一道竞赛题的简捷解法

问题:已知f(x,y)=f(x+y),x、y∈R,且f(7)=7,求f(1986)。分析:给出的x、y∈R,从题设和题求看,只需x、y∈N就够了。这是因为f(xy)=f[(xy)·1]=f(xy+1),故有解:设xy=a(a∈N),∵f(xy)=f(x+y),∴f(a)=f(a·1)=f(a+1)。这就是说,对于任意自然数a,相邻两个自然数的函数值相等,亦即所有自然数的函数值相等.∵f(7)=7,∴f(1986)=7。     

组合式sum from k=1 to n((-1)~kK~mC_n~k(m∈N))的计算

引理1 当m相似文献   

纯循环小数循环节的规律

纯循环小数循环节的规律是a/b(a,b是自然数,a＜b,(a,b)=1)能表示成纯循环小数的充要条件是(b,10)=1,且对满足上述条件的任意小于b的自然数a,a/b化成小数时循环节节长都是相同的.进一步得到了对任意自然数b((b,10)=1),a/b化成小数时节长的长度规律.     

分数分解的定理与方法

一、预备知识——共轭约数 对于一个自然数N来说,如果它能表示为两个不同自然数a与b的积,即 N=ab (a≠b) 那么称呼a与b为N的一对共轭约数。     

渐近思维 挖掘内涵(高一)——从一道竞赛题谈起

题用S(n)表示自然数n的数字和.例如S(10)=1+0,S(909)=9+0+9=18,若对任何n∈N,部有n+S(n)≠x,满足这个条件的最大的两位数x的值是____. (第13届“希望杯”) 这道题很能激发兴趣和考查思维能力,在赛后讲评时,我重点放在启迪学生渐进思维、挖掘内涵上.     

(n,d)-平坦模与(n,d)-余挠模

设R是一个环,n、d为两个给定的非负整数,一个R-模M称为(n,d)-平坦,若对于任意n-表示R-模Q,有TorRd+(1Q,M)=0.M称为(n,d)-余挠,若对于任意(n,d)-平坦R-模N,有Ext1R(N,M)=0.本文运用这些定义刻画了n-凝聚环.     

非标准实数系

本文利用滤子(Filters)理论的基本事实,建立起非标准实数系~*R。一、滤子及超滤子(UtIrafilters) 以N表示一切自然数的集。取N的一些子集所成的族φ,如果满足下列三条件,φ就称为N上的一个滤子: (F_1) φ的任意两元的交仍属于φ; (F_2) 任意包含φ的一元的集属于φ; (F_3) 空集不属于φ。     

自学集合及其运算的几个预备知识

1.实数的分类:《算术基础理论》第4页指出:“N表示自然数集,Z表示整数集(代数里的整数集就是一切正整数、一切负整数和零组成的集合),Q表示有理数集,R表示实数集。”正确理解这几个数集的相互关系,必须复习一下实数的分类。     

怎样确定m~n(m,n∈N)的个位数字

我们将自然数m的个位数字记为u(m),例如u(314)=4,u(20)=0等等。显然,若m_1、m_2、…,m_n∈N,则u(m_1m_2…m_n)=u(u(m_1)·u(m_2)…u(m_n)),从而u(m~n)=u(u~n(m)).     

自然数方幂的累进和

设S_t(n)=1~t 2~t … n~t,SS_t(n)=sum from i=1 to n sum from j=1 to i (j~t)=1~t (1~t 2~t) … (1~t 2~t … n~t),t∈N,并称SS_t(n)为自然数方幂的累进和。文[1]给出:     

