筝形蝴蝶定理的解析几何简单证法

1990年中国数学竞赛,出现了筝形蝴蝶定理的命题． 【命题1】如图1,在筝形ABCD中,AB=AD,BC=DC,过AC、BD的交点O引直线EF、GH分别交AB、CD于E、F及交DA、BC于G、H．EH、GF分别交BD于P、Q,则OP=0Q．     

一箭三雕——趣谈四边形蝴蝶定理及其证明

平几名题之一——圆内蝴蝶定理是众所周知的;而并中先生给出的四边形蝴蝶定理,则鲜为人知。请看下述命题及其证明: 命题1 设M是四边形ABCD的对角线的交点,过M作两直线分别与AB、CD交于P、Q,与AD、BC交于R、S,连PR、QS分别与MA、MC交于G、H(图1),则 (MG)/(AG)·(CH)/(MH)=(MC)/(MA)。命题2 凹四边形两对角线交于M,过M作两直线分别交直线AB、CD于P、Q,交直     

抛物线中的“蝴蝶之谜”

<正>在平面几何中,我们有著名的蝴蝶定理(Butterfly theorem):设F是圆内弦PQ的中点,过点F作弦AB和CD,设AD和BC各相交PQ于点M,N,则F是MN的中点.笔者通过对蝴蝶定理的解读,尝试将其在抛物线中类比探索研究,得到:结论如图1,过抛物线x2=4my(m>0)的焦点F任意作两条弦分别与抛物线交于点A,B,C,D,连结AC,BD交直线y=m于M,N两点,则M,N关于点F对称.     

蝴蝶定理的推广

大家熟知的蝴蝶定理可表述如下: 定理如图1设M是⊙O中弦AB的中点,CD,EF分别是过M点的两条弦,连接DE,CF交AB于P、Q两点,则PQ=MQ.     

蝴蝶定理解析新证

所谓蝴蝶定理, 是指下面的几何问题: 设AB是圆内的一条弦,过AB中点M作两弦CD和EF,连CF和DE,它们分别交AB于P、Q。求证: PM=QM。     

蝴蝶定理的猜想推理推广

1蝴蝶定理的介绍 蝴蝶定理是初等几何中的近代名题之一,它于1815年在西欧出版的杂志《男士日记》上问世．题目是：过圆的弦AB的中点M引任意两条弦CD与EF,连结ED、CF交AB于P、Q,求证：PM=QM,如图1．由于题中图形的圆内部分像一只蝴蝶,因此取名为“蝴蝶定理”．     

作四面体一个截面的方法

问题　四面体ABCD中 ,点P、Q、R分别是面 ABC、 ACD、 BCD内的一点 ,求作一个截面 ,使其过P、Q、R三点 .作法及说明 :如图 (1 )、(2 ) .1 作直线CP交AB于E ,直线CQ交AD于F .　　 2 若直线EF与BD相交 ,设交点为K ,如图 1 ,连CK ,作直线PQ交CK于L ,再作直线LR交BC、CD分别于M、N两点 .若直线EF于BD平行 ,过C作BD的平行线 (如图 2 ) ,作直线PQ交此平行线于L ,再作直线LR交BC、CD分别于M、N两点 .此时 ,P、Q、R、M、N这五点均在同一平面内 .3 考虑三个平面ABC、平面ACD与平面MPQN ,它们两两相交 ,得三条交…     

蝴蝶定理的多种证法

蝴蝶定理过圆O中弦PQ的中点M引任意两弦AB、CD,连结AD、BC交PQ于E、F。     

关于蝴蝶定理的思考与探索

我们知道,平面几何中的蝴蝶定理为:如图1,若EF是圆Q的弦,O为弦EF的中点,AB、CD分别为过O的弦,连结AD、BC分别交EF于G、H,则CO=HO.这就是著名的蝴蝶定理,我们可以在许多书上找     

美妙的蝴蝶定理

一、圆的蝴蝶定理例1(美国第24届大学生数学竞赛)设UV是圆O的弦,M是UV的中点,AB和CD是过M的另两条弦,AC和BD分别交UV于P、Q,求证:M是PQ的中点.证明以中点M为视点,分别对B、Q、D和C、P、A应用张角定理     

蝴蝶定理的妙用及变式推广

<正>一、理论背景1．圆中的蝴蝶定理蝴蝶定理是平面几何中最优美的结论之一,这个定理因图形像一只蝴蝶而得名．该定理的证明有较多方法,这里介绍简便易懂的面积法证明[2]．蝴蝶定理如图1,点M是圆O中弦AB的中点,CD,GH是过点M的两条弦,连结CH,DG分别交AB于点P,Q,则MP=MQ.     

