一类不等式的向量证法

在不等式的证明中,有一类不等式可以通过构造向量,利用两向量数量积的性质进行证明.两向量数量积中蕴含着几个重要的不等关系:m·n= |m| |n|cosθ≤|m| |n|(θ为m与n的夹角),|m·n|=|m| |n| |cosθ|≤|m| |n|, |m·n|2≤|m|2 |n|2．     

不等式的特殊证明方法与技巧(高一、高二、高三)

不等式是高考和竞赛中的热点,其形式多种多样,证明方法也灵活多变．本文介绍一些关于不等式的特殊证明方法与技巧． 1．反证法例1 求证对任何实数x,y,z,下列三个不等式不可能同时成立: |x|<|y-z|,|y|<|z-x|, |z|<|x-y|．     

一道竞赛题的妙用

1998年湖北省黄冈市初中数学竞赛试卷中有这样一题试题 :使 | a- b| =| a| + | b|成立的条件是(　 ) .( A) ab>0　 ( B) ab>1( C) ab≤ 0　 ( D) ab≤ 1解　 | a- b| =| a| + | b| | a- b| 2 =( | a| + | b| ) 2 - ab=| ab| ab≤ 0 .故应选 C.利用这道竞赛题的结论解可化为 | a- b|= | a| + | b|的方程 ,可获得十分简捷的解法 .例 1　方程 | x- 2 | + | x- 3| =1的实数解的个数有 (　 ) .( A) 1个　　 ( B) 3个( C) 4个　 ( D)无数多个(第四届《祖冲之杯》初中数学邀请赛试题 )解　∵ | x- 2 | + | x- 3| =1 =| ( x- 2 )- ( x- 3) | …     

巧构直线与圆解决不等式问题

某些不等式问题,若能巧妙的构造直线与圆,利用直线与圆的位置关系来解,可以优化解题过程,化难为易.1证明不等式例1对一切x、y∈R,求证:x2 y2 x2 (y-1)2 (x-1)2 y2 (x-1)2 (y-1)2≥22.分析将4个无理式转译成4个两点间的距离.证明对一切x、y∈R,原式左端看作点P(x,y)与定点O(0,0)、A(0,1)、B(1,0)、C(1,1)的距离之和,|PA| |PB|≥|AB|,|PO| |PC|≥|OC|于是|PA| |PB| |PO| |PC|≥|OC| |AB|=22,当且上仅面当的P无为理OC式与用A代B数的方交法点很时难取证得明等,号但.赋予其几何意义后,不等式证明得很轻松,体现出解析几何中数形结…     

1994年湖北省黄冈地区初中数学竞赛

一、选择题(共40分) 1.如果0相似文献   

美音与英音差异例析

美国英语和英国英语虽基本相同,但也有许多差异,在语音方面的差异尤为显著。本文即从八个方面对美音和英音的差异作了归类和分析,主要有:字每a的发音,r的发音,wh-开头的单词发音,-ile结尾的单词发音,||的发音、|u:|、|u|与|u|、|ur|及多音节词重音和音节方面的差异。     

妙用向量投影解题

<正>一般地,根据向量数量积的定义a·b=|a||b|cosθ,为求向量a与b的数量积a·b,往往需明确这两个向量的模及所成的夹角θ.仔细分析有关向量数量积的问题,发现其中有一类向量题,其题设条件不是按三要素|a|、|b|、θ全部给定来设计,而是以向量投影为背景进行设计,即以|a|、|b|cosθ     

相干态与其叠加态之间的距离

根据Ludwig Knll对两个量子态之间距离函数的定义,得到了任意一个相干态|α_0)与相干态|a>和他的相反态通过任意系数的线性叠加组成的叠加态——猫态|Ψ>之间的距离函数的一般表达式D(r,r_0,φ).依据D(r,r_0,φ)讨论了|α_0>与|Ψ>之间的相似特性与它们的内禀参数之间的关系,结果发现态|α_0)与|Ψ>之间相似程度不但与每个相干态在复空间平移的距离有关,而且与态|α_0>与|α>相对初始相位差△θ以及叠加相位相关;详细讨论了奇偶相干态和|α_0>之间可能的相似特性。     

浅析圆锥曲线定义中的若干“关键点”

