含绝对值不等式的一种解法

在解形如|ｆ(ｘ)|<ｇ(ｘ)及|ｆ(ｘ)|>ｇ(ｘ)的不等式时,往往会采取下列等价变换:|ｆ(ｘ)|<ｇ(ｘ)ｇ(ｘ)>0,-ｇ(ｘ)<ｆ(ｘ)<ｇ(ｘ).|ｆ(ｘ)|>ｇ(ｘ)ｇ(ｘ)≥0,ｆ(ｘ)>ｇ(ｘ)或ｆ(ｘ)<-ｇ(ｘ);或ｇ(ｘ)<0.这样做依据的是如下性质:不等式|ｘ|<ａ(ａ>0)的解集是{ｘ|-ａ<ｘ<ａ}.不等式|ｘ|>ａ(ａ>0)的解集是{ｘ|ｘ>ａ,或ｘ<-ａ}.难道其中条件“ａ>0”是必不可少的吗?对于不等式|ｘ|<ａ,当ａ≤0时,由绝对值的几何意义可知不等式无解,即解集为.而此时满足不等式-ａ<ｘ<ａ的ｘ是不存在的,故{ｘ|-ａ<ｘ<ａ}=.因而当ａ≤0时,不等式|ｘ|<ａ的解集还是{…     

例说不等式中恒成立问题的求解思路

不等式中恒成立问题是各类考试中的常见题型,其解法灵活.那么,如何求解呢?下面通过例题加以说明.一、分离参数,转化为求函数的最值例1　设ｆ(ｘ)是定义在(-∞,3]上的减函数,已知ｆ(ａ2-ｓｉｎｘ)≤ｆ(ａ+1+ｃｏｓ2ｘ)对于ｘ∈Ｒ恒成立,求实数ａ的取值范围.分析:应在定义域和增减性的条件下去掉函数符号ｆ,使ａ从ｆ中解脱出来.解:原不等式等价于ａ+1+ｃｏｓ2ｘ≤ａ2-ｓｉｎｘ≤3对ｘ∈Ｒ恒成立,即　　　　　　　　ａ2≤3+ｓｉｎｘ,ａ2-ａ≥1+ｃｏｓ2ｘ+ｓｉｎｘ①②对ｘ∈Ｒ恒成立.令ｔ(ｘ)=3+ｓｉｎｘ,则①对ｘ∈Ｒ恒成令ｓ(ｘ)=1+ｃｏｓ2ｘ…     

高中数学总复习测试题

选择题1 下列各式 :( 1) 2 0 0 1 {ｘ|ｘ≤ 2 0 0 3};( 2 ) 2 0 0 3∈ {ｘ|ｘ <2 0 0 3};( 3) {2 0 0 3} {ｘ|ｘ≤ 20 0 3};( 4)Φ∈ {ｘ|ｘ <2 0 0 3},其中正确式子的个数为 (　　 )Ａ 1　　Ｂ 2　　Ｃ 3　　Ｄ 42 满足ｆ(π +ｘ) =- ｆ(ｘ) ,ｆ( -ｘ) =ｆ(ｘ)的函数 ｆ(ｘ)可能是 (　　 )Ａ ｓｉｎｘ　Ｂ ｓｉｎ ｘ2 　Ｃ ｃｏｓ2ｘ　Ｄ ｃｏｓｘ3 若函数 ｆ(ｘ) =ａｘ(ａ >0 ,ａ≠ 1)为减函数 ,那么 ｇ(ｘ) =ｌｏｇ1ａ1ｘ - 1的图象是 (　　 )Ａ　　　　　　　ＢＣ　　　　　　　Ｄ4 如果ａ·ｂ =ａ·ｃ且ａ≠ 0 ,那么 (　　 )Ａ ｂ =…     

巧解一道全国联赛试题

众所周知 ,若ａ≥ｂ且ａ≤ｂ ,则ａ=ｂ .利用这一结论常能解决一些数学问题 .下面是一道 2 0 0 2年全国联赛试题 :已知 ｆ(ｘ)是定义在Ｒ上的函数 ,ｆ( 1 ) =1 ,且对任意ｘ∈Ｒ都有ｆ(ｘ+ 5 )≥ ｆ(ｘ) + 5 ,ｆ(ｘ+ 1 )≤ ｆ(ｘ) + 1 .若 ｇ(ｘ) =ｆ(ｘ) + 1 -ｘ ,则ｇ( 2 0 0 2 ) =.解　由 ｇ(ｘ) =ｆ(ｘ) + 1 -ｘ ,得ｇ(ｘ+ 5 ) =ｆ(ｘ + 5 ) + 1 -ｘ-5=ｆ(ｘ + 5 ) -ｘ-4≥ ｆ(ｘ) + 5 -ｘ -4=ｆ(ｘ) + 1 -ｘ =ｇ(ｘ) ,ｇ(ｘ + 1 ) =ｆ(ｘ+ 1 ) + 1 -ｘ -1=ｆ(ｘ+ 1 ) -ｘ≤ｆ(ｘ) + 1 -ｘ =ｇ(ｘ) .∴ｇ(ｘ) ≤ｇ(ｘ+ 5 )≤ ｇ(ｘ + 4)…     

