《0.9=1对吗?》引出的问题

有时,判断处理一个问题的方法对不对,不一定是很容易的。如证明0.9=1,用下面的证法对吗? 0.9×10=9.999……① -)0.9×1=0.999……②①-②得0.(?)×9=9,所以0.(?)=9/9=1。在这里,0.(?)实质上表示无限个小数的和。由②得出①,必须对这里的无限个数的和运用乘法分配律。这样做是不是允许呢?是不是对任何“无限个数的和”都能运用我们熟悉的运算定律? 下面的例子似乎提示我们:可以作出肯定的回     

巧算包含循环小数的加法

问题:计算0.16+0.1+0.125+0.142857=?(全国数学奥赛B卷试题)这是一道包含循环小数的加法巧算题。解题关键是弄清有限小数和循环小数化分数的规律。0.125=1102050=81因为0.1=0.111……①0.1×10=1.111……②②-①得:0.1×9=1。所以,0.1=91。同理0.142857=0.142857142857……③0.142857×1000000=142857.142857142857……④④-③得:0.142857×999999=142857所以,0.142857=919429899597=71于是通过实例试算,便得到规律。规律:①有限小数可先写成分母是10、100、1000……的分数,能约分的再约分。②如果把纯循环小数化分数,那么它的分子是一个循…     

师生共话无理数

学生:有理数和无理数有什么区别? 老师:主要区别有两点: 1.把有理数和无理数都写成小数形式时,有理数能写成有限小数或循环小数,比如4=4.0,4/5=0.8,1/10=0.1,1/3=0.333……,而无理数只能写成无限不循环小数。比如2~(1/2)=1.4142……,根据这一点,人们把无理数定义为无限不循环小数。     

迎接“2000”——趣题一组

1.填上运算符号使等式成立:9 9 9 9 9 9 9 9 9=20002.在右边的算式中,“教”“学”“研”“究”四个汉字各代表一个阿拉伯数字。其中“教”=___“学”=___“研”=___“究”=___。3.计算:①1999×200020002000-2000×199919991999②1/(1×2) 1/(2×3) …… 1/(1999×2000)4.1999年元月一日是星期五,2000年元月一     

复数单位根的一个应用

中学代数教材中,在讲了二项式定理后,有一些关于二项式系数求和的习题。例如,1 C_n~1 C_n~2 … C_n~n=2~n ①1 C_n~2 C_n~4 …=C_n~1 C_n~3 …=2~(n-1) ②(注②式中的和是有限项的,最后一项是C_n~(n-1)或C_n~n。本文后面带有省略号的求和都是有限项的)。     

有关无理数的问与答

学生:无理数与有理数有什么区别? 老师:主要区别有两点:(1)把无理数与有理数都写成小数形式时,无理数能写成无限不循环小数.比如2~(1/2)=1.41421356…,π=3.14159265…等,根据这一点,把无理数定义为“无限不循环小数”;而有理数只能写成有限小数或循环小数,比如1/2=0.5,1/3=0.3,5/11     

从一位小学生的课堂提问谈起

一位小学生在学习分数、小数互化的过程中发现了一个问题。他举手问:“老师,0. =1对吗?”老师的回答是:“0. =0.999……这个无限小数同1总有极微小的差数,不能视为0. =1。”这位小学生又说:“老师,那么你看我的想法对吗?”他接着说:“因为0. 可以写成0. ×3,又因为在分数化小数时知道1/3=0. ,所以我认为0. =0. ×3=1/3×3=1。”0. =1对吗?在中师课本《算术基础理论》化纯循环小数为分数一节中.通过推导得出化纯循环小数为分数的方法是:将纯循环小数的小数部分化成分数,分子是一个循环节的数字所组成的数;分母是由数字9组成的数,9的个数等于一个循环节的     

妙谈小数化学分数

我们把形如"ba"的式子叫做分数(其中a≠0,a与b是互质的整数)。小数只有三类:有限小数、无限循环小数、无限不循环小数。无限不循环小数是无理数,不能化成分数(因为无理数x=ab,则b=ax,b是整数,而ax是无理数,矛盾)。所以能化成分数的小数只有有限小数和无限循环小数。     

不可思议,1不一定等于1?

5假如问你,1/3写成小数是多少?你一定会不假思索地回答:1/3=0.333……,因为无限循环,所以,称之为无限小数。那么,问题就来了:如果1/3=0.333……,等式两边同时乘一个数,结果应该相等,可是——1/3=0.333……,1/3×3=0.333……×3,结果竟然是1=0.999……真奇怪,0.999……明明小于1,在这个式子中,怎么会相等呢?没错,1=0.999……可是被充分证实的哦!     

循环小数教案(第一教时)

教学内容:五年制小学数学课本第七册第57页—第58页。教学要求:1.使学生理解循环小数、循环节、纯循环小数、混循环小数的意义;初步认识有限小数与无限小数。2.在学习过程中,培养学生观察、比较、抽象、概括、自学能力。教学过程: 一、新授 (一)算中感知,理解循环小数的意义 1.指名板演以下两题(其余同学在练习本上计算) ①10+6= ②70.7+33= (由例9改编) (例10) 2.(学生发现除不尽时)教师引导:再往下     

求sum from k=1 to n(K~3)的又一方法

关于1~3 2~3 … n~3的求和,已有多种方法,现介绍另一种有趣的方法.先考察如下数列的和.S_n=1 (3 5) (7 9 11)十(13十15十17十19) ……①把①中的括号去掉就得到;S_n=1十3 5十7十9 11十13十15十17十19 ……②①与②只是项数不同,①中有n项,②中有1 2 3 … n=n(n十1)/2项.     