蝴蝶定理加强推广与统一处理

蝴蝶定理是初等几何中的一个著名定理,自其于1815年出现以来,近年各种推广和证法又有创新,如文[1]、[2]、[3]皆用解析方法推广该定理到一般二次曲线,文[4]用同一法得到了该定理的一种初等推广结果,文[5]用面积证法得到了该定理的几个初等推广结论。本文借助轴反射变换,利用共圆点证法及三角形合同对蝴蝶定理进行加强推广与统一处理。 定理1(蝴蝶定理)从圆心O向O的弦EF作垂线OM,过垂足M任作两弦AB和CD,设AD与BC分别交EF于P_1和Q_1,则P_1M=Q_1M。     

圆锥曲线的一个共同性质

引理已知AD∥BC,AB交CD于点N,AC交BD于点M,过点M的直线PQ∥AD,点P、Q分别在直线AB、CD上.则有2NP=1NA 1NB.其中NP、NA、NB规定为有向线段的长.证明:如图1.图1由MPDA=BPBA=CQCD=QMDA,有MP=QM.即M为PQ的中点.设直线MN分别交AD、BC于G、F.则AGPM=NGNM=GDMQ.故G为AD的中点.同理,F为     

四边形中的蝴蝶定理和坎迪定理

1990年全国高中数学冬令营选拔赛试题第3题为(见文[1]): 在“筝形”ABCD中,AB=AD,BC=CD,经过AC、BD的交点O任作两条直线,分别交AD于E,交BC于F,交AB于G,交CD于H。CF、EH分别交BD于I、J。求证:IO=JO(图1)。 李长明教授在《筝形性质的推广与蝴蝶定理的关联》一文中将其作了如下推广(见文[2]):     

蝴蝶定理在三维空间中的推广

下面定理可以看作是平面几何中著名的蝴蝶定理“若过圆的弦AB的中点M任引两弦CD和EF,连结CF和ED分别交AB于点P、Q则PM=MQ”在三维空间中的类比定理。定理:若α为球S的一圆截面,MN为α的一直径,β与γ为S的经过MN的另两圆截面,则通过β与γ的两个圆周存在一个锥面(这里的锥面是指底锥面,即直或斜锥面,其中也包括圆底柱     

2010中国数学奥林匹克

1.两圆Γ1、Γ2交于点A、B,过点B的一条直线分别交圆Γ1、Γ2于点C、D,过点B的另一条直线分别交贺Γ1、Γ2于点E、F,直线CF分别交圆Γ1、Γ2于点P、Q.设M、N分别是弧(PB)、(QB)的中点.若CD=EF,求证:C、F、M、N四点共圆.     

第31届IMO试题与解答

1.在一圆中,两条弦AB、CD相交于点。M为弦AB上严格在E、B之间的点。过D、E,M的圆在E点的切线分别交直线AC.BC于F,G.已知AM/AB=t,求GE/EF.(用t表示) 解法1:如图(1),∵GF是△DEM外接圆的切线,     

由蝴蝶定理引发的思考

如图1,M是☉O的弦AB的中点,CD、EF是过M的两条弦,连结CF、DE分别交AB于P、Q两点,则MP=MQ.此即被誉为"欧氏几何中的奇葩"的蝴蝶定理.众多书刊介绍了它的各种证法以及推广,吸引着大批数学家和数学爱好者在闲暇之时对它进行研究.教学之余,笔者对它进行了一番思考,另辟蹊径,引出了几个意想不到的结论.     

一道平面几何题的推广

《数学通报》2003(4)数学问题1426题目为:AN为△ABC的角平分线,AN延长线交△ABC的外接圆于,DM是AN上一点,直线BM、CM分别交△ABC的外接圆于E、F,DF交AB于P,DE交AC于Q,求证:P、Q、M三点共线. 笔者在用几何画板作图时,发现当N点在线段BC上运动时,P、Q、M三点均共线,当M在线段AD上运动时,结论依然成立,因此笔者对该问题作如下推广: 定理 △ABC中,点N是BC边上一点(除端点B、C外),AN的延长线交△ABC的外接圆于D,M是线段AD上一点,直线BM、CM分别交△ABC的外接圆于E、F,直线DF交直线AB于P,直线DE交直线AC于Q,则P…     

蝴蝶定理的最终形式

本刊文(1)、(2)、(3)讨论了蝴蝶定理的各种形式,今笔者给出蝴蝶定理的最终推广形式。 定理 过圆内一点M引两弦CD和EF分别交弦AB于G、H,CF和ED分别交AB于I,J。记GH中点为O,若OG=OH=d,AG=a,BH=b,IG=x,JH=y,则: