一个不等式的证明

定理nn-1[(m+1)n-1n-1]<∑mi=11niαn-αn-1(α>1,n∈N,n≥2).证明由二项式定理得(α-1n)n=∑nr=0(-1)rCrn1nrαn-r,∵Crn(1n)r-Cr+1n(1n)r+1=Cr+1n(1n)r+1·nr+rn-r≥0,∴Crn(1n)r≥Cr+1n(1n)r+1(当且仅当r=0时等号成立).若n为偶数时,(α-1n)n=αn-αn-1+(C2n1n2αn-2-C3n1n3·αn-3)+…+(Cn-2n1nn-2α2-Cn-1n1nn-1α)+Cnn1nn>αn-αn-1;若n为奇数时,(α-1n)n=αn-αn-1+(C2n1n2αn-2-C3n1n3·αn-3)+…+(Cn-1n1nn-1α-Cnn1nn)>αn-αn-1.2定理的证明(1)∑m…     

贝努利不等式的应用

贝努利不等式 :设 x>- 1 ,且 x≠ 0 ,n是不小于 2的整数 ,则 ( 1 x) n>1 nx.这个不等式的证明方法之一是用数学归纳法 .读者可参考现行课本代数下册 ,也可用均值不等式证明 :对 n∈ N,n≥ 2 ,当 - 1 0 ,1 nx≤ 0 ,因而 ( 1 x ) n>0≥ 1 nx,故不等式成立 ;当 x>- 1n且 x≠ 0时 ,n 1 nx =n ( 1 nx)· 1· 1… 1(n- 1 )个<( 1 nx) 1 1 … 1n =1 x,∴ ( 1 x) n>1 nx.此处不等式严格成立在于 x≠ 0综上 ,只要 x>- 1且 x≠ 0 ,均有 ( 1 x) n>1 nx( n≥ 2 ) .下面给出定理的应用例 1　已知 …     

研究一道奥林匹克试题

2004西部数学奥林匹克试题第三题为:求所有的实数k,使得不等式a2+b2+c2+d2+1≥k(a+b+c+d)对任意a,b,c,d∈[-1,+∞)都成立。文[1]给出它的解为k=34,从而上题可改叙如下:定理1对于任意a,b,c,d∈[-1,+∞),有a3+b3+c3+d3+1≥34(a+b+c+d)。证明见文[1]。进一步研究,又可得到如下的几个定理:定理2设k为大于1的偶数,则当n≥(k-1)k-1时,对坌xi∈R(i=1,2…,n),有:ni=1移xik+1≥nk xi。证明考察函数f(x)=nxk+1-kx,则f'(x)=k(nxk-1-1),令f’(x)=0,由k为大于1的偶数,得x=1k-1姨n,即当xk-1姨1n时f(x)单调增,即fmin(x)=f(1k-1姨…     

关于一个Hardy不等式的加强

加强了p=32时的Hardy不等式,建立了如下的不等式∑∞n=11n∑nk=1ak32<332∑∞k=11-15·13n+3an32,an≥0,(n∈N+),0<∑∞n=1an32<+∞。     

运用组合公式求特殊级数的部分和

运用组合公式Cnk=Cn-kn,Ckn+1=Ckn+Ck-1n推导并证明了级数∞n=1∑n(n+1)…(n+k-1)(k∈N,k≥1)的前n项部分和的一般公式;同时给出了级数∞n=1∑nk(k∈N,k≥1前n项部分和的求法.     

倍角三角形三边关系的一个命题

定理　在△ABC中 ,∠A =n∠B ,a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边 ,a、b、c的关系记为 fn=fn(a ,b,c) =0 ,则有 (记N =14( 2n + ( -1 ) n +1+ 1 )fn=∑nk =1( -1 ) k- 1C2k - 1n b[4a2 c2 -(a2 -b2 +c2 ) 2 ]k - 1(a2 +c2 -b2 ) n- 2k+1-a( 2ac) n - 1.证明 :由 (cosB +isinB ) n =∑nk=0 Ckncosn -kB·(isinB) k=cosnB +isinnB ,得　sinnB =∑Nk=1C2k- 1n ( -1 ) k- 1sin2k- 1B　·cosn - 2k+1B .①又由sinAsinB=sinnBsinB =ab ,sinnB =absinB ,代入①即得∑Nk=1( -1 ) k - 1C2k- 1n sin2k- 2 B·cosn - 2k+1B -a =0 .②由余…     

关于分圆锥曲线弦成定比的点的问题

定理1设有心圆锥曲线的方程为mx2 ny2=1(m,n≠0),点P(x0,y0)分斜率为k的弦所成的比为λ,m nk2≠0,且(mx0 ny0k)2＞(m nk2)(mx02 ny02-1),则(mx0 ny0k)2=-(λ-1)2/4λ(m nk2)·(mx20 ny20-1)①.     