循环小数的一个有趣性质

中师《小学教学基础理论和教法》第一册书中,有一条这样的定理:“如果一个既约真分数 a/b )的分母b 只含2和5以外的质因数,那么①这个分数所化成的小数是纯循环小数;②这个纯循环小数的循环节的最少位数,与分母能整除(?)时9的最少个数 t 相同。”由于这条定理在该书中已详加证明,所以此处不作重复论证。根据这条定理,易知2/3、5/7、4/(11)、8/(13)、等分数所化成的小数均是纯循环小数,又因3|9,(?),11|99,(?),故它们循环节的最少位数依次是1、6、2、12位。     

IQ传奇

体育运动(四)壁式自行车YY开始作答了啊,把上期的拿来对照看看?不过先要告诉大家一个好消息和坏消息,先听坏的:由于本期版面有限,有的太简单的题目的答案和原题,就恕不提供了哦,烦请各位海涵海涵。好消息呢,从本期起,IQ测试答案就现场公布。不让大家牵肠挂肚了!言归正传,《课·高》2004年第1期“IQ传奇”部分题目,答案如下———请证明出0.9999999=1(9为循环小数)因为1/3=0.3333333循环1/3×3=10.3333333循环×3=0.9999999循环所以1=0.9999999循环令x=0.99999……则10x=9.99999……所以10x-x=9即9x=9所以x=1金庸故事人名猜1.岳灵珊2.东方…     

0.9与1相等吗

题目　0.9与1相等吗? 分析　一般利用设未知数解方程的方法: 解　设0.9 · =x,① 则9.9 · =10x,② ②-①:9x=9, 故x=1. 另解　(利用化循环小数为分数的方法) 因为0.3 · =13, 所以0.3 · ×3=13×3. 即0.9 · =1. [编者的话]　这里是从式的变换来说明0.9 · 与1是相等的,从 高等数学的观点看,并不完全严格,权且作一种理解.有不少同学 来信,质疑0.9 · 是否等于1,并说出了种种理由,无非是…     

“无理数”的认识误区

学生对无理数的认识存在误区.1."无限小数是无理数"分析无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数,而无限循环小数是有理数,只有无限不循环小数才是无理数.所以,说"无限小数是无理数"是片面的.2."带根号的数是无理数"分析4^1/2带根号,但4^1/2=2是有理数,所以不要认为带根号的数就是无理数.     

有疑难 找方程

学习数学就会有疑难,如果你遇到一时不能解决的疑难问题,怎么办?列方程解答可能就是你最好的选择,下面举例说明其方法。一、列方程解计算问题例1.化无限循环小数0.232323……为分数。分析与解答:0.232323……是一个无限循环小数,给解答造成了难度。但是只要我们将无限化成有限,难度就自然化解了。我们不妨设0.232323……=x,那么x=0.23+0.002323……即x=0.23+0.01×x,这样一个无限数化成了一个“有限的形式”。解这个一元一次方程,0.99x=0.23,所以x=2399,即0.232323……=2993。二、列方程解推理问题例2.B是自然数,A是一个数字,如果B444=0·…     

灵机一动

在学生的复习试卷中,有这样一道判断题：3．929292是循环小数．（） 结果,有些同学判断是正确的．于是,我问同学们,循环小数的特征是什么？有同学稍想了一下就举手说：“在重复出现的这几个数字上面要有循环点,或者在其后面用省略号表示无限循环．比如写成3．92或3．929292……”她说着就到讲台前把这两种循环小数的表示方法写在黑板上．     

加强训练消除“定势”的不良影响

在学生的作业中,或单元测试时,一些学生常常把简单的计算题做错。例如:①3×2=5,②8 2×9=90③4.65-2.5=4.4④(1/2) (1/3)=(2/5)⑤1÷2.5=2.5……我们认为学生答题致错的主要原因是“定势”造成的干扰。所谓“定势”是指一定的     

试谈数学命题中的常见病

做好数学命题工作,是数学教师的基本任务之一。命题工作的质量如何,直接影响着数学教学的质量,但由于这是一项十分严谨、细致、周密的工作,稍一疏忽,往往产生各种毛病,本文就一些数学命题出现的疏误,谈一点个人的粗浅认识。(题的出处略去——编者注) 例1 分解因式:①4x~2+1/(x~2)-4.②(a~2-b~2)/((a-b)~2)+1/(4(a-b)~2)+(a+b)~2。提供答案:①(2x-1/x)~2,②[1/(2(a-b))+(a+b)]~2。剖析:初中代数第二册对因式分解的定义是:“把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做因式分解”,所以,上述命题与因式分解定义相悖。例2 △ABC与以BC为直径的半圆相交于D、E,AD=2,AE=3,DE=4,BC=8。则AB     

省略号前后标点的用法

省略号前后要不要标点,很多同学对此感到迷惑。有的同学认为既然使用了省略号,它的前后就不需要再用标点了。这个说法不完全正确。那么怎样确定省略号前后是否需要加标点呢?这里介绍两条规则。一、省略号前标点的确定1.省略号前面如果是一个完整的句子,那么句末应当加标点。因为一个完整的句子有一定的语气、语调,如果不标点就不能准确地表达意思。例如:①“阿!闰土哥,——你来了?……”②“红旗插上大门岛!同志们,冲啊!……”上面两个句子都是完整的句子。例①表示吃惊,既有惊叹语调,又有对眼前情形的不敢相信,所以省略前用问号。例②表示…