奇函数、偶函数图象定理的推广

由奇函数、偶函数的图象定理知 :若ｆ( -ｘ) =-ｆ(ｘ) ,则函数ｆ(ｘ)的图象关于原点对称 ;若 ｆ( -ｘ) =ｆ(ｘ) ,则函数 ｆ(ｘ)的图象关于 ｙ轴对称 .下面我们研究此结论的推广情况 .1 若 ｆ(ａ -ｘ) =-ｆ(ａ+ｘ) ,则函数ｆ(ｘ)的图象关于点 (ａ ,0 )对称 ;2 若 ｆ( -ｘ) =2ａ -ｆ(ｘ) ,则函数ｆ(ｘ)的图象关于点 ( 0 ,ａ)对称 ;3 若ｆ(ａ-ｘ) =ｆ(ａ +ｘ) ,则函数ｆ(ｘ)的图象关于直线ｘ =ａ对称证明　 1 由 ｆ(ａ-ｘ) =-ｆ(ａ +ｘ)得 ,函数ｆ(ａ+ｘ)是奇函数 ,从而函数 ｆ(ａ+ｘ)的图象关于原点对称 ,由此得函数ｆ(ｘ)的图象关于点 (ａ …     

高考数学综合训练

第Ⅰ卷一、选择题1 设全集Ｉ =Ｒ ,Ｍ ={ｘ|ｆ(ｘ) <0 } ,Ｎ ={ｘ|ｇ(ｘ) >0 } ,且 Ｍ Ｎ Ｒ .则集合Ｅ ={ｘ|ｆ(ｘ)≥0 ,且 ｇ(ｘ)≤ 0 }等于 (　　 ) .Ａ .Ｍ　　　　　Ｂ .ＮＣ . Ｄ .Ｍ∪Ｎ2 .已知函数 ｆ(ｘ) =ｘ -1ａ (ａ >0 ,ａ≠ 1 ) ,在同一坐标系中 ,ｙ =ｆ- 1(     

构造二次函数求解数学问题

二次函数在中学数学中是一个十分重要的函数 ,首先是因为它与人类生产、生活实际联系紧密 ,用途广泛 ;其次更重要的是它本身具备了很强的解题功能 ,许多数学问题都可以采用构造二次函数的方法来获得解答．以下通过举例加以说明．一、构造二次函数求解一元二次不等式问题例１已知关于ｘ的不等式ａｘ２+ａｘ -１＜０在实数集Ｒ上恒成立 ,求实数ａ的取值范围．解 :(１)当ａ＝０时 ,显然成立．(２)当ａ≠０时 ,令 ｆ(ｘ)＝ａｘ２+ａｘ-１．要使不等式 ｆ（ｘ）＜０在实数集Ｒ上恒成立 ,则该二次函数的图像必须在ｘ轴的下方 ,并且与ｘ轴无交点 ,…     

选择主元 巧证不等式

例1　ｆ(ｘ)是定义在[-1,1]上的奇函数,ｆ(ｘ)=ｇ(2-ｘ),而ｘ∈[2,3]时,ｇ(ｘ)=-ｘ2+4ｘ+ｃ(ｃ为常数).(1)求ｇ(2)及ｃ的值.(2)求ｆ(ｘ)的表达式.(3)对任意ｘ1、ｘ2∈[0,1]且ｘ1≠ｘ2,求证:|ｆ(ｘ1)-ｆ(ｘ2)|≤1.解:(1)ｇ(2)=ｆ(0)=0,ｃ=-4.(2)ｆ(ｘ)=ｇ(2-ｘ)=-ｘ2,ｘ∈[-1,0];ｘ2,ｘ∈(0,1].(3)欲证的|ｆ(ｘ1)-ｆ(ｘ2)|≤1|ｘ22-ｘ21|≤1-1≤ｘ22-ｘ21≤1.又因为ｘ1、ｘ2∈[0,1],ｘ1≠ｘ2,故ｘ21∈[0,1],ｘ22∈[0,1].先视变元ｘ2为主元,再视ｘ1为主元,连续放缩,-1≤-ｘ21≤ｘ22-ｘ21≤1-ｘ21≤1,故原不等式成立.例2　ｆ(ｘ)=ｘ3+ａｘ+ｂ定…     

不等式中“恒成立”问题的几种处理方法

在不等式问题中常常涉及有关“恒成立”的问题 .解决这类问题需要一定的技巧 .本文通过一些例子说明不等式中有关“恒成立”问题的几种处理方法 .1 借助不等式的有关知识许多不等式或不等关系本身就有“恒成立”的含义 .如ａ2 ｂ2 ≥ 2ａｂ ,｜ｓｉｎｘ｜≤ 1等 .利用这些知识就可以达到解题目的 .例 1　已知ｆ(ｘ) =2ｌｏｇａ(ｘ 2 ) ｌｏｇ1ａ(ｘ2 4ｘ) (ａ >0且ａ≠ 1 ) ,当ｘ∈ (0 , ∞ )时 ,ｆ(ｘ) <0恒成立 .试讨论函数在 (0 ,∞ )上的单调性 .解 :∵ｆ(ｘ) =2ｌｏｇａ(ｘ 2 ) ｌｏｇ1ａ(ｘ2 4ｘ)=ｌｏｇａ(ｘ 2 ) 2ｘ2 4…     

等价转化巧解参数不等式中的恒成立问题

求解含参数不等式的恒成立问题是不等式中的重点和难点 ,也是各类考试的热点 .这类问题由于既有参数又含变量 ,学生往往望而生畏 ,常因处理不当而费时费力 ,怎样处理这类问题呢 ?等价转化是捷径 ,即运用等价转化的思想将其转化为函数问题 ,运用函数的性质求解既能解决问题又能减少运算量 .1　转化为一次函数问题通过变形将其转化为一次函数 ,运用一次函数的性质求解 .一次函数 ｆ(ｘ) =ｋｘ ｂ(ｋ≠ 0 )有如下性质 :(1) ｆ(ｘ) >0在 [ａ ,ｂ]上恒成立 ｆ(ａ) >0且ｆ(ｂ) >0 ;(2 )若ｋ >0 ,则 ｆ(ｘ) >0在 [ａ ,ｂ]上恒成立 ｆ(ａ) >0 ;(3)…