有关等差数列的三个公式

等差数列是最简形式的数列,中学数学教材里给出三个公式:a_n=a_1+(n-1)d,S_n=1/2n(a_1+a_n),S_n=na_1+1/2n(n-1)d。但有的题目用上述公式不大方便,例如已知任意两项求某一项或求和;已知前 k 项前 l 项的和求前 n 项和等等。上述问题按常规解法需解方程或方程组,运算较繁。贵刊1982年第一期倪承源同志的《等差数列的两个公式》一文,运用行列式知识给出两个定理,     

应用函数思想解数列题例说

在等差数列的通项公式a_n=a_1 (n-1)d中,通项a_n可以看成是项数n的一次函数(它的定义域是自然数),对一切n∈N,点(n,a_n)共线。 又等差数列前n项和的公式S_n=na_1 (n(n-1)/2)d,可以变形为以下形式,即S_n=(d/2)n~2 (a_1-(d/2))n。因此,公差不等于零的等差数列,前n项的和S_n可以看成是关于n的常数项为零的二次函数,即S_n=an~2     

抛物线和等差数列

一个数列是公差d≠0的等差数列的充要条件是前n项和是一个常数项为零的关于n的二次函数: S_n=na_1+1/2n(n-1)d =1/2+dn~2+(a_1-1/2d)n ①而二次函数y=1/2dx~2+(a_1-1/2d)x(d≠0)②的图象是一条抛物线,它经过由①决定的点(1,S_1)、(2,S_2)……(n,S_n)……一、关于计算a_1和d的公式∵经过(n_1,S_(n1))、(n_2,S_(n2))的②的方程是: n_1~2 S_(n_1) n_1 n_2~2 S_(n_2) n_2=0 x~2 y x     

公式a_n=S_n-S_(n-1)的功能挖掘

公式 a_n=S_n-S_(n-1)看似平常,其实内涵丰富,有着不寻常的功能和应用价值,本文举例如下:例1 已知数列{x_n),满足 x_1=b,x_(n 1)=cx_n d 且 c≠1.求通项公式.解:令 x_n=S_n则 S_(n 1)=cS_n d (1)S_n=cS_(n-1) d (2)(1)-(2)得a_(n 1)=ca_n=c~2a_(n-1)=…=c~(n-1)a_2∴x_n=S_n=a_1 a_2 … a_n     

例析数列综合问题的类型

<正>一、数列本身各部分知识的综合例1已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n,且满足S_1>1,6S_n=(a_n+1)(a_n+2),n∈N_+,求{a_n}的通项公式。解析:利用n≥2时S_n-S_(n-1)=a_n将已知条件6S_n=(a_n+1)(a_n+2),n∈N+转化为a_n与a_(n-1)之间的关系。由a_1=S_1=1/6(a_1+1)(a_1+2),解得a_1=1或a_1=2,由假设a_1=S_1>1,因此a_1=2。又由a_(n+1)=S_n+1-     

数学课教案一例

教学时间:一课时。教学班级:高二(4)班。教学课题:等差数列前 n 项的和(天津市高中课本第二册第七七页)。教学目的:使学生掌握等差数列前 n项和的公式:①Sn=(n(a_1+a_n))/2;③S_n=na_1+(n(n-1)/2)d,并能初步应用这两个公式。课的类型:综合课。     

更序数列及2000年冬令营第二题另解

2000年冬令营第二题如下(本刊2000年第二期): 数列{a_n}定义如下:a_1=0,a_2=1,a_n=1/2na_(n-1) 1/2n(n-1)a_(n-2) (-1)~n·(1-n/2),n≥3。试求f_n=的最简表达式。 这个数列看来非常麻烦,不妨先算前面几项,发现a_3=2,a_4=9,a_5=44及a_6=     

一个不容忽视的结论

我们知道,首项为 a_1,公差为 d 的等差数列{a_n}前 n项和 S_n=na_1 ((n(n-1))/2)d,从本质上看,S_n 是关于 n 的函数,本文试图通过对 S_n 的研究,加深对等差数列的进一步的理解.对此有如下结论:定理:设 S_n 为数列{a_n}前 n 项之和,则{a_n}为等差数     

裂项相消

<正>一、目的通过将{a_n}的通项公式变形为两项代数和的形式,将S_n=a_1+a_2+…+a_n中的a_x与a_y(x,y∈N*)裂项后的四项中的两项相互抵消,从而将S_n化简成仅有几项代数和的形式来求S_n。二、公式(1)a_n=1/(n(n+k)_=(1/k)·(1/n-1/(n+k))(k∈R);     

求数列前n项和常用方法总结

<正>我在学完数列这部分内容后,发现数列求和问题有以下几种常用方法,现做一些探讨,与大家共享。一、公式法(定义法)1.等差数列求和公式:S_n=n(a_1+a_n)/2=na_1+n(n+1)/2 d。特别地,当前n项的个数     

赏析如出一辙的两道高考数列题

2007年高考山东理科数学第19题(以下简称试题1):设数列{a_n}满足a_1+3a_2+3~2a_3+…+3~(n-1)a_n=n/3,n∈N~*(Ⅰ)求数列{a_n}的通项;(Ⅱ)设b_n=n/a_n,求数列{b_n}的前n项和S_n.时隔仅二年,2009年高考湖北卷文科数学     

关于等差数列的一个重要定理

教材中对等差数列的概念、通项公式 a_n=a_1 (n-1)d,前 n 项和的公式 s_n=n(a_1 a_n)/2中的五个基本量 a_1,d,n,a_n,S_n,只要求“知三求二”.但在竞赛题中有一大类较特殊的数列求前 n 项之和用以上知识不易解决.本文先给出关于等差数列的一个重要定理,并给出完整的证     

2006年高考(江西卷)理科压轴题探源

2006年高考(江西卷)理科数学第22题:巳知数列{a_n}满足:a_1=3/2,且 a_n=(3na_(n-1))/(2a_(n-1) n-1)(n≥2,n∈N~*).(1)求数列{a_n}的通项公式;(2)证明:对一切正整数 n,不等式     

求数列通项方法举隅

<正>求数列通项在高考中属于常考内容,本文归纳整理了几种方法,供参考.一、已知a_1和a_n=a_(n-1)+f(n)型,其中f(n)可求和例1已知数列{a_n}满足a_(n+1)=a_n+3n+2,且a_1=2,求a_n.解由a_(n+1)=a_n+3n+2知a_(n+1)-a_n=3n+2,a_n-a_(n-1)=3n-1.a_n=(a_n-a_(n-1))+(a_(n-1)-a_(n-2))+…+(a_2-a_1)+a_1=(3n-1)+(3n-4)+……+5+2     

例析高考数列通项公式的常用求法

例1已知数列{a_n}中，a_1=1，对任意自然数n都有a_n=a_(n-1)+1/(n(n+1))，求a_n．解：由已知得a_n-a_(n-1)=1/(n(n+1))，a_(n-1)-a_(n-2)=1/((n-1)n)，…，a_3-a_2=1/(3×4)，a_2-a_1=1/(2×3)．以上n-1个式子累加，并利用1/(n(n+1))=1/n-1/(n+1)，得a_n-a_1=1/(2×3)+…+1/((n-2)(n-1))+1/((n+1)n)+1/(n(n+1))=1/2-1/(n+1)，∴a_n=3/2-1/(n+1)．点评：求形如a_n-a_(n-1)=f(n)的数列通项，可用累加法．     

对一道高考题的变题探究

2005年江西省普通高校招生考试《数学(文科)》试卷的第22题,是全卷的最后一道题,带有压轴性质.其题目是:“已知数列{a_n}的前n项和 S_n 满足 S_n-S_(n-2)=3×(-1/2)~(n-1)(n≥3),且 S_1=1,S_2=-3/2,求数列{a_n}的通项公式”.考试到条件 S_n-S_(n-2)=a_n a_(n-1),故这道题考题实质上是已知数列递推关系 a_n a_(n-1)=mf(n) k 和起始值 a_1,求数列{a_n}的通项公式的问题.此类题型在多年高考中屡见     

巧用公式S_n=na_1 (n(n-1)/2)d的变形解题

S_n=na_1 ((n(n-1))/2)d是大家非常熟悉的一个等差数列的求和公式.若利用公式的变形解决有关的等差数列问题,有时会取得意想不到的效果.     

等比数列前n项和公式的五种证法

设数列a_1,a_2,…,a_n,…为等比数列,公比为q,则它的前n项和即为S_n=a_1 a_2 a_3 … a_n,当q=1时,显然有S_n=na_1,以下用五种方法证明,当q≠1时,S_n=a_1(1-q~n)/(1-q)。     

例谈数列通项的几种常见求法

2006年高考江西卷第22题为:已知数列{a_n}满足:a_1=3/2,且 a_n=(3na_(n-1))/(2a_(n-1) n-1)(n≥2,n∈N~*).(1)求数列{a_n}的通项公式;(2)证明:对一切正整数 n,不等式 a_1a_2…a_n<2·n!成立.显然,求解本题的关键之一是根据已知 a_n与 a_(n-1)(或 a_n与 a_(n 1))的递推关系式,能寻找出 a_n 的表达式.这是近年高考中比较多见的一种题型.由于已知关系式的形式不同,其解法也不尽相同.如本题的通项 a_n 求法为:将条件变     

递推数列求通项的几种方法

递推数列是当前数列教学中的热门,而由递推关系求通项又是递推数列的重要内容之一。本文将求通项的各种方法作一归纳: 一.用S_n-S_(n-1)=a_n,使等式变形,间接递推例1 已知数列{a_n},a_1=1,a_n=(2S_n~)/(2S_n-1)(n≥2),求a_n。解:∵ a_n=S_n-S_(n-1),a_n=(2S_n~2)/(2S_n-1)。∴S_n-S_(n-1)=(2S_n~2)/(2S_n-1),1/S_n-1/(S_n-1)=2,设1/S_n=b_n,∴{b_n}是公差为2的等差数列,又b_1=1/S_1=1/a_1=1,∴b_n=1/S_n=1+(n-1)·2