到定点与定直线的距离差为定值的点的轨迹

教学过程中经常会遇到这样的问题:动点P(x,y)到定点A(2,0)的距离比它到y轴的距离大2,求动点P(x,y)的轨迹方程。     

求解圆锥曲线问题常见错误剖析

圆锥曲线是中学数学教学的重点内容之一,也是历届高考命题的热点,求解圆锥曲线问题时,学生应注意避免以下常见错误.一、忽视隐含条件例1若点P与定点F(0,2)的距离和它到直线y=7的距离比是2∶3,求动点P与定点P1(8,-2)距离的最大值.错解:设动点P(x,y)到直线y=7的距离为d,则|PF|d=2     

动点坐标一定设为(x,y)吗?

我们知道 ,平面解析几何中求动点的轨迹方程时 ,通常是假设该动点的坐标为 (x ,y) ,但在有些情况下 ,若将动点坐标直接设为(x ,y) ,则会给解题带来一些不便 .这时我们可以先假设动点为 (x0 ,y0 ) ,将 (x0 ,y0 )看成已知点 ,然后运用条件 ,得到关于 (x0 ,y0 )的方程 ,再将 (x0 ,y0 )换成动点坐标 (x ,y) ,从而得到动点的轨迹方程 .下面举数例予以说明 .例 1　长为 2 3的线段MN的两端点M ,N分别在大小为 12 0°的角AOB的两边OA、OB上移动 ,过M、N分别作PM ⊥OA ,PN⊥OB ,PM、PN交于P ,求P点的轨迹方程 .分析　本题是利用｜MN｜=2 …     

旋转式椭圆规及其数学原理

一、旋转式椭圆规的数学原理我们从椭圆轨迹上的点P(x,y)到椭圆中心的距离谈起: 设椭圆轨迹上一动点P(x,y)的轨迹方程为 x=acosθ, y=bsinθ,则动点P(x,y)到椭圆中心O(0,0)的距离d满足 d~2=(acosθ)~2 (bsinθ)~2.因a~2cos~2θ b~2sin~2θ=(a~2-b~2)cos~2θ b~2     

谈谈代换法求轨迹方程的教学

数学教学中坚持瞻前顾后的方法,不仅能帮助学生在学习新知识时,巩固和深化旧知识,而且可通过忆旧来启迪解题思路和方法,形成熟练和技巧。“温故而知新”讲的就是这个道理。求动点轨迹方程的“坐标代换法”是安排在直角坐标里,它的使用条件是:若动点P′(X′,y′)是定曲线F(x,y)=0上的动点,另一动点P(x,y)依赖于动点p′(x′,y′),则可寻求关系式x′=f(x,y),y′=     

一道高考题的探究性教学

教学实录(多媒体演示2007年福建省省高考理科数学试卷第20题)如图,已知点F(1,0),直线l:x=?1,P为平面上的动点,过P作直线[?5,7]的垂线,垂足为点Q,且QP?QF=FP?FQ.(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程;(Ⅱ)过点F的直线交轨迹C于A,B两点,交直线l于点M,已知MA=λ1AF,MB=λ2BF,求λ1 λ2的值.学生很快完成(Ⅰ)题,笔者请一名学生到黑板把(Ⅰ)题的解答过程写出来:生1解:(Ⅰ)设点P的坐标为P(x,y),则Q(?1,y),由QP?QF=FP?FQ可得:(x 1,0)?(2,?y)=(x?1,y)?(?2,y,化简得C:y2=4x.师这位同学把题设的向量关系直接转化为坐标的形式,通过化简求得动点P轨…     

1997年日本大阪大学入学考试理科数学试题及解答

1.如图1,在坐标平面内,设有用线段把16个方格点连成的图形 L.每个方格点的坐标(x,y)都满足:x、y都是整数,且0≤x≤3,0≤y≤3.动点 A 以点(0,0)为始点,沿 L 上路径按 x 轴的正方向或 y 轴的正方向匀速运动到终点(3,3).但方格点不运动,动点 B 以(3,3)为始点,(0,0)为终点,沿 L 上路线按 x 轴的负方向或 y 轴的负方向匀速运动.A、B 同时出发,A 的速度是 B 的速度     

