/2) (x~2_1 y~2_1 z~2)~(1/2) (x~2 y~2_1 z~2)~(1/2) (x~2 y~2 z~2_1)~(1/2) (x~2_1 y~2 z~2_1)~(1/2) (x~2 y~2_1 z~2_1)~(1/2)     

例说换元法分解因式

对于比较复杂的多项式分解因式,运用换元法可使多项式中的数或式的关系明朗化,使问题化难为易、简洁清晰.例1 分解因式(x~2+x+3)(x~2-6x+3)+12x~2.解设 x~2+3=y,则原式=(y+z)(y-6x)+12x~2=y~2-5xy+6x~2=(y-2x)(y-3x)=(x~2-2x+3)(x~2-3x+3).例2 分解因式(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)-120.解由于(x-1)(x-4)=x~2-5x+4,(x-2)(x-3)=x~2-5x+6,