应用概率巧解题

一、证明不等式例1 正数a,b,C,A,B,C满足条件a A=b B=c C=k,求证:aB bC cA相似文献   

1991年日本数学奥林匹克试题及解答

1.设以t:(1一t)f自l匕例内夕)△ABC的三边BC,CA,AB的点分别为P,Q,R,以线段Ap,BQ,cR为三边的三角形面积为K,△ABc的面积为L,求尽(用,表示). 为 2.设N为全体正整数的集合,从N到N的映射P,q定义如下: P(1)=2,P(2)=3, P(3)=4,P(4)=1, 当n)S时,P(哟=氏 q(1)=3,q(2)=4, 口(3)=2,q(4)=工, 当n李5时,q(”)=:. (1)试找出一个映射f,使得当恰当地构造由N到N的映射f时,对任意的,任N,有f(f(二))=P(:)+2成立. (2)试证明:不存在从N到N的映射f,对于所有的:任N,f(f((,))=尽(。)+2都成立. 3.设A为拓位的正整数.证明:可以从A中恰当地取出相邻的…     

自然数方幂的累进和的两个猜想的证明

盛宏礼在《自然数方幂的累进和》(载《中学数学月刊》1997年第1期)一文中定义了自然数方幂的累进和如下:设S_t(n)=1~t 2~t … n~t,SS_t(n)=∑S_t(j),t∈N,并称SS_t(n)为自然数方幂的累进和,通过证明下述定理,建立了累进和与方幂和之间的关系, 定理 SS_t(n)=(n 1)S_t(n)-S_t 1(n).(1)     

1998年上海市高中数学竞赛

一、填空题(每小题7分,共70分) 1.设f(n)是定义在自然数集N上的函数,且满足f(1)=2,f(n 1)=[2f(n) 1]/2.则f(1998)的值是___.     

零也是自然数

新的国家标准规定:自然数包括数0,即自然数集 N={0,1,2,3,…}人民教育出版社新编的中等师范学校教科书《代数与初等函数》第一册(1998年12月第1版)中已明确规定:自然数包括数0,而将原来意义上的不包括数0的“自然数集”称为正整数集,用 N~*表示。为保证数学概念     

对周期数列的探讨

定义1.对于无穷数列{x_n},如果存在一个自然数m,当n取一切自然数时,等式 x_(n m)=X_n恒成立。则称数列{x_n}为周期数列,自然数m叫做它的一个周期。如{sin(2n/3)π}就是周期数列,3是它的一个周期。定义2.如果有若干个自然数都是同一数列的周期,则把最小的周期叫做这个数列的最小周期。如4,8,…,4k(k∈N)都是数列{i~n}的周期,4是它的最小周期。本文以后所提到数列的周期都是指最小周期。下面我们求探讨周期数列{x_n}的通项公式。 (一) 周期为1的数列: x_(n 1)=x_n。即为常数列:x_n=c。     

冯跃峰的一个猜想不成立

设n~a二10-+…+a:·10+a。为任一自然数,a。,…,a。为数码,a.转。,二任N,T(n)=a二+…+a石;现在记T:(n)=T(n),孔+:(n)=T(孔(n)),k=l,2,…,则T,(n)称为T的k次迭代.对于给定的r任N,以Q(r)表示迭代{几(n)}中的循环圈数,如Q(l)~9,Q(2)=z,Q(3)=9,冯跃峰猜想:对:eN,有Q(2:一1)=9,Q(25)=2. 这猜想是不成立的,例如:Q(4)一6而不是2.具体的循环圈是 {l},{1 634},{8208},(9474},{6514,2 178},{1138,4179,9219,13139,6725,4388,4514}. 〔编者附记〕冯跃峰这一猜想见《中等数学》1993年第2期《短论集锦》,后又收入杨之编著的《初等数学研究的问题与…     

自然数方幂的一个循环性质

将自然数n的各位数字相加．再将得数的各位数字相加，直到得到一个一位数m为止，这时我们记R(n)=m.     

分数的除法

我们已经知道:当a、b是自然数.且b≠0时,除法算式a÷b表示两种意义: (1)由"量÷基准量(度量单位)=量数"可知:a÷b可以表示a是b的几倍或几分之几.     

“枚举法”运用之一例

整数有许多有趣的性质,这里证明其中之一。我们用记号 m(N)表示整数 N 的个位数字,例如 m(27)=7,m(4~2)=6,m(210~3)=0等等。定理:设 N,n 都是正整数,则有m(N~n)=m(N~(n+4))。我们用“枚举法”(亦称“穷举法”)来证明这个定理。