也谈由函数方程确定的周期函数

读本刊1991年第五期《由一类函数方程确定的周期函数》》,深受启发,特再给出几种由函数方程所确定的周期函数,权作该文的补充。定理1 若函数f(x)(x∈R)对任x满足方程 f(x+α)+f(x+β)=k (1) (α、β、k均为实常数,α≠β),则f(x)是以2|α-β|为一个周期的函数。证明由(1)可知,对(?)x∈R有 f(x+a)=k-f(x+β) 将上式中x换成x-a,则有 f(x)=k-f(x+(β-α)) 反复使用上式,则有 f(x)=k-[k-f(x+2(β-α))] =f(x+2(β-α)) 同理可证 f(x)=f(x-2(β-α)) 则f(x)是以2|α-β|为一个周期的函数。定理2 若函数f(x)(x∈R)对任x满足方程 f(x+a)+f(x+β)=2f(x+(α+β)/2)cosmπ/n(2) (其中α≠β,n为非1自然数,m为非零整数,且n、m     

2001年高考（理科）第20题的巧证与推广

今年全国高考 (理科 )第 2 0题 :已知 i,m,n是正整数 ,且 1 ( 1 n) m.不等式 ( )的证明 ,标准答案提供的证法需借助 ( )的结论 ,利用二项式定理证明 ,颇有难度 .事实上无须借助 ( )的结论 ,亦可利用算术 -几何平均值不等式给出不等式( )的一种简捷明快的证法 .并可引伸推广 ,得到一组新颖的不等式 .证明　因 n>m,所以存在正整数 k使得n=m k,从而由算术 -几何平均值不等式知n ( 1 n) m=n ( 1 n) m1 k<( 1 n) m kn =nm m kn=nm nn =1 m,故 ( 1 m) n>( 1 n) m.推…     

等差、等比数列中—特殊性质的推广

性质 :若数列 {an}是等差 (或等比 )数列 ,m,n,p ,q∈ N* ,且 m +n =p +q,则 am +an= ap +aq(或 am . an =ap . aq) .此特殊性质的考查在每年的高考卷中必考 ,而且变化无穷 ,此性质还可以更完美 ,笔者将性质推广如下 ,并配以相应的例题 ,供参考 .1　性质推广定理 1　设 {an}是等差数列 ,ni,mi ∈ N* ,i = 1,2 ,3 ,… ,k,若 n1 +n2 +n3 +… +nk=m1 +m2 +m3 +… +mk,则 an1+an2 +an3 +… +ank =am1+am2+am3 +… +amk.注 :等式左右两边项数相同 .推论 1:设 {an}是等差数列 ,ni,m∈ N* ,i= 1,2 ,3 ,… ,k,若 n1 +n2 +n3 +… +nk=k . m ,则 an1…     

放缩强化命题——数学归纳法证不等式的一种技巧

数学归纳法证不等式常用到放大或缩小的策略,通过放缩把命题强化.由于更强的命题提供更强的归纳假设,所以强化以后的命题更容易用数学归纳法证明.如何放缩使命题强化,具体问题要具体分析.本文给出如下3种常用的方法,供参考.例1求证:31!+42!+53!+…+n(n+2)!<21(n∈N+)分析:设n=k时有31!+42!+…+k(k+2)!<21,则n=k+1时,31!+…+(k+k2)!+k+1(k+3)!<21+(kk++31)!,无法判断n=k+1时命题是否成立,思路受阻.然而31!+42!+…+(n+n2)!<23!+43!+…+(nn++21)!=3-13!+44-!1+…+(n(+n+2)2)-!1=12!-31!+31!-41!+…+(n+11)!-1(n+2)!=21!-(n+12)!=12-(n+12)!<21…     

一个不等式的证明及其应用

命题:设a1,a2,…,am∈R+,t1,t2,…,tm≥0,t1t2…tm≠0,m,n∈N且m≥2,n≥2.记M=an1/t1a1+t2a2…tmam+an2/t1a2+t2a3+…+tma1+…+amn/t1am+t2a1+…+tmam-1,则 M≥a1n-1+a2n-1+…+amn-1/t1+t2+…+tm≥n2-n/t1+t2+…+tm(a1+a2+…+am)n-1. 该不等式的证明用到如下几个著名的不等式:     

