第二讲 集合问题及解法

一集合的有关结论课本中有关集合的概念和基本运算(并、交、补)要理解透和熟练掌握,除此以外,还应知道如下一些结论.幂集合:由集合 A 的所有子集构成的集合.称为 A 的幂集合,常用 P(A)表示:如 A=(1,2,3},则 P(A)={(?),{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.因 n 元素集的子集个数为     

第43届IMO试题解答

1 .设n为任意给定的正整数 ,T为平面上所有满足x +y 相似文献   

第43届IMO试题解答

一、设n为任意给定的正整数,T为平面上所有满足xyn+<,,xy为非负整数的点(,)xy所组成的集合,T中每一点(,)xy均被染上红色或蓝色,满足:若(,)xy是红色,则T中所有满足xx,yy的点(,)xyⅱ均为红色.如果n个蓝点的横坐标各不相同,则称这n个蓝点所组成的集合为一个X集；如果n个蓝点的纵坐标各不相同,则称这n个蓝点所组成的集合为一个Y集. 证明:X集的个数和Y集的个数一样多. 证 对01in?,记直线xi=上的蓝点个数为ia,直线yi=上的蓝点个数为ib,根据乘法原理,X集的个数为0121naaaa-L,Y集的个数为0121nbbbb-L. 我们对n归纳证明:{(,)|nTxyxy=+< ,,}nxyz…     

一道数学问题的两种别解及推广

<数学通报>2004年第4期数学问题1487题:有两个等差数列{an},{bn},它们的前n项Sn与S'n之比(Sn)/(S'n)=(7n 2)/(n 3).     

一道93年数学联赛题的推广

九三年全国高中数学联合竞赛第一试中有一个题：“集合A、B的并集视为不同的对，则这样的（A，B）对的个数有多少个．”现将此题推广为；N）的集合A、B的组（A，B）的个数．解：对集合A中的元素个数进行分类，A中元素个数可以是n个，当A中元素个数为k个时，集合B中元素至少要包含集{x_1,x_2,x_3,…,x_n}中的另个元素此时集B的种数为所以当集A的元素个数为k个时，共有的（A，B）对的个数为因此满足对的总个数为：显然满足的集A、B的对数为3~3=27个．一道93年数学联赛题的推广@徐民江$浙江绍兴平水中学…     

分组数列问题的解法及其应用

在国内外数学竞赛试题中,常活跃着一类分组数列问题。它的解法独特,构思巧妙,本文将以近年来国内的一些竞赛题为例,浅谈其解法及应用。一、分组数列问题的特殊解法 1.抓住分组数列的首项或末项例1(1991年全国高中数学联赛题)将正奇数集合{1,3,5,…}由小到大按第n组有2n-1个奇数进行分组: {1},{3,5,7},     

划分整数集合的相关问题

设集A_1,A_2,…,A_n是集A的非空子集,且满足: (1)A_1∩A_j=(?),(i≠j,i,j=1,2,…,n) (2)A=A_1∪A_2∪…∪A_n。则称(A_1,A_2,…,A_n)为A的一个划分。整数集合的划分在近年数学竞赛中时常出现,其题型通常有两类:一是根据子集应具备的某种特性,讨论划分的存在性;二是根据给定的划分,讨论划分后子集有关特性. 一、求解集合划分问题的基本思路划分一个集合,就是构造这十集合的子集.而这种构造过程经常要综合运用多种数学思想和方法例1 求两个最小的正整数n,使集{1,2,…,3n-1,3n}可以分为n个互不相交的三元组{x,y,z},其中x+y=3z (1990年国家集训队训练题) 解:设所求三元数组为(x_i,y_i,z_i),(i=1,2,…,     

复数集上"(m√z)n=m√zn(z≠0,z∈C)"成立的条件

我们知道:n√a(a≥0,a∈R)在实数集上是表示a的n次算术根,它是一个单元素集合,而n√z(z≠0,z∈C)在复数集上是表示一个具有n个元素的集合,即:n√z={n√r(cos 2kπ θ/n isin2kπ θ/n)|z≠0,θ=argz,r=|z|,k=0,1,…,n-1},由于在实数集与复数集上数的n次方根的概念截然不同,因此,实数集上的某些性质不能完全机械地搬到复数集上去.     

又三个简单命题及应用

贵刊1998年第9期《一个简单命题及其应用》一文给出如下命题: 设{x_n},{y_n}是两个正项数列,如果x_1>y_1,且x_(n 1)/x_m>y_(n 1)/y_n那么x_n>y_n。 受此启发,本文将再给出三个相关结果: 命题1 设{x_n},{y_n}是两个非零数列,     

有限集的幂集的Hasse图

设集合A为含有n个元素的有限集,文中证明了A的幂集2A与包含关系构成的偏序集〈2A,〉的Hasse图就是一个n维立方体,从而建立了偏序集〈2A,〉与n维立方体之间的关系。     

复数集上“（mz）^n=mz^n（z≠0,z∈C）”成立的条件

我们知道：na(a≥0，a∈R)在实数集上是表示a的n次算术根，它是一个单元素集合，而nz(z≠0，z∈C)在复数集上是表示一个具有n个元素的集合，即：nz={nr(cos2kx θn isin2kx θn)|z≠0,θ=argz,r=|z|,k=0,1,…，n-1}，由于在实数集与复数集上数的     

用集合的分划指导解题

设π ={Ai|i∈k}是集合A的某些非空子集的集合 .如果集合A的每一个元素在且只在其中之一Ai中 ,即如果(1 )Ai∩Aj= ,当i≠j时 ;(2 )∪i∈kAi=A ,则称集合π是集合A的一个分划 .每个Ai 称为这个分划的一个分划块 .图 1中 ,集合π ={S1,S2 ,S3,S4 }就是集合A的一个分划 ,S1,S2 ,S3,S4 都是这个分划的一个分划块 .用集合的分划可以指导我们将如下一类数学问题化归为一次方程组问题 ,解方程组即可完成对原问题的求解 .例 1　一次数学竞赛 ,仅有A、B两题 ,参赛学生1 5人 .不能解出A题的有 5人 ,仅能解出A题的有 8人 .两题都能解出的有几…     

一道数列复习参考题的再探讨

高中《数学》(试验修订本·必修 )第一册(上 )第 1 4 2页复习参考题第 4题为“有两个等差数列 {an},{bn},a1 + a2 +… + anb1 + b2 +… + bn=7n+ 2n+ 3,求 a5b5.”文 [1 ]将其深化、拓展 ,得出了关于等差与等比数列的两个结论 .受其启发 ,本文将作进一步的推广 .定理 1　有两个等差数列 {an},{bn},其前 n项和 Sn与 S′n 之比为 Sn S′n=f( n) ,对 m,l∈N*,且 m≤l,则 Sl- Sm- 1 S′l- S′m- 1=f( l+ m- 1 ) .证明　∵ {an},{bn}为等差数列 ,∴ Sl- Sm- 1 S′l- S′m- 1=am+ am+1 +… + albm+ bm+1 +… + bl=2 ( am+ am+1 +… + al)2 (…     

集合题常规解法例析

集合题常规解法颇多,现例析如下: 一、公式法例1 (1992年全国高考题)设含有10个元素的集合的全部子集数为S,其中由3个元素组成的子集数为T,则T/S的值为——。解析:由含有n个元素的集合子集数公式得.S=210,又由组合数公式得T=C103,所以T/S=15/128.     

两道IMO试题的血缘关系

(Ⅰ)判断并证明:是否能够在半径为1的圆周上选取1975个点,使得其中任意两点间的直线距离都是有理数.(17届IMO第5题) (Ⅱ)证明:对于任何自然数n≥3,在欧氏平面上存在一个以个点的集,使得每一对点之间的距离是无理数,并且每三个点构成     

安徽省数学奥林匹克学校第四期培训班招生试题(高一)

一、填空题(每小题10分) 1.三元集合(1,2,3}的一切子集可以排成一列,使满足条件:1)每个子集在列中恰好出现一次,2)每个子集(从第二个子集开始)恰好是前面一个子集增加一个元素或者去掉一个元素.合乎上述要求的一种排列法是:. 答必,川,{1,2},{2},{z,s),{l,2,3},{l,3},{3}. 2.已知x、y为互质的自然数,则下面方程: 19x+93y=4之y的所有解为(工,y)= 等(31,19). 由方程可见,x}93,,yl一gx,因x、,互质,故,】一9.从而,y〔{1,19!.若y=l,则原方程成为15x=一93,无整数解,若y=19,则原方程成为3·19x=19·93,从而x=31. 3.方程组 lx+xy+,=2+3了~丁 t砂+尹=6…     

一道课本习题的拓展及应用

高中数学人教版第一册(上)第137页有这样一道题:两个等差数列{a_n},{b_n},且(a_1 a_2 … a_n)/(b_1 b_2 … b_n)=(7n 2)/(n 3),求(a_5)/(b_5)的值.分析:设{a_n}的公差为d_1,前n项和为S_n,{b_n}的公差为d_2,前n项和为T_n,则(S_n)/(T_n)=(7n 2)/(n 3).     

算术基础理论自测试题(一)——参考答案

集合 1.(1)A二{一月,三月,五月,八月,十月,十二月};(2)B={4,6,8,10,12,14,16,18,20卜。 2.自然数集:任,暖,暇,任,任,磋。整数集:任,任,磋,任,任,偌。分数集:任,任,任,任,任,任。 4.中,{o},{z},{2},{o,i},{02},{1,2},{0,i,2}。 5.(1)注UB={1,2,3,4,5,6,7}。月自B={4,5}。(2)①卫,②卫;③三。 6.(1)S:与S:,S,与S:。(2)=S:。 (3)={全校师生员工}。(4)S:,S。。 7 .A门B={1,5}o 8 .A nB={6,12,”一h 9.月/B=笼5}。B/A=中。 10.A={1,2,6,7,8},万={z,2,3,5,6},灭门百={i,2,6},A UB{z,2,s,5,6,7,8}。 整数 (一)填空 1,一类等价的非空有限…     

集合与简易逻辑竞赛指导

一、基础知识精讲1.相对补集:称属于A而不属于B的全体元素组成的集合为B对A的相对补集或差集,记作A-B.2.由n个元素组成的集合的所有子集个数为:2n     

2009中国西部数学奥林匹克

第一天 1.设M是一个由实数集R去掉有限个元素后得到的集合.证明:对任意的正整数n,都存在n次多项式f(x),使得f(x)的所有系数及n个实根都属于M.(冯志刚提供)