怎样利用向量证明三点共线与四点共面问题

利用向量证明三点共线和四点共面问题是现行高中教材第二册(下B)中的基本问题,有些学生对这类问题无从下手乱写一通,找不到解决这类问题的关键,其主要问题就在于对利用向量证明三点共线与四点共面的实质不理解,解决这类问题的实质和关键主要是通过证明其所对应的向量共线和共面来解决三点共线和四点共面问题,就是把证明三点共线和四点共面问题转化为证明向量共线和共面问题,其主要理论是两个定理和两个推论及反证法。     

利用向量证明共线与共面问题

利用向量证明三点共线和四点共面问题,是现行高中教材中的基本要求.有些学生对这类问题无从下手,原因就在于对利用向量证明三点共线和四点共面的实质不理解,解决这类问题关键就是把证明三点共线和四点共面问题转化为证明向量共线和向量共面问题,其主要理论是两个定理和两个推论。     

利用向量证明共线与共面

利用向量证明三点共线和四点共面问题，是现行高中教材中的基本要求。有些学生对这类问题无从下手，原因就在于对利用向量证明三点共线和四点共面的实质不理解。解决这类问题关键就是把证明三点共线和四点共面问题转化为证明向量共线和向量共面问题，其主要理论是两个定理和两个推论。     

三点共线的性质及应用

性质 设^→OA,^→OB不共线,若A、P、B三点共线,则^→OP＝λ^→OA＋μ^→OB＝1（λ,μ∈R）. 证明 因为A、P、B三点共线,所以     

关于OP^→＝xOA^→＋yOB^→一类题的解法

问题一 已知平面上三点O、A、B不共线,证明：平面上任一点P与A、B共线的充要条件是存在实数x,y,使得OP^→＝xOA^→＋yOB^→,且x＋y=1。     

利用隐含的点共线条件解題例析

在平面几何的证解题中,有的题目中隐含着某些点共线,需把这些隐含的点连结起来,首先证明这些点共线,进而借助这些共线的点证明或解出题目的结论。因此,这些隐含的点共线条件就成为证解题的突破口,使问题得以圆满的解决。例1 已知:AC、CE是正六边形ABCDEF的两条对角线,点M、N分别内分AC、CE,使AM/AC=CN/CE=r,如果B、M、N三点共线,求r。(第二十三届     

用向量证明点共线的三种方法

点共线问题是初等几何中常见的,也是饶有兴味的问题,但在证明中往往使人感到棘手,本文用向量的方法来证明之. 一、用共线向量的定义新教科书第一册(下)第5.1节告诉我们,共线向量就是平行向量,因此,若能证得过同一点的两向量平行,如AB∥BC,则三点A、B、C共线.     

三点共线问题的向量解法

共线问题是初等几何中常见的题型,在解决这类问题时,往往会想到利用解析法或利用平面几何中的一些重要定理(如:梅涅劳斯定理、塞瓦定理),但往往使人感到困难;若用平面向量来解决有关三点共线问题,不仅能够把复杂的几何推理转化为简单的代数运算,还可以使复杂的证明变得简单有序,收到避繁就简,化难为易,事半功倍之功效.下面通过若干例题谈谈如何利用平面向量的方法来解决有关三点共线的问题.已知A、B∈l,O?l,OuuCur=αOuuAur βOuuBur(α、β∈R),则A、B、C三点共线的充要条件是α β=1.证明必要性:设A、B、C三点共线,则uAuBur与uAuC…     

利用几何模型证三点共线

<正>把一个实际问题抽象为用数学符号表示的数学问题,称为数学建模,该数学问题称为原问题的数学模型.平面几何中的几何概念、图形的性质、几何公理、定理等都可以视为几何模型,利用几何模型可以顺利解决几何中的一些难题.下面介绍用几何模型证三点共线的几种方法,供参考.一、邻补角模型如图1,要证明A、B、C三点共线,可选择一条过点B的直线PBQ,并连结AB、CB,证明∠ABP与∠CBP互为邻补角,即∠ABP+     

共点共线共面问题

点共线、线共点、线共面、面共线的问题是立体几何中常见的问题．一、点共线证明点共线方法有三：1．先由两点确定一条直线,再证其余各点都在这条直线上．2．证明所有点是两个平面的公共点,则所有点都在两个平面的交线上．     

三点共线的一种面积证法

定理：若S_(△ABC)＝0，则A、B、C三点共线．这个定理在证明某些较难的三点共线问题中往往有着出奇制胜的作用．下面试举三例来体现它的证明技巧．倒1凸四边形ABCD中，S_(△ABg)＝3，S_(△ADC)求证：BC、AC的中点E、F和D共线．国一赛题的等价命题）．证如图1由条件得：所以由上述定理知：D、E、F三点共线．例2已知AC、CE是正六边形ABCDEF的两条对角钱，点M、N分别内分AC、CE且使求证：B、M、N三点共线．（IMO·23第5题的逆命题）．证设正六边形面积例3圆外切四边形ABCD中，内切圆圆心为O，E、F分别为对角线AC和BD…     

怎样判断三点共线？

这是一道以三点共线为背景的题目,怎样判断三点共线呢？针对这个问题,笔者经过认真思考和研究,给出8种证明方法,希望同学们看完后能明白如何解决三点共线问题．     

向量在高考解析几何中的应用(高二、高三)

本文着重介绍平面向量在解析几何中的几种应用.1.证明三点共线例1 已知O(0,0),B(1,0),C(b,c)是△OBC的三个顶点,写出△OBC的重心G,外心F,垂心H的坐标,并证明F、G、H三点共线.(02年北京高考)     

思维方法趣谈（四）——巧用对称性

题目:已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5).求证:A、B、C三点共线.下面是笔者归纳总结得出的十种证明方法,在此奉献给同学们参考.证法一:利用斜率公式证明之.由斜率公式K=y2-y1x2-x1得:KAB=3-(-1)1-(-1)=2.KAC=5-(-1)2-(-1)=2∴KAB=KAC∵直线AB、直线AC有公共点A.∴A、B、C三点共线.证法二:利用两点间的距离公式证明之.∵|AB|=[1-(-1)]2+[3-(-1)]2=25|BC|=(2-1)2+(5-3)2=5|AC|=[2-(-1)]2+[5-(-1)]2=35∴|AB|+|BC|=|AC|∴A、B、C三点共线.证法三:利用定比分点坐标公式证明之.设A(-1,-1),B(1,3),C′(2,m)三点共线,且设AC′=λC′B…     

一道向量习题结论的应用

有这样一道向量习题:"已知O、A、B是不共线的兰点,且(?) (?)(m、n∈R),则A、P、B三点共线的充要条件是m n=1."利用该结论可以解决一系列三点共线问题.     

妙用三点共线求解向量中的最值问题

<正>一、向量问题中的三点共线结论应用向量的定比分点公式与平面向量唯一分解定理,不难证明关于三点共线的如下结论:结论设■是平面内两个不共线的向量,则三点A、B、P共线的充要条件是存在唯一的实数λ和μ,使得■,且λ+μ=1.这个结论经常用在涉及向量试题中的最值(取值范围)问题.在实际解题过程中,当题目中没有明显的预示可以使用该结论时,需要我们善于挖掘题目隐含的条件,观察图形,构造出满足使用该结论的条件,这是运用该结论的一     

三角形三点共线定理在平几中的应用

三点共线定理是指:如图(1),若∠BAD=α,∠CAD=β,AB=a.AC=b,AD=m,那么B、D、C三点共线的充要条件是sm(α β)/m=smβ/a smα/b证明:B、D、C三点共线=S△ABC=S△ABD=SABD S△ADC=1/2absin(α )=1/2amsina 1/2bmsinβ=sin(α )/m=sinβ/a十sinα/b图(1)三点共线定理(下称共线定理)虽然简单,却很重要,其用途广泛.下面结合一些几何名题、竞赛题谈谈共线定理在平几中的应用.     

平面向量等和线及其应用

平面向量问题是高考的热点,由于向量和实数运算的类似,导致不少学生对向量问题掌握不好.其中平面向量三点共线问题在高考和模拟题中经常出现,本文主要介绍平面向量的等和线及其应用.首先给出大家熟知的平面向量的三点共线定理:三点共线定理在平面中A、B、P三点共线的充要条件是:对于该平面内任意一点O.     

三点共线定理的应用

三点共线定理是:平面上三点(x_1,y_1)(x_2,y_2),(x_3,y_3)共线的充要条件是x_1 y_1 1x_2 y_2 1=0.x_3 y_3 1 关于这个定理的应用大致有两类:一是判断三点共线;二是根据三点共线证明或求解某些特殊问题。本文列举数例说明三点共线定理的后一种应用,供教学参考。     

妙用三点共线向量式

1．性质背景 在北师大版《数学·必修4》第82页例3给出了三点共线向量的表示形式,即若P、A、B三点不共线,则A、B、C三点共线的充要条件为：