利用向量的数量积求点的轨迹方程

.利用向量模的概念图 1【例 1】　已知点P是直线y=1上的动点 ,Q是OP上的动点 ,且｜OP｜·｜OQ｜ =1,求动点Q的轨迹方程(如图 1) .解 :设Q(x ,y) ,(y >0 ) ,P(x1 ,1)∵ ｜OP｜·｜OQ｜ =1,∴x21 +1· x2 +y2 =1即 (x21 +1) (x2 +y2 ) =1①又OP ,OQ共线 ,OP∥OQ ,∴x -x1 y =0 ,即x1 =xy ②把②代入① ,并整理 ,得图 2x2 +y2 -x =0(y>0 ) .2 .利用非零向量垂直的充要条件【例 2】　已知圆x2 +(y-1) 2 =1上定点A( 0 ,2 ) ,动点B .直线AB交x轴于点C ,过C与x轴垂直的直线交弦OB的延长线于圆外一点P(如图 2 ) ,求P点的轨迹方程 .解 …     

数学竞赛单元训练题(高中) 直线与圆

一、选择题1 .已知P1(x1,y1)、P2 (x2 ,y2 )分别是直线l上和l外的点 .若直线l的方程是 f(x ,y) =0 ,则方程f(x ,y) -f(x1,y1) -f(x2 ,y2 ) =0表示 (　　 ) .A .与l重合的直线B .过P1且与l垂直的直线C .过P2 且与l平行的直线D .不过P2 但与l平行的直线2 .已知三点A(-2 ,1 )、B(-3 ,-2 )、C(-1 ,-3 )和动直线l:y =kx ,当点A、B、C到直线l的距离的平方和最小时 ,下列结论中 ,正确的是 (　　 ) .A .点A在l上　　B .点B在l上C .点C在l上　　D .点A、B、C均不在l上3 .与圆 (x -a) 2 (y -b) 2 =4(a2 b2 )和圆 (x a) 2 (y b) 2 =4(a2 …     

依据条件谨防误区

题目　点P与点F( 2 ,0 )的距离和与直线x =8的距离的比是 1∶ 2 ,求点P的轨迹方程 ,并说明轨迹是什么图形 .解法 1:设P(x ,y)是轨迹上的任意一点 ,它到直线x =8的距离为d ,则|PF|d =12 ,即(x -2 ) 2 y2|x -8|=12 .两边平方、整理得x2 2y2 8x =5 6,也就是(x 4 ) 272 y23 6=1.这就是所求动点P的轨迹方程 ,它表示一个中心在 ( -4 ,0 ) ,焦点为F′( -10 ,0 ) ,F( 2 ,0 ) ,长轴长是 12 2的椭圆 ,如图所示 .解法 2 :根据椭圆的第二定义知所求动点P的轨迹是一个椭圆 ,其焦点在x轴上 .因为焦点F( 2 ,0 ) ,准线x =8,所以c=2 ,a2c=8,解得a2 …     

求轨迹方程的几种常用方法

曲线都可以看做是适合某种条件的点的轨迹,由曲线的性质建立曲线的方程是解析几何的基本课题之一,每年高考几乎都有这方面的试题。求轨迹方程的一般步骤是:1、选取适当的坐标系,用(x,y)表示平面上动点M的坐标;2、根据动点满足的几何条件P(M),列出动点M的坐标x、y间的代数关系式F(x,y)=0;3、证明所得方     

慎用圆锥曲线定义解题

在求圆锥曲线轨迹方程时用定义解题既方便又快捷 ,但有时审题不清 ,思考不严密 ,造成解题错误 .现举例说明以便引起重视 .例 1　动点 P到直线 x =5的距离与它到点 F ( 1,0 )的距离之比为 3 ,求动点的轨迹方程 .错解 :由定义知 ,点 P的轨迹是椭圆 ,所以 e=33 ,c=1,a2c=5 ,所以 a2 =5 .所以 b2 =a2 -c2 =4.故所求方程为 x25 +y24=1.正解 :设 P( x,y) ,由题意得|5 -x|( x -1) 2 +y2 =3化简得 ( x +1) 212 +y28=1.例 2　已知双曲线的右准线 x =4,右焦点F ( 10 ,0 ) ,离心率 e =2 ,求双曲线方程 .错解 1:因为右准线方程为 x =4,所以 a2c=4,又 c…     

2014年高考数学必做客观题——解析几何

第1点直线方程及位置关系()必做1动点M(x,y)满足(x-sinα)2+(y-cosα)21/2=|xsinα+ycosα-1|(其中α为常数),那么动点M的轨迹是()A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线牛刀小试精妙解法动点M(x,y)的几何意义是到定点P(sinα,cosα)的距离等于到定直线l:xsinα+ycosα-1=0的距离,又P∈l,所以点M的轨迹是过P且垂直于l的直线.故选A.()必做2数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、     

一道高考试题的探究与推广

2004 年福建省高考理工 22 题,文史 21 题均涉及到如下命题: P 是抛物线C : y = x2 /2上一点,直线l 过点 P 且与抛物线C 交于另一点Q ,若直线l 与过点 P 的切线垂直,求线段PQ 中点 M 的轨迹方程. 上述命题中,线段 PQ为过切点且与切线垂直的弦,点 M 为线段 PQ 的中点.这是一道求受限动弦中点轨迹的问题,本文探究此类轨迹方程的一般形式,并予以推广. 定理 1 抛物线 x2 = 2py的弦 PQ垂直于过点 P 的切线,则 PQ中点M 的轨迹方程为 y = x2 / p p3 /(2x2) p . 证明 设 P(x1, y1),Q(x2, y2) ,M(x, y) ,由 y = x2 得 y'=…     

从2013年一道高考题产生联想

2013年陕西省高考数学理科卷第20题是:已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得的弦MN的长为8.(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C的方程;(Ⅱ)已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q.若x轴是∠PBQ的角平分线,证明直线l过定点. 解析 (Ⅰ)设动圆圆心C的坐标为(x,y),则(4-x)2+(0-y)2=42 +x2.整理得,y2=8x.故所求动圆圆心的轨迹C的方程为y2=8x.     

用“刚体运动”解一类轨迹与最值问题

我们先看一个例题 :例 1　已知动点 P在上半圆 x2 y2 =1(y≥ 0 )上运动 ,定点 Q(2 ,0 ) ,线段 PQ绕点Q顺时针旋转 90°到 QR,求动点 R的轨迹以及 R到圆心 O的距离的最大值和最小值 .这类问题的解法较多 ,较常规也较简单的解法是“复数法”:图 1先把圆方程改写成复数方程 :| z|= 1 ,设动点 P,R的复数为 z P,z R,定点 Q的复数为 z Q= 2 .再利用复数的向量旋转性质可得关系式 :(z R- z Q) i=z P- z Q,解得 z P=(z R- z Q) i z Q,代入圆的复数方程得| (z R- z Q) i z Q| =1 ,代入相关数据 ,并设动点 R(x,y) ,化为普通方程即是(x…     

《平面直角坐标系》考点集锦

一、平面直角坐标系中点坐标的确定例1(2010年中国台湾)在坐标平面上,第二象限内有一点P,且P点到x轴的距离是4,到y轴的距离是5,则P点坐标为().A.(-5,4) B.(-4,5)C.(4,5) D.(5,-4)解析:做题时先画图,如图1,过点P分别向x轴、y轴作垂线,因为P点在第二象限内,并且到x轴的距离是4,到y轴的距离是5,所以垂足在x轴、y轴上对应的数分别为-5,4,故点P的坐标为(-5,4).答案为A.点评:过点P分别向x轴、y轴作垂线时,最好把P点到x轴和P点到y轴的距离表示出来,这样再找垂足在x轴、y轴上对应的数时才不会出现错误.注意点P(a,b)到x轴的距离为|b|,到y轴的距离为|a|.     

高考第19题有更佳解法(高二、高三)

02年高考第19题:设点P到点M(-1,0)、N(1,0)距离之差为2m,到x轴、y轴距离之比为2,求m的取值范围.本题主要考查直线、双曲线等基础知识,以及基本运算、逻辑推理能力. 标准答案中对本题给了两种解法: 解法1 由已知得P(x,y)点坐标满足方程 y=±2x(x≠0) ①由P、M、N三点不共线,得 0<|m|<1,     

函数及其图象复习指导

1 复习要点提示 1.理解直角坐标系中关于坐标、原点、象限等概念。理解坐标平面内的点与有序数对是一一对应的。 2.掌握特殊点的坐标的特征 (1)若点P(x,y)在x轴上,则y=0;若点P在y轴上,则x=0。 (2)若点P(x,y)在第一象限,则x>0,y>0;若点P(x,y)在第二象限,则x<0,y>0;若点P(x,y)在第三象限,则x<0,y<0;若点P     

一道解析几何题的多角度思考

<正>题目如图1,圆C1:x2+y2=4,圆C2:x2+y2=16,点M(1,0),动点P,Q分别在圆C1,C2上,且MP⊥MQ,求线段PQ长度的取值范围.许多学生给出了如下思考、求解过程:设P(x1,y1),Q(x2,y2),由MP⊥MQ,得PQ2=(x1-1)2+y21+(x2-1)2+y22=22-2(x1+x2);又PQ2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=20-2(x1x2+y1y2).由上面两个式子得出x1x2+y1y2=(x1+x2)-1,下面就做不下去了.思维在此卡住,