一道数学竞赛题的另一种解法

贵刊2001年第2期第31页刊登了《对一道竞赛题解的补正》一，中指出：《小学数学奥林匹克习题与解答》一书中“分母是1001的最简真分数共有多少个?”原书答案994个有误(我们在辅导数学兴趣班时，也发现过这个错误)。原作利用分析、推理、筛选等方法，给出了正确答案720个。我们对原研读了多遍，觉得原作介绍的方法，缺乏条理感和直观性，我们还特意把这种方法，试着介绍给几位五年级的数学优等生．他们都说这种方法不大好掌握，计算难免有遗漏。现介绍这道题的另一种解答方法，以作补充。     

一道物理竞赛题的多种数学解法及其启示

［题目］（１９９９年复赛初中组）某工地在冬季水利建设中设计了一个提起重物的机械，图１是这个机械组成部分的示意图．ＯＡ是钢管，每米长受重力为 ３０ Ｎ；Ｏ是转动轴，重物的质量ｍ为１５０ ｋｇ，挂在Ｂ处，ＯＢ＝１ｍ；拉力Ｆ加在Ａ点，竖直向上．取ｇ＝ １０ Ｎ／ｋｇ．为维持平衡，钢管ＯＡ为多长时所用的拉力最小？这个最小拉力是多少？ 竞赛委员会提供的参考答案为： 解：设ＯＡ＝ｘ，ＯＢ＝ｂ，每米长钢管重为Ｗ＝３０Ｎ／ｍ，根据杠杆平衡条件可列出方程：整理得 这个方程有解的条件是　　　，其中　　　　　　　　　　　　…     

一道数学竞赛题的解法

2006年全国初中数学竞赛预赛暨2005年山东省初中数学竞赛刚刚结束，其中第13题是这样的：     

一道数学竞赛题的另解

题目　已知在△ABC中 ,∠ACB =90°,如图 1所示 .当点D在斜边AB上 (不含端点 )时 ,求证 :CD2 -BD2BC2 =AD -BDAB .( 2 0 0 3,全国初中数学联赛 )　　证明 :作CE⊥BA于点E .设BC =a ,AB=c ,CE =h ,BD =m ,AD =n ,CD =t,BE =p ,ED =k .显然 ,p k =m .则CD2 -BD2BC2 =t2 -m2a2=h2 k2 -m2a2 =h2 (k m) (k -m)a2 .将h2 =p(k n) ,k -m =-p ,a2 =pc代入上式 ,得CD2 -BD2BC2 =p(k n) -p(k m)pc=p(n -m)pc =n -mc =AD -BDAB .当D与E重合时 ,h =t,k =0 ,上述证明同样成立 ;当D在E左侧时 ,k <0 ,同理可证结论成立 .…     

一道数学竞赛题的多种解法

近年高中数学联赛有这样一道题:实数x,y满足4x2-5xy+4y2=5,设S=x2+y2,则(1)/(Smax)+(1)/(Smin)的值为.     

一道数学竞赛题的五种解法

<正> 题目已知a、b、c、d、e是满足a+b+c+d+e=8和a2+b2+c2+d2+e2=16的实数,试确定e的最大值. 这是美国第七届中学生数学奥式匹克竞赛的一道试题.下面,我给出这道题的五种解法,供各位同行和同学们参考. 解法1 用平均值换元法设a、b、c、d的平均数是k,又设     

利用函数性质简证一道竞赛题

第 31届西班牙数学奥林匹克第 2题是 :证明 :如果 ( x+ x2 + 1 ) ( y+ y2 + 1 )=1 ,那么 x+ y=0 .分析　注意到式子 x+ x2 + 1 ,y+y2 + 1的结构完全相同 ,我们引进函数f( x) =x+ x2 + 1 .容易知道函数 f( x)具有以下性质 :1 f( x) f( - x) =1 ;2 f( x)在定义域 R上是增函数 .(对于性质 2 ,只需把 f ( x1 ) - f ( x2 )化为 ( x1 - x2 ) x21 + 1 + x22 + 1 + x1 + x2x21 + 1 + x22 + 1,利用 x21 + 1 + x22 + 1 + x1 + x2 >| x1 | + | x2 |+ x1 + x2 ≥ 0即可证得 .)显然 ,原竞赛题就是证明 :如果 f ( x) f ( y) =1 ,那么 x+ y=0 .现在简证如…     

一道竞赛题的简便解法

2003年第20届全国中学生物理竞赛复赛试卷的第四道大题是一道光学试题：“如图1所示，一半径为R、折射率为n的玻璃半球，放在空气中，平表面中央半径为h0的区域被涂黑．一平行光垂直入射到此表面上，正好覆盖整个表面，Ox为以球心O为原点，与平面垂直的坐标轴．通过计算，求出坐标轴Ox上玻璃半球右     

由一道数学竞赛题的多种解法反思数学教学

2011年上海市高中数学竞赛试题中的第10题是解三角形问题,考查利用余弦定理或根据边与角的关系选择合适的方法求解三角形问题.笔者结合参加竞赛学生的答题情况,归纳整理了几种不同的解法以及学生答题中的问题辨析,供大家参考指正.     

一道数学竞赛题的四种解法

题目已知:如图1:正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB1,BC1,CA1为侧面对角线,AB1⊥BC1,求证:AB1⊥A1C.一、利用三垂线定理或逆定理     

谈一道竞赛题的几种解法

2006年全国初中数学联合竞赛第二试中的第二题：如图1，D为等腰三角形△ABC底边BC的中点，E、F分别为AC及其延长线上的点．又已知＜EDF=90°，ED=DF=1，AD=5，求线段BC的长．此题解法甚多．现给出几种简捷解法以飨读者．[第一段]     

一道竞赛题的两种解法

题目：半径为r的金属球远离其他物体，通过阻值为R的电阻接地．电子束从远处以速度u落到球上，且每秒钟有n个电子落到球上，试求每秒钟球释放的热量．