一类无理函数值域的求法

形如y=m√g（x）＋n√f（x），其中g（x）＋，f（x）=c（常数）类型无理函数值域的一般性结论．本文将通过构造向量数量积给出一般性解法：     

一类无理函数最值的求法探究

本文对求形如 y=m√ax＋b＋n√cx＋d （其中mn≠0,ac〈0） 的无理函数的最值（值域）问题进行探索．     

化简双重二次根式的技巧5法

如何化简形如√m±√n的双重二次根式呢？请看下面一例： 化简：√7＋3√5-√7-3√5. 解法1 设辅助未知数法 设√7＋3√5-√7-3√5=x＞0, 两边平方,化简得14-4=x^2．     

“数字法”巧求函数y=a/cosn/mx＋b/sinn/mx的最小值

定理 设a,b∈R＋,m,n∈N,x∈（0,π/2）,则当且仅当x=arctan^2m＋n√（b/a）^m时,y=a/cosn/mx＋b/sinn/mx有最小值（a2m/2m＋n＋b2m/2m＋x）2m＋n/2m.     

Minc-Sathre不等式的初等证明

文[1]对Minc—Sathre不等式n/n＋1〈n√n!/n＋1√（n＋1）!〈1给出两个初等证明．其中证法1使用数学归纳法，并用到不等式（1＋1/k＋1）^k＋1〉（1＋1/k）^k.     

连平方根序列的收敛性及其应用

对连平方根序列｛Sn（a）｝：Sn（a）＝√a＋√a＋…＋√a（n个根号），n∈N，a∈R^＋的收敛性及其相关问题作了研究．     

完全平方数问题

2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛最后一题是一个关于完全平方数的问题： 已知a为实数，且存在正整数n0，使得√n0＋a为正有理数，证明：存在无穷多个正整数n，使得√n＋a为有理数．     

妙用倒数，灵活解题

某些分式、二次根式的问题，若能根据题目特点，对题目条件或问题合理取倒数，加以变形再求解，则可化难为易，变繁为简．例１已知xyx＋y＝１３，yzy＋z＝１４，zxz＋x＝１５，则１x的值是．思路分析：对条件分别取倒数，加以变形，可得含有欲求值的式子．解：∵xyx＋y＝１３，∴取倒数，得x＋yxy＝３．即１x＋１y＝３．①同理，可得１y＋１z＝４．②１z＋１x＝５．③∴联立解含有１x、１y、１z的三元一次方程组，即得１x＝２．例２满足m√－m－１√＞０．１的最大正整数m的值为．思路分析：m√－m－１√的倒数m√＋m－１√为正数，再结合缩…     

2006年福建省数学竞赛(高一)

一、填空题（每小题5分，共60分） 1．满足√n＋99-√n＜1的最小正整数n为——。     

对根式q1n1√a1+q2n2√a2+…+qsns√as无理性的研究

利用对称多项式以及整系数方程根的有关性质，得到了形如q1 n1√a1＋q2 n2√a2＋…＋qs ns√as（a1、a2、…、as、n1、n2、…、ns是大于1的正整数，a1、a2、…、as互不相等，q1、q2、…、qs为任意非零有理数）为无理数非常简单的一种判别方法．     

一道猜想不等式的初等证明

题目设口,b,c是正数,n是正整数,求证：a/n√a^n＋（3^-1）b^n/2c^n/2＋bn√b^n＋（3^n-1）a^a/2a/2＋c/n√c^n＋（3n-1）a^n/2b^n/2≥1.     

2012年北京大学、厦门大学等高校自主招生压轴题的初等证明

题目求证：对于任意的正整数n,（1＋√2）^n必可表示成√s＋√s-1的形式,     

方差知识的妙用

已知一组数据：x１，x２，…，xn共n个，x为这一组数据的平均数，则其方差有如下计算公式：s２＝１n（x１２＋x２２＋…＋xn２－nx２）．显然s２＝１n（x１２＋x２２＋…＋xn２－nx２）≥０．由这个方差求值公式及方差为０、各数据相等的性质，我们可以得出方差知识的一些巧妙应用．一、用来解一些特殊方程或方程组例１解方程５x－９√＋６３－５x√＝６３√．分析：这是一个可化为一元二次方程的无理方程，用常规方法也可求解，但过程相当麻烦．这里试用方差知识解之．解：视５x－９√、６３－５x√为一组数据．则s２＝１２［（５x－９√）…     

一道CMO赛题的简证

2007年中国数学奥林匹克（CMO）第一题为： 设a，b，c为给定的复数，记｜a＋b｜=m，｜a—b｜=n，已知mn≠0，求证： max{｜ac＋b｜，｜a＋bc｜}≥mn/（√m^2＋n^2）（1）[第一段]     

一道不等式的构造法证明

题目 求证1＋1/√2＋…＋1/√n〉√n（n〉1）.     

Minc-Sathre不等式的加强及简便证明

文献[1]中给出了Minc-Sathre不等式 n/n＋1〈n√n!/n＋1√（n＋1）!〈1 （n∈N^＊）① 此不等式可以用高等数学中的Stirling公式证明．文[1]给出了它的两个初等证明．文[2]给出了它的一种加强：     

直线与曲线相切只有一个公共点吗？

例1 已知直线l：y=2x＋m,椭圆C：x^2/4＋y2/2=1,试问当m取何值时,直线l与椭圆C有且只有一个公共点？ 解析 本题可用△=0求方程组{y=2x＋m,x^2/4＋y2/2=1有唯一解.求出m=±3√2,此时l的方程为y =2x＋3√2或y=2x-3√2,所以直线与该椭圆在x=-4/3√2或x=4/3√2时,只有唯一公共点A（-4/3√2,√2/3）或A（4/3√2,-√2/3）.故相切.     

一类无理函数值域的新求法

关于无理函数f（x）=m√x^2＋1＋nx（其中mn〈0,│n/m│〈1）（以下称函数A）值域的求法在很多数学刊物上都有介绍,经笔者探究,有下面新求法。首先介绍一个引理。     

二次根式化简的若干技巧

某些二次根式的化简，如能注意根据题目本身的特点，灵活施以技巧化简的方法，往往可以事半功倍．下面列举几例说明．一、逆用运算性质例１计算（２√＋３√）１９９０（２√－３√）１９９１．解：原式＝［（２√＋３√）（２√－３√）］１９９０·（２√－３√）＝（－１）１９９０（２√－３√）＝２√－３√．评注：根据底数的特点，逆用了幂的运算性质，使运算简捷．二、巧用因式分解例２化简１＋３２√－２３√２√＋３√＋６√．解：原式＝２√＋３√＋６√解：原式＝（３√＋２√）（３√－２√）＋１８√－１２√２√＋３√＋６√…     

函数f（x）=a/cos^nx＋b/sin^nx最小值猜想的一个初等证明

万新灿、郑晓玲老师在文[1]中提出猜想： f（x）=a/cos^nx＋b/sin^nx（0〈x〈π/2,a、b为大于0的常数，n∈N＋），当且仅当x=arctan n＋2√a/b时，取最小值（a2/n＋2＋b2/n＋2）n＋2/2