正确理解圆锥曲线的概念是解决圆锥曲线有关问题的关键 .根据笔者的体会 ,只要抓住了圆锥曲线定义中的若干“关键点” ,理解圆锥曲线的概念将会十分容易 .一、椭圆平面内与两个定点Ｆ1、Ｆ2 的距离的和等于常数 (大于 |Ｆ1Ｆ2 | )的点的轨迹叫做椭圆 .注意 :定义中有一个“关键点” ,即 :与两个定点Ｆ1、Ｆ2 的距离的和的常数“大于|Ｆ1Ｆ2 |” .这个“大于 |Ｆ1Ｆ2 |”的关键点 ,始终伴随着椭圆 .解题过程中 ,稍有不慎 ,就会出错 .如将“大于 |Ｆ1Ｆ2 |”改换成“等于 |Ｆ1Ｆ2 |” ,其余条件不变 ,点的轨迹会是什么呢 ?通过分析 ,不难发现…     

活用向量工具 巧证不等式

在新教材向量部分的知识中,有一些向量不等式,例如:设 a,b 为两个非零向量,则有三角不等式:|a|-|b|≤|a±b|≤|a| |b|;数量积不等式:a·b≤|a·b|≤|a|·|b|和 |a|~2≥(a·b)~2/(|b|~2),当且仅当 a 与 b 共线(同向或反向)时,等号成立。我们可以借助这些向量不等式来解决一些具有相似结构特征的代数不等式问题,其中数量积的定义及其坐     

英语元音字母读音知多少?

英语共有 2 6个字母 ( 5个元音字母 ) ,4 8个音素 ( 2 0个元音音素 )。也就是说 ,每个元音字母至少有 4个发音。而英语单词是由字母构成的。每个单词均离不开元音字母。因此 ,对初学者来讲 ,正确掌握元音字母的发音就显得更加重要。现在就元音字母在ＪＥＦＣ中的发音小结如下 :ａ共有八种读音 ,它们是 |ｅｉ, , ,ａ∶ ,ｉ, , ∶ ,ｅ|ａ在开音节中发 |ｅｉ| ,ｆａｃｅ ,ｍａｋｅ ,ｃａｋｅ(ｈａｖｅ除外 )。在闭音节中发 | | ,ｓａｔ,ｆａｔ ,ｃａｔ .在ｓｓ ,ｓｋ ,ｓｔ前发 |ａ∶| ,ｃｌａｓｓ,ａｓｋ ,ｆａｓｔ.在 |ｗ|后发 | | ,ｗａｓ…     

方程x2+p|x|+q=0与x|x|+px+q=0的根与判别式△=p2-4q的关系

在实数范围内,方程x~2 p|x| q=0(p≠0)与x|x| px q=0共同特点是含有|X|,它们的实根的求解与方程x~2 px q=0是否有所不同,其根的存在是否由判别式△=p~2-4q唯一确定呢?下面就这两个方程加以讨论,得其根的情况:     

构造向量巧解有关不等式问题

新教材中新增了向量的内容,其中两个向量的数量积有一个性质:a·b=|a|·|b|cosθ(其中θ为向量a与b的夹角),则|a·b|=||a|·|b|cosθ|,又-1≤cosθ≤1,则易得到以下推论:(1)a·b≤|a|·|b|;(2)|a·b|≤|a|·|b|;(3)当a与b同向时,a·b=|a|·|b|;当a与b反向时,a·b=-|a|·|b|;⑷当a与b共线时,|a·b|=|a|·|b|.下面例析以上推论在解不等式问题中的应用.一、证明不等式例1已知a、b∈R ,a b=1,求证:2a 1 2b 1≤22.证明:设m=(1,1),n=(2a 1,2b 1),则m·n=2a 1 2b 1,|m|=2,|n|=2a 1 2b 1=2.由性质m·n≤|m|·|n|,得2a 1 2b 1≤22.例2已知x y z=1,求…     

选择题的非常规解法

选择题是数学竞赛和各种考试的主要题型 ,针对选择题提供的四个选项有且仅有一个选项是符合题意的以及对选择题只答不解的开放因素 .通过合情分析、合情推理与判断 ,运用适当的方法与技巧 ,将收到事半功倍的效果 .一、验证法有些选择题 ,由于选项的答案具体 ,且可找到适当的验证方法 .例 1　若关于 x的方程 | | x - 2 | - 1| =a有三个整数解 ,则 a的值是 (　　 )(A) 0 .　 (B) 1.　 (C) 2 .　 (D) 3.分析 :选 (B) .验证当 a =0时 ,方程 | | x - 2 | - 1|= 0有两解 x1=1,x2 =3,故 (A)错 ;当 a =1时 ,方程| | x - 2 | - 1| =1有三解 x1=0 ,…     