一道数学题的另解

题目求满足下列条件的最小正整数n:对于n存在正整数k,使得1851,即m>8.所以,n>56.当n=7m p(m∈N ,p∈N,且1≤p≤6)时,有6m 76p0,即m>p.…     

独立重复试验及二项分布的常见题型分析

一、知识梳理1.一般地,如果在1次(某)试验中某事件发生的概率是p,那么在n(n∈N*)次独立重复(该)试验中该事件恰好发生k(k=0,1,2,…,n)次的概率Pn(k)=Cknpk(1-p)n-k,它是[(1-p)+p]n展开式中的第k+1项.2.设在1次试验中某事件发生的概率是p,在n(n∈N*)次独立重复试验中该事件发生的次数是ξ,则Pn(ξ=k)=Cnkpk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n).     

《数学通报》第2562号问题的探究

《数学通报》2020年9期数学问题2562给出了不等式:已知a,b,c>0满足a+b+c=3,则1-ab 1+ab+1-bc 1+bc+1-ca 1+ca≥0(1).不等式结构对称,值得关注.为此,本文拟对不等式(1)的证明方法、变式、推广等方面作一探究.为了表述方便,由∑n k=1 x k y k·∑n k=1 x ky k=∑n k=1 x k y k 2·∑n k=1 x ky k 2≥∑n k=1 x k 2,可得柯西不等式的一个变式:引理设x 1,x 2,…,x n>0,y 1,y 2,…,y n>0,则有∑n k=1 x k y k≥(∑n k=1 x k)2∑n k=1 x ky k(2),等号当且仅当y 1=y 2=…=y n时成立.     

第一类Stirling数与Bernoulli数的解析表示式

给出第1类stirling数与Bernou lli数的解析表示式S1(n,n)=1 n∈N+n-1S1(n,m)=(-1)n-m∑k2=n-mk1∑k1-1k2=n-m-1k2…∑kn-m-2-1kn-m-1=2kn-m-1∑kn-m-1-1kn-m=1kn-mn,m∈N+,n>mb1=12b2=1n!∑n-1i=1(-1)n-ii+1∑n-1k1=n-ik1∑k1-1k2=n-i-1k2…∑kn-i-2-1kn-i-1=2kn-i-1∑kn-i-1-1kn-i=1kn-i+1(n+1)!n∈N+,n≥2因此解决了它们的计算问题。     

一个不等式及其应用

定理设x_1∈R~+(i=1,2,…,n),且p、q∈N,p≥q 则(x_1~p+x_2~p+…+x_n~p)/(x_1~q+x_2~q+…+x_n~q)≥(x_1x_2…x_n)~((p-q)/n)。 (当且仅当x_1=x_2=…=x_n时等号成立)。证明根据幂平均——算术平均不等式:若x_1∈R~+,m≥1(i=1,2,…,n),则(x_1~m+x_2~m+…+x_n~m)/n≥((x_1+x_2+…+x_n)/n)~m(当且仅当x_1+x_2=…=x_n时等号成立)。     

同焦点的有心圆锥曲线系及其应用

方程x2/m2-k+y2/n2-k=1[k≠m2,k≠n2,m>0,n>0,k相似文献   

有穷等差数列的中间项

引理在等差数列{a_n}中,若p,q,m∈N~*,且p+q=2m,则a_p+a_q=2a_m.有穷等差数列的奇数项的和用S_奇表示,偶数项的和用S_偶表示.性质1若等差数列{a_n}共有2k-1(k∈N~*,且k>1)项,则中间项a_k=S_奇-S_偶,当S_奇     

一道课本例题的再推广

高中《数学》(试验修订本·必修 )第一册(上 )第 13 2页例 4为“已知 Sn 是等比数列{an}的前 n项和 ,S3 ,S9,S6 成等差数列 ,求证a2 ,a8,a5成等差数列 .”文 [1]将其推广为 :已知 Sn 是等比数列 {an}的前 n项和 ,公比 q≠ 1,则 ak,ak+ 2 p,ak+ p成等差数列的充要条件是 Sk+ 1 ,Sk+ 1 + 2 p,Sk+ 1 + p成等差数列 (k,p∈ N* ) .文 [2 ]又将其推广为 :已知 Sn 是等比数列 {an}的前 n项和 ,公比 q≠ 1,则 ak,al,am 成等差数列的充要条件是 Sk+ p,Sl+ p,Sm + p成等差数列 (k,l,m∈ N* ,p∈ Z,且 k+ p,l+ p,m+ p≥ 1) .受其启发 ,本文将其作…