考场答题"增加思考量减少演算量"的7个途径

高考答题是能力与时间的角逐 ,能力“到位”还要讲究思路和方法 ,一般在“巧解”上作文章 ,这就要积累平时的解题经验与捕捉他人之“玉” .本文提供 7个途径 ,供取长补短 .1　适时代换 ,减轻负担例 1　设a为实数 ,函数f(x) =x2 |x -a| 1,x∈R .求f(x)的最小值 .解　令 |x -a|=t (t≥ 0 ) ,则f(x) =|(x -a) a|2 |x -a| 1≥|t-|a||2 t 1=t2 -( 2 |a|-1)t a2 1=[t-( |a|-1/ 2 ) ] 2 |a| 3 / 4.①设g(t) =[t -( |a|-1/ 2 ) ] 2 |a| 3 /4.当 |a|-1/ 2≤ 0 ,即 -1/ 2≤a≤ 1/ 2时 ,g(t)在 [0 , ∞ )上递增 ,从而g(t) min=g( 0 )=a2 1.当 …     

２００１年上海高考数学试题（１８）题拓广

2001年上海高考数学试题(18)题:设F_1,F_2为椭圆9/x~2 4/y~2=1的两个焦点,P,F_1,F2是一个直角三角形的三个顶点,且|PF_1|>|PF_2|,求|PF_2|/|PF_1|的     

中考分类讨论问题归类解析

数学思想和方法已被大纲明确地列为基础知识的范畴 ,人们把学习数学知识、渗透数学思想方法的教育 ,作为数学教育的出发点和落脚点 .因此 ,近年各地中考试题都加强了数学思想方法的考查 ,其中分类讨论思想的应用最为广泛 ,成为检测学生分析问题和解决问题能力的常见题型 ,本文通过对中考试题的解析 ,探求此类问题的解题思路 .一、分类讨论思想在代数中的应用例 1　代数式 a| a| + b| b| + ab| ab| 的所有可能的值有 (　　 )( A) 2个 .　 ( B) 3个 .　 ( C) 4个 .　 ( D)无数个 .分析 :与绝对值有关的问题 ,一般要去掉绝对值符号 ,这就要根…     

圆锥曲线中的几个最值命题

在解与圆锥曲线有关的问题时 ,经常涉及到曲线上的点与某些特殊点距离的最值问题 ,对此学生往往感到茫然 ,以致影响到整个问题的解决 .为此 ,本文介绍这类问题的几个结论 ,希对读者有所帮助 .命题 1　椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1(ａ >ｂ >0 )的焦点为Ｆ1 、Ｆ2 ,Ｑ是椭圆内一定点 ,Ｐ是椭圆上一动点 ,则当Ｐ、Ｑ、Ｆ2 共线且Ｐ、Ｑ在Ｆ2 同侧时 ,( |ＰＱ| |ＰＦ1 | ) ｍｉｎ=2ａ - |ＱＦ2 | ;当Ｐ、Ｑ、Ｆ2 共线且Ｐ、Ｑ在Ｆ2 异侧时 ,( |ＰＱ| |ＰＦ1 | ) ｍａｘ=2ａ |ＱＦ2 | .证明　如图 1所示 ,由椭圆的对称性不妨设Ｆ为左焦点 ,连结…     

解决《平面向量的数量积》的方法例析

<正>一、知识梳理1.平面向量的数量积。(1)定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cosθ,规定零向量与任一向量的数量积为0,即0·a=0。(2)几何意义:数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积。2.平面向量数量积的运算律。(1)a·b=b·a(交换律)。     

一道高考数学试题的推广

1993全国高考数学试题(理科)第(29)题是: 已知关于x的实系数二次方程x~2 ax b=0有两个实数根α、β。证明: (Ⅰ)如果|α|<2,|β|<2,那么2|a|<4 b且|b|<4; (Ⅱ)如果2|a|<4 b且|b|<4,那么|a|<2,|β|<2。 现把此问